高中数学平面向量知识点总结

1、高中数学之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 向量一般用a,6c来表示，或用有向线段的 起点与终点的大写字母表示，如：定，几何表示法ab , a ；坐标表示法a = xi +yj =（x,y）.向量的大小即向量的模（长度），记作| ab |.即向量的大小， 记作i a i .向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行,零向量a = 0u |a|=0.由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在 有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有 非零向量”这个条件.（注意 与0的

2、区别）单位向量：模为1个单位长度的向量.向量ao为单位向量u i a。i = 1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以 移到同一直线上.方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a / b.由于向量可 以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行 向量也称为共线向量.数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意 选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.相等向量：长度相等且方向相同的向量 4目等向量经过平移后总可以重合，记.xd = x

3、o为a =b大小相等，方向相同（x1, y1） = （x2, y2）已，ji = y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法、t 4 t _ i t t _i设 ab=a,bc=b,贝 u a + b = ab + bc = ac -（i）o+a=a+o=a；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与 已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向 量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量

4、的和；差向量是从减向量的终点指向 被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时, 用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ab+bc+cd+im+pq+qr=ar,但这时必须“首尾相连”.3 .向量的减法相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向量, 记作-a，零向量的相反向量仍是零向量.关于相反向量有：(i) -(-a) = a ; (ii) a +(-a )=( - a)+ a =0 ;(iii)若3、 b是互为相反向量，则 a = - b ,b = -a, a + b = 0向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差,记

5、作：a -b =a十(4),求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法：a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起 点)4 .实数与向量的积：实数人与向量成的积是一个向量，记作 入3,它的长度与方向规定如下：(i)za =九|，a ；(h)当九0时，入a的方向与a的方向相同；当九0时，入a的方向与a 的方向相反；当儿=。时，入a=0,方向是任意的，数乘向量满足交换律、结合律与分配律，5两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线之 有且只有一个实数 工,使得b=店.6平面向量的基本定理：如果ei,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数 九

6、，九2使：a = ?l1e1 +2e2,其中不共线的向量 色叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意：(1)向量的加法与减法是互逆运算(2)相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件(3)向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合) ，而向量平行则包括共线(重合)的情况(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数 的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和 平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量 是否垂直等，

7、由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解 几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点例1给出下列命题：若 a = b ,则 a=b ；若a, b, c, d是不共线的四点，则 xb = dc是四边形abcd为平行四边形的充要条件;a=b的充要条件是 a 1=1 b 且a b ； 若 a / b, b / c,则 a / c,其中正确的序号是解：不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. 正确.; ab = dc , . | ab hdc |且 ab/dc ,又a, b, c, d是不共线的四点，四边形abcd为平行四边形；反之,若四边形abcd为平行四边形，则， ab

8、/dch|abhdc|,因此，ab=dc.a, b的长度相等且方向相同;又b=c, ； b, c的长度相等且方向相同,a, c的长度相等且方向相同，故a=c.不正确.当ab且方向相反时，即使| a |=| b | ,也不能得到a = b ,故 a 1=1 b 且a b不是a=%的充要条件，而是必要不充分条件. 不正确.考虑b = 0这种特殊情况.综上所述，正确命题的序号是.点评：本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多，因而容易遗 忘.为此，复习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生 活中的模型进行类比和联想.例2设a、b c、d、。是平面上的任意五点，试化简： ttt

9、t t tt ab + bc+cd, db+ac + bd -oa-oc + obco解：原式=(ab bc) cd -ac cd- ad原式=(db bd) ac =0 ac = ac原式=(ob-oa) (-oc-co)=ab.(oc co)舄 0 晶例3设非零向量a、b不共线，c =ka+b, d =a +kb化三r),若cd,试求k解：: c / d由向量共线的充要条件得：c =x d (入wr)口 4444444即 ka + b =入(a +kb )(k入)a + (1 一入 k) b = 0又丁 a、b不共线 一% 九=0.由平面向量的基本定理=k = 11u = 0二.平面向量的

10、坐标表小1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个 *-i单位向量i , j作为基底,由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a = xi,+yj,由于，与数对(x,y)一对应白因此把(x,y)叫做向量a的坐标， 记作,二(x,y),其中x叫作,在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1)若 a =(为，必),b =%，丫2 ),贝u a b = (x1 土x2, % 士 y2)t(2)若a仅i,yi

11、犯制里卜则ab=小- )(3)若 a =(x,y),则 a a =( % x, y y)(4)若a =(。必),b =小，丫2 ),贝ua/bu xy2x2y1=0(5)若a =(%,/ ),b =小2，丫2 ),则 a b = x % +y ”若a -lb ,则 x1 -x2 + y1y2 = 03向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示和性质运 算 类 型几何方法坐标方法运算性质向 量 的 加 法1 平行四边形法则2 .三角形法则a+b 0时，ka与a同向； at=x&+yy2l ll, 1ab = ba(?a) *b = a .(，b)=九(a b)

12、(a + b) ,c = ac + b,c-2- 2- 2 .2a =|a | , |a|=1x +y|a*b|a|b| ；，l1111-r!i例 1 已知向量 a = (1,2), b =(x,1), u =a +2b , v = 2a b ,且 u/v ,求实数 x 的值 4 t ttdt.解：耳为 a =(12), b =(x,1),u =a +2 , v = 2ab所以 uq(1,2) +2(x,1) =(2x+1,4) , v = 2(1,2) -(x,1)=(2-x,3)又因为u/v所以 3(2x+1)4(2 x) =0 ,即 10x=5，i1解得x = 2例2已知点a(4,0),

13、 b(4,4),c(2,6)，试用向量方法求直线ac和ob ( o为坐标原点)交点p的坐标_解：设 p(x,y),则 op = (x,y),ap = (x4,y)因为p是ac与ob的交点所以 4号公cl一也在直线ob上即得 opob,apac由点 a(4,0), b(4,4),c(2,6)得，ac = (-2,6), ob = (4,4)得方程组6(x-4)0=04x-4y =0解之得x=3y = 3故直线ac与ob的交点p的坐标为(3,3).三.平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为日，则a b= a -i b cos叫做a与b的数量积(或内积)，规定0 a

14、=041 .h4 j2向量的投影：i b i cos= #cr,称为向量b在1方向上的投影 投影的绝对 |a|值称为射影3.数量积的几何意义：a b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：a a=a2弓a;5.乘法公式成立：(a+b )a b )=a2 -b2 =|a2-|b ；(a土b) =a2 土2a b +b2 = a2 2a b +1b6平面向量数量积的运算律：才才 耳交换律成立：a b=b-a4 4. 4 j 4对实数的结合律成立：a b = a b =ab)i，wr分配律成立：a -b c=ac-bc=cab特别注意：(1)结合律不成立：a (b c (a b

15、 ) c ;(2)消去律不成立a b = a c 不能得到b = c ,(3)a b=o不能得到目=0或3=0, 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量 a = (x1,y1),b = (x2, y2),则 2 b = x1x2+y1y2,8向量的夹角：已知两个非零向量a与b,作oa = a , ob = b，则/aob=0(o0 e 180)叫做向量a与b的夹角.cos = cos 二 a,b=a *b _xx2yiy21a ,3 /x，yi2 . x22y22当且仅当两个非零向量a与b同方向时，8=o0,当且仅当a与b反方向时=1800,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9

16、垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a b 10两个非零向量垂直的充要条件：a x b a - b = g x1x2+y1y2 =0平面向量数量积的性质 例1判断下列各命题正确与否：(1) 0 a=0 ; (2) 0 a=0;(3)若 a=0,a b =a c,则 b = c ；若ab=ac,则b#c当且仅当a =0时成立；(5) (a b) c = a，(b c)对任意a,b,c向量都成立；(6)对任意向量a,有a2a2解：错；对；错；错；错；对例2已知两单位向量a与b的夹角为120。，若c=2a_b,d=3b-a,试求c与4d的夹角解：由题意，=c =1 ,且，与b的夹角为1200 ,所以，b =|a bcos1200 = -；，：c2 =c c = (2a-b) (2a-b) =4a2 -4a b +b2 = 7 ,二 c =,同理可得二口 = /3小：！ t 4* *4 4424217而c d =(2ab) (3b _a)=7a b _3b2_232 =，2设日为c与d的夹角，贝u cos二1717.912、7 13 一 182.-arccos1791182点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一