建筑力学13梁的变形课件

1、建筑力学13梁的变形第十章 梁的变形n1,了解梁的曲率公式、n2,了解用积分法求梁的变形、n3,掌握用叠加法求梁的变形。n4,了解提高梁刚度的措施。建筑力学13梁的变形10.1 弯曲变形的概念弯曲变形的概念n以图10.1所示的简支梁为例，说明平面弯曲时变形的一些概念。取梁在变形前的轴线为x轴，与x轴垂直向下的轴为y轴。nxAy平面就是梁的纵向对称面，荷载作用在这个平面上，梁变形后的轴线将成为此平面内的一条曲线，这条连续而光滑的曲线称为梁的挠曲线。 建筑力学13梁的变形图10.1 建筑力学13梁的变形n梁的弯曲变形可用两个基本量来度量：n(1) 挠度n梁任一横截面的形心C，沿y轴方向的线位移CC

2、，称为该截面的挠度，通常用y来表示。以向下的挠度为正，向上的挠度为负。n(2) 转角n梁的任一横截面C，在梁变形后绕中性轴转动的角度，称为该截面的转角，用表示。以顺时针转向的转角为正，逆时针转向的转角为负。10.1.1 挠度和转角挠度和转角建筑力学13梁的变形n梁上各横截面的挠度y，随着截面位置x的不同而改变，这种变化规律用挠曲线方程表示为ny=f(x)n挠曲线上任意一点处的斜率为n tan=dy/dxn在工程实际中，梁的变形极小，即极小，所以有tan，则n=dy/dx=f(x) n称为转角方程，反映了挠曲线上任意一点处切线的斜率等于该点处横截面的转角。 10.1.2 挠曲线方程挠曲线方程建筑

3、力学13梁的变形nn式中的正负号取决于坐标系的选择和弯矩的符号规定。在图10.2所示的坐标系中，弯矩的符号仍用第9章中的规定：M为正，挠曲线向下凸，二阶导数d2y/dx2 为负；M为负，挠曲线向上凸，二阶导数d2y/dx2 为正。nn上式称为梁的挠曲线近似微分方程。 10.1.3 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程22( )zd yM xdxEI 22( )zd yM xdxEI 建筑力学13梁的变形图10.2 建筑力学13梁的变形10.2 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形n为了计算梁的变形，可以直接对挠曲线近似微分方程式进行积分。对于等截面梁，抗弯刚度EI为常量，积分一次，可以得到转角

4、方程n再积分一次，可以得到挠曲线方程 1( )zdyM x dx CdxEI1 ( )zyM x dx dxCxDEI 建筑力学13梁的变形n【例 10.1】简支梁受均布荷载q作用，如图10.3所示，EI为常数。试求此梁的转角和挠曲线方程，以及此梁的最大挠度ymax(通常用符号f表示)和两端截面的转角A和B。n【解】(1) 列出挠曲线的近似微分方程n RA=RB= ql/2 n M(x)= qlx/2 - qx2/2 n EId2y/dx2 =-M(x)=- qlx/2 +qx2/2n(2) 积分n将上式连续积分两次，可以得到n EI dy/dx =EI=- qlx2/4 + qx3/6 +C

5、n EIy=- qlx3/12 + qx4/24 +Cx+D建筑力学13梁的变形图10.3 建筑力学13梁的变形n(3) 确定积分常数n简支梁的边界条件是在左、右两端铰支座处的挠度为零，即nx=0，y=0nx=l，y=0n代入式(b)得nD=0，C= ql3/24 n(4) 列出转角方程和挠曲线方程n将C、D值代入式(a)和式(b)，得梁的转角方程和挠曲线方程分别为：n= -1/EI (qlx2/4 - qx3/6- ql3/24 )ny= -1/EI(qlx3/12 - qx4/24X- ql3x/24)建筑力学13梁的变形n(5) 求ymax、A和Bn由对称性，可知梁的最大挠度ymax(或

6、f)在跨中截面，将x= l/2 代入式(d)，得nf=ymax= 5ql4/384EI n正号表示f的方向向下。n将x=0代入式(c)，得nA= ql3/24EI n正号表示A为顺时针转向。n将x=l代入式(c)，得nB=- ql3/24EIn负号表示B为逆时针转向。建筑力学13梁的变形n【例 11.2】承受集中荷载P的简支梁如图10.4所示， EI为常数。试求此梁的最大挠度ymax和两端截面的转角A和B。n【解】(1) 列弯矩方程n支座反力：nRA= Pb/l ，RB= Pa/l n因为集中荷载P将梁分为两段，各段的弯矩方程不同，因此需分别写出它们的弯矩方程。nAC段： M(x1)= Pb/

7、l x1(0 x1a)nCB段： M(x2)= Pb/l x2-P(x2-a)(ax2l)建筑力学13梁的变形n(2) 列出挠曲线近似微分方程nAC段： EId2y1/dx12=-M(x1)=- Pb/lx1n积分后可得n EIdy1/dx1=EI1=- Pb/lx12/2 +C1n EIy1=- Pb/lx13/6 +C1x1+D1nCB段: EId2y2/dx22=-M(x2)=- Pb/lx2+P(x2-a)n积分后可得nEIdy2/dx2 =EI2=- Pb/l x22/2 +P (x2-a)2/2 +C2nEIy2=- Pb/lx23/6 +P (x2-a)3/6 +C2x2+D2建

8、筑力学13梁的变形n(3) 确定积分常数n为了确定积分出现的四个积分常数，除了要利用边界条件外，还要利用相邻两段梁在交接外变形的连续条件。n边界条件：nx1=0，y1=0nx2=l，y2=0n连续条件：nx1=x2=a，1=2y1=y2n将以上条件代入式(a)、(b)、(c)、(d)，联立求解，可得积分常数nD1=D2=0C1=C2= Pb/6l (l2-b2)建筑力学13梁的变形n(4) 列出转角方程和挠曲线方程n将所求得的四个积分常数代回式(a)、(b)、(c)、(d)，得转角和挠曲线方程。nAC段：n 1=dy1/dx1 = Pb/6lEI(l2-3x21-b2) n y1= Pbx/6

9、lEI (l2-x21-b2)nCB段：n 2= Pa/6lEI (2l2+3x22-6lx2+a2) n y2= Pa(l-x)/6lEI (2lx2-x22-a2) 建筑力学13梁的变形n(5) 计算A、B和ymaxn将x=0代入式(e)，得nA= Pab(l+b)/6lEI n将x=l代入式(g)，得nB=- Pab(l+a)/6lEI n当= dy/dx =0时，y为极值，所以应首先确定转角为零的截面的位置。在本例题中，设ab。由式(e)知，当x1=0时，10；当x1=a时，10。因此=0的截面必然在AC段内。n令dy1/dx1 =1=0n解得 x1=l2-b2/3 建筑力学13梁的变

10、形n将上式x1的值代入式(f)，得nymax= 3Pb/27lEI (l2-b2)3n从式(i)可知：n当b0时nx1=l2/3 =0.577ln当b= l/2 时n x1=0.5ln从式(j)和式(k)可以看出，集中荷载P的位置对于最大挠度位置的影响并不大。因此，为了实用上的方便，不管集中荷载P的位置如何，都可用跨度中点的挠度代替最大挠度，并且不会引起很大误差。建筑力学13梁的变形10.3 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形n从上节可知，梁的转角和挠度都与梁上的荷载成线性关系。于是，可以用叠加法来计算梁的变形。即梁在几个荷载同时作用时，其任一截面处的转角或挠度等于各个荷载分别单独作用时梁在

11、该截面处的转角或挠度的代数和。n梁在简单荷载作用下的转角和挠度可从表11.1中查得。建筑力学13梁的变形n【例10.3】简支梁受荷载作用如图10.5(a)所示。试用叠加法求梁跨中点处的挠度和支座处截面的转角。n【解】梁的变形是均布荷载q和集中力偶M共同作用引起的。把作用在梁上的荷载分为两种简单的荷载，如图10.5(b)、(c)所示。n在均布荷载q单独作用下，由表11.1查得：nyCq= 5ql4/384EI，Aq= ql3/24EI ，nBq=- ql3/24EI n在集中力偶M单独作用下，由表11.1查得：nyCM= Ml2/16EI，AM= Ml/3EI，nBM=- Ml/6EI建筑力学1

12、3梁的变形图10.5 建筑力学13梁的变形n根据叠加原理，在均布荷载q和集中力偶M共同作用时n yC=yCq+yCM= 5ql4/384EI + Ml2/16EIn A=Aq+AM= ql3/24EI + Ml/3EIn B=Bq+BM=- ql3/24EI - Ml/6EI建筑力学13梁的变形n【例11.4】一悬臂梁受荷载作用如图10.6(a)所示。试用叠加法求自由端B截面的挠度yB和转角B。n【解】为了直接利用表11.1的结果，将均布荷载从BC延长到A，为了不改变原梁的实际荷载作用情况，从A至C加上荷载集度相同而方向相反的均布荷载，如图10.6(b)所示。这样，图10.6(b)所示的梁与原

13、梁的受力和变形是完全相同的。n作用在图10.6(b)梁上的荷载可分解为图10.6(c)和图10.6(d)所示的两种简单荷载。n图10.6(c)所示的梁，自由端B截面的挠度和转角可由表10.1查得：nyB1= ql4/8EI，B1= ql3/6EI建筑力学13梁的变形图10.6建筑力学13梁的变形n图10.6(d)所示的梁，C截面的挠度和转角可由表11.1查得：n yC=- q（l/2）4/8EI =-ql4/128EI n C=- q（l/2）3/6EI =-ql3/48EI n由于CB段梁上没有荷载，在这一段梁上的弯矩为零，因而这一段梁不会发生弯曲变形，但它却会受AC段梁变形的影响而发生位移

14、。由图10.6(d)可见，B截面的挠度和转角为n yB2=yC+Cl/2 =- ql4/128EI -ql3/48EIl/2 =- 7ql4/384EI n B2=C=- ql3/48EI 建筑力学13梁的变形n根据叠加原理，原梁B截面的挠度和转角为n yB=yB1+yB2= ql4/8EI-7ql4/384EI= 41ql4/384EI n B=B1+B2= ql3/6EI-ql3/48EI=7ql3/48EI 建筑力学13梁的变形表表10.1常用梁在简单荷载作用下的变形常用梁在简单荷载作用下的变形 建筑力学13梁的变形建筑力学13梁的变形建筑力学13梁的变形建筑力学13梁的变形建筑力学13

15、梁的变形11.4 梁的刚度校核梁的刚度校核n所谓梁的刚度校核，就是检查梁的变形是否超过规定的允许值。n在土建工程中通常只校核挠度，其允许值常用挠度与梁的跨长的比值f/l作为标准。以f表示梁的最大挠度，其刚度条件可表达为n f/l f/lnf/l的值一般限制在1/2501/1000范围内。根据构件的不同用途，在有关规范中有具体规定。n梁必须同时满足强度和刚度条件，通常是先按强度条件设计，然后用刚度条件校核。建筑力学13梁的变形n【例11.5】一简支梁由18号工字钢制成，受均布荷载q的作用，如图10.7所示。已知材料的E=210GPa，=150MPa，f/l=1/400。试校核梁的强度和刚度。n【

16、解】(1) 由型钢表查得18号工字钢n Wz=185cm3=185103mm3n Iz=1660cm4=1660104mm4n(2) 强度校核n Mmax= ql2/8 = 2432/8kNm=27kNmn max= Mmax/Wzn= 27106/185103MPa=146MPa建筑力学13梁的变形图10.7建筑力学13梁的变形n(3) 刚度校核n由表11.1查得梁的最大挠度为nf= 5ql4/384EIz n所以n f/l = 5ql3/384EIzn= 524(3103)3/3842101031660104 n=0.00242f/l n此梁满足强度和刚度要求。建筑力学13梁的变形11.5

17、 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施n从表10.1可以看出，梁的变形不仅与梁的支承和载荷有关，还与梁的材料、截面形状和跨长有关。以上诸因素可以概括为n变形 载荷(跨长)n/抗弯刚度 n因此，要提高梁的弯曲刚度可以从以下几个方面考虑：n(1) 增大梁的抗弯刚度EIn它包含两个措施：增大材料的弹性模量和增大截面的惯性矩。工程中常采用工字钢等型钢、组合截面及空心截面等。 建筑力学13梁的变形n(2) 减小梁的跨度n梁的变形与其跨度的n次幂成正比。因此减小梁的跨度，能显著地增加梁的刚度。n减小梁的跨度有两个办法：一种方法是采用两端外伸的结构形式，如图10.8(a)所示；另一种方法是增加支座数目，

18、如图10.8(b)所示。显然，增加支座的梁变成了超静定梁，有关超静定梁的问题将在以后讨论。建筑力学13梁的变形图10.8建筑力学13梁的变形n（3） 改善荷载的作用方式n在结构允许的条件下，合理地调整荷载的作用方式，可以降低弯矩，从而减小梁的变形。如图10.9所示，将集中力P分散作用在全梁上，最大弯矩Mmax就由 Pl/4降低为 Pl/8 ，最大挠度f就由 Pl3/48EI 减小为 5Pl3/384EI。建筑力学13梁的变形图10.9建筑力学13梁的变形n提高梁刚度的措施1，弯剪关系的分析1）长跨轻载，弯矩控制作用，2）短跨重载，剪力控制作用，2，弯挠关系的分析1）材料的高强度可使强度满足要求

19、，从而减少材料的用量，但挠度且需要高的E，所以在材料的选择上，要求强度和E相适应。2）荷载与挠度的关系对于大跨的梁，可能由挠度控制，所以要加重梁的荷载，来达到双满，而短跨的梁，可能挠度过小，而应该减轻荷载。3，改进结构布置1）调整梁跨，以降低弯矩和挠度的峰值，如斗拱、伸臂梁、抹角梁、互搭梁。2）多向传力，减轻弯矩和挠度的峰值，如双向板、交叉梁、井字梁。n 3）利用支座约束，来减轻弯矩和挠度的峰值。如外伸梁、连续梁、固端梁 建筑力学13梁的变形 习题课2节建筑力学13梁的变形11.6 改进解构布置改进解构布置n梁用与荷载正交的杆件来承受荷载，传递力，以开辟室内空间。 其传力方式最不直接，必然承受弯、剪、并产生挠度。这虽无法根本避免，但在结构