对面积曲面积分(4)课件

1、对面积曲面积分(4)第四节一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分 第十一章 对面积曲面积分(4)oxyz一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例: : 设曲面形构件具有连续面密度设曲面形构件具有连续面密度: : ( (x x, , y y, , z z), ), 求求质量质量 M M. .类似求平面薄板质量的思想类似求平面薄板质量的思想, , M),(kkk其中其中, , 表示表示 n n 小块曲面的直径的小块曲面的直径的最大值最大值 ( (曲面的直径为其上任意两

2、点间距离的最大者曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). ). 采用采用“分割分割, , 求和求和, , 取极限取极限”的方法的方法, , 可得可得: : 01lim(,)nkkkkkS 对面积曲面积分(4)SzyxMd),(1. 1. 定义定义: : 设设 为光滑曲面为光滑曲面, , f f ( (x, y, zx, y, z) ) 是定义在是定义在 上的一个上的一个有界有界函数函数, , “乘积乘积和式极限和式极限”都存在都存在: :Szyxfd),(其中其中 f f ( (x, y, zx, y, z) ) 叫做被积函数叫做被积函数, , 叫做叫做积分曲面积分曲面. .据此定义据此定义

3、, , 曲面形构件的质量为曲面形构件的质量为: :曲面面积为曲面面积为: :记作记作或或第一类曲面积分第一类曲面积分. .若对若对 做任意分割和局部区域任意取点做任意分割和局部区域任意取点, , 则称此极限为函数则称此极限为函数 f f ( (x, y, zx, y, z) )在曲面在曲面 上对上对面积的面积的曲面曲面积分积分01lim(,)nkkkkkfS dSS 对面积曲面积分(4)则对面积的曲面积分存在则对面积的曲面积分存在. . 对积分域的可加性对积分域的可加性: :Szyxfd),(1d),(Szyxf2d),(SzyxfSzyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质线性性质:

4、:SzyxgkSzyxfkd),(d),(21若若 f f ( (x, y, zx, y, z) )在光滑曲面在光滑曲面 上连续上连续, , 对面积对面积的曲面积分与的曲面积分与对弧长对弧长的曲线积分性质类似的曲线积分性质类似. . 积分的存在性积分的存在性: : 若若 是分片光滑的是分片光滑的, ,例如分成两片光滑曲面例如分成两片光滑曲面 1 1, , 2 2, , 则有则有: :2. 2. 性质性质设设 k k1 1, , k k2 2为常数为常数, , 则则: :对面积曲面积分(4)oxyz定理定理: : 设有光滑曲面设有光滑曲面 : : z z = = z z( (x, yx, y),

5、 (), (x, yx, y) ) D Dxyxy, , f f ( (x, y, zx, y, z) ) 在在 上连续上连续, , 则则曲面积分曲面积分: :存在存在, , 且有且有: :Szyxfd),(yxDyxf),(二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 yxD),(kkkyxk)( , , )df x y zS ( , )z x y221( , )( , )d dxyzx yzx yx y 对面积曲面积分(4)kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1

6、220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而而: :证明证明: : 由定义由定义知知Szyxfd),(0limnk 1kkkkSf),(对面积曲面积分(4)说明说明: :zyDzyzyxx),(),( , ),( , )xzyy x zx zD 可有类似的公式可有类似的公式. .1) 1) 如果曲面方程为如果曲面方程为: : 或或: :2) 2) 若曲面为参数方程若曲面为参数方程, , 只要求出在参数意义下只要求出在参数意义下d dS S的

7、表达式的表达式 , ,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分. . 对面积曲面积分(4)yxD例例1. 1. 计算曲面积分计算曲面积分其中其中 是球面是球面 x x2 2+ + y y2 2+ + z z2 2 = = a a2 2 被平面被平面 z z = = h h(0(0h h a a) )截出的截出的顶部顶部. .解解: :2222:hayxDyx221yxzz zSd20da0)ln(2122222haraayxDyxayxa222dd22022dhararroxzyhad,Sz 222:,( , )x yzaxyx yD 222aa

8、xy 2lnaah 对面积曲面积分(4)思考思考: :若若 是球面是球面 x x2 2+ + y y2 2+ + z z2 2 = = a a2 2 被平行平面被平行平面 z z = =h h 截出的上下两部分截出的上下两部分, , 则则: :) (dzS) (dzS0hln4aahhoxzy对面积曲面积分(4)例例2. 2. 计计算算,dSzyx其中其中 是由平面是由平面 x x+ +y y+ +z z=1=1与与坐标面所围成的四面体的表面坐标面所围成的四面体的表面. . ozyx111解解: : 设设 1 1, , 2 2, , 3 3, , 4 4 分别表示分别表示 在平在平面面 上的部

9、分上的部分, , 则则: :4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (1203, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd原式原式 = = 对面积曲面积分(4)xozy例例3.3. 设设 : : x x2 2+ + y y2 2+ + z z2 2 = = a a2 2 ),(zyxf计算计算.d),(SzyxfI解解: : 锥面锥面 与上半球面与上半球面22yxz的222yxaz.,2122122azayx,),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz当22yxz当交线为交线为: :设设 1 1 为上半球面夹于锥面间的部

10、分为上半球面夹于锥面间的部分, , 它在它在 xoy xoy 面上的投影域为面上的投影域为: :1yxD则则: : 1d)(22SyxI对面积曲面积分(4)1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD对面积曲面积分(4)例例4. 4. 求半径为求半径为R R 的均匀半球壳的均匀半球壳 的重心的重心. .解解: : 设设 的方程为的方程为: :yxDyxyxRz),( ,222利用对称性可知重心的坐标利用对称性可知重心的坐标: :,0 yx而而: : z 223RRR用球坐标用球坐标cosRz ddsind2R

11、S SdSzd20032dcossindR2002dsindR对面积曲面积分(4)例例5. 5. 计算计算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: : 取球面坐标系取球面坐标系, , 则则: :,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d对面积曲面积分(4)例例6. 6. 计算计算,d)(22SyxI其中其中 是球面是球面: :利用对称性可知利用对称性可知: :SzSySxddd222SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd448)3(4142解解: : 显然球心为显然球心为(1, 1, 1),

12、 (1, 1, 1), 半半径为径为3x利用重心公式利用重心公式SxdSd2222().xyzxyz 对面积曲面积分(4)zzd例例7. 7. 计算计算,d222zyxSI其中其中 是介于平面是介于平面 z z = = 0, 0, z z = = H H 之间的圆柱面之间的圆柱面 x x2 2+ + y y2 2= = R R2 2. . 分析分析: : 若将曲面分为前后若将曲面分为前后( (或左右或左右) )两片两片, , 则计算较则计算较繁繁. . zRSd2d则则: :HzRzRI022d2RHarctan2oHxyz解解: : 取曲面面积元素取曲面面积元素: :对面积曲面积分(4)oy

13、xzL例例8. 8. 求椭圆柱面求椭圆柱面 位于位于 xoyxoy 面上方面上方19522yx及平面及平面 z = yz = y 下方那部分柱面下方那部分柱面 的侧面积的侧面积 S S . . 解解: : )0(sin3,cos5:ttytxL取取SSdszLdtt cosdcos45302sd5ln4159zszSddttttdcos9sin5sin3220syLd对面积曲面积分(4)例例9. 9. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星设有一颗地球同步轨道通讯卫星, , 距地面高度距地面高度h h = = 36000 36000 km,km,运行的角速度与地球自转角速度相同运行的角速度与地球自转角速度相同, , 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. . ( (地球半径地球半径 R R = 6400 km) = 6400 km)yzxohRR解解: : 建立坐标系如图建立坐标系如图, , 覆盖曲面覆盖曲面 的的半顶角为半顶角为 , ,利用球坐标系利用球坐标系, , 则则: :ddsind2RS 卫星覆盖面积为卫星覆盖面积为: :SAd0202ddsinR)cos1 (22RhRRcoshRhR22对面积曲面积分(4)故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积