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文档简介
1、建筑力学13梁的变形第十章 梁的变形n1,了解梁的曲率公式、n2,了解用积分法求梁的变形、n3,掌握用叠加法求梁的变形。n4,了解提高梁刚度的措施。建筑力学13梁的变形10.1 弯曲变形的概念弯曲变形的概念n以图10.1所示的简支梁为例,说明平面弯曲时变形的一些概念。取梁在变形前的轴线为x轴,与x轴垂直向下的轴为y轴。nxAy平面就是梁的纵向对称面,荷载作用在这个平面上,梁变形后的轴线将成为此平面内的一条曲线,这条连续而光滑的曲线称为梁的挠曲线。 建筑力学13梁的变形图10.1 建筑力学13梁的变形n梁的弯曲变形可用两个基本量来度量:n(1) 挠度n梁任一横截面的形心C,沿y轴方向的线位移CC
2、,称为该截面的挠度,通常用y来表示。以向下的挠度为正,向上的挠度为负。n(2) 转角n梁的任一横截面C,在梁变形后绕中性轴转动的角度,称为该截面的转角,用表示。以顺时针转向的转角为正,逆时针转向的转角为负。10.1.1 挠度和转角挠度和转角建筑力学13梁的变形n梁上各横截面的挠度y,随着截面位置x的不同而改变,这种变化规律用挠曲线方程表示为ny=f(x)n挠曲线上任意一点处的斜率为n tan=dy/dxn在工程实际中,梁的变形极小,即极小,所以有tan,则n=dy/dx=f(x) n称为转角方程,反映了挠曲线上任意一点处切线的斜率等于该点处横截面的转角。 10.1.2 挠曲线方程挠曲线方程建筑
3、力学13梁的变形nn式中的正负号取决于坐标系的选择和弯矩的符号规定。在图10.2所示的坐标系中,弯矩的符号仍用第9章中的规定:M为正,挠曲线向下凸,二阶导数d2y/dx2 为负;M为负,挠曲线向上凸,二阶导数d2y/dx2 为正。nn上式称为梁的挠曲线近似微分方程。 10.1.3 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程22( )zd yM xdxEI 22( )zd yM xdxEI 建筑力学13梁的变形图10.2 建筑力学13梁的变形10.2 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形n为了计算梁的变形,可以直接对挠曲线近似微分方程式进行积分。对于等截面梁,抗弯刚度EI为常量,积分一次,可以得到转角
4、方程n再积分一次,可以得到挠曲线方程 1( )zdyM x dx CdxEI1 ( )zyM x dx dxCxDEI 建筑力学13梁的变形n【例 10.1】简支梁受均布荷载q作用,如图10.3所示,EI为常数。试求此梁的转角和挠曲线方程,以及此梁的最大挠度ymax(通常用符号f表示)和两端截面的转角A和B。n【解】(1) 列出挠曲线的近似微分方程n RA=RB= ql/2 n M(x)= qlx/2 - qx2/2 n EId2y/dx2 =-M(x)=- qlx/2 +qx2/2n(2) 积分n将上式连续积分两次,可以得到n EI dy/dx =EI=- qlx2/4 + qx3/6 +C
5、n EIy=- qlx3/12 + qx4/24 +Cx+D建筑力学13梁的变形图10.3 建筑力学13梁的变形n(3) 确定积分常数n简支梁的边界条件是在左、右两端铰支座处的挠度为零,即nx=0,y=0nx=l,y=0n代入式(b)得nD=0,C= ql3/24 n(4) 列出转角方程和挠曲线方程n将C、D值代入式(a)和式(b),得梁的转角方程和挠曲线方程分别为:n= -1/EI (qlx2/4 - qx3/6- ql3/24 )ny= -1/EI(qlx3/12 - qx4/24X- ql3x/24)建筑力学13梁的变形n(5) 求ymax、A和Bn由对称性,可知梁的最大挠度ymax(或
6、f)在跨中截面,将x= l/2 代入式(d),得nf=ymax= 5ql4/384EI n正号表示f的方向向下。n将x=0代入式(c),得nA= ql3/24EI n正号表示A为顺时针转向。n将x=l代入式(c),得nB=- ql3/24EIn负号表示B为逆时针转向。建筑力学13梁的变形n【例 11.2】承受集中荷载P的简支梁如图10.4所示, EI为常数。试求此梁的最大挠度ymax和两端截面的转角A和B。n【解】(1) 列弯矩方程n支座反力:nRA= Pb/l ,RB= Pa/l n因为集中荷载P将梁分为两段,各段的弯矩方程不同,因此需分别写出它们的弯矩方程。nAC段: M(x1)= Pb/
7、l x1(0 x1a)nCB段: M(x2)= Pb/l x2-P(x2-a)(ax2l)建筑力学13梁的变形n(2) 列出挠曲线近似微分方程nAC段: EId2y1/dx12=-M(x1)=- Pb/lx1n积分后可得n EIdy1/dx1=EI1=- Pb/lx12/2 +C1n EIy1=- Pb/lx13/6 +C1x1+D1nCB段: EId2y2/dx22=-M(x2)=- Pb/lx2+P(x2-a)n积分后可得nEIdy2/dx2 =EI2=- Pb/l x22/2 +P (x2-a)2/2 +C2nEIy2=- Pb/lx23/6 +P (x2-a)3/6 +C2x2+D2建
8、筑力学13梁的变形n(3) 确定积分常数n为了确定积分出现的四个积分常数,除了要利用边界条件外,还要利用相邻两段梁在交接外变形的连续条件。n边界条件:nx1=0,y1=0nx2=l,y2=0n连续条件:nx1=x2=a,1=2y1=y2n将以上条件代入式(a)、(b)、(c)、(d),联立求解,可得积分常数nD1=D2=0C1=C2= Pb/6l (l2-b2)建筑力学13梁的变形n(4) 列出转角方程和挠曲线方程n将所求得的四个积分常数代回式(a)、(b)、(c)、(d),得转角和挠曲线方程。nAC段:n 1=dy1/dx1 = Pb/6lEI(l2-3x21-b2) n y1= Pbx/6
9、lEI (l2-x21-b2)nCB段:n 2= Pa/6lEI (2l2+3x22-6lx2+a2) n y2= Pa(l-x)/6lEI (2lx2-x22-a2) 建筑力学13梁的变形n(5) 计算A、B和ymaxn将x=0代入式(e),得nA= Pab(l+b)/6lEI n将x=l代入式(g),得nB=- Pab(l+a)/6lEI n当= dy/dx =0时,y为极值,所以应首先确定转角为零的截面的位置。在本例题中,设ab。由式(e)知,当x1=0时,10;当x1=a时,10。因此=0的截面必然在AC段内。n令dy1/dx1 =1=0n解得 x1=l2-b2/3 建筑力学13梁的变
10、形n将上式x1的值代入式(f),得nymax= 3Pb/27lEI (l2-b2)3n从式(i)可知:n当b0时nx1=l2/3 =0.577ln当b= l/2 时n x1=0.5ln从式(j)和式(k)可以看出,集中荷载P的位置对于最大挠度位置的影响并不大。因此,为了实用上的方便,不管集中荷载P的位置如何,都可用跨度中点的挠度代替最大挠度,并且不会引起很大误差。建筑力学13梁的变形10.3 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形n从上节可知,梁的转角和挠度都与梁上的荷载成线性关系。于是,可以用叠加法来计算梁的变形。即梁在几个荷载同时作用时,其任一截面处的转角或挠度等于各个荷载分别单独作用时梁在
11、该截面处的转角或挠度的代数和。n梁在简单荷载作用下的转角和挠度可从表11.1中查得。建筑力学13梁的变形n【例10.3】简支梁受荷载作用如图10.5(a)所示。试用叠加法求梁跨中点处的挠度和支座处截面的转角。n【解】梁的变形是均布荷载q和集中力偶M共同作用引起的。把作用在梁上的荷载分为两种简单的荷载,如图10.5(b)、(c)所示。n在均布荷载q单独作用下,由表11.1查得:nyCq= 5ql4/384EI,Aq= ql3/24EI ,nBq=- ql3/24EI n在集中力偶M单独作用下,由表11.1查得:nyCM= Ml2/16EI,AM= Ml/3EI,nBM=- Ml/6EI建筑力学1
12、3梁的变形图10.5 建筑力学13梁的变形n根据叠加原理,在均布荷载q和集中力偶M共同作用时n yC=yCq+yCM= 5ql4/384EI + Ml2/16EIn A=Aq+AM= ql3/24EI + Ml/3EIn B=Bq+BM=- ql3/24EI - Ml/6EI建筑力学13梁的变形n【例11.4】一悬臂梁受荷载作用如图10.6(a)所示。试用叠加法求自由端B截面的挠度yB和转角B。n【解】为了直接利用表11.1的结果,将均布荷载从BC延长到A,为了不改变原梁的实际荷载作用情况,从A至C加上荷载集度相同而方向相反的均布荷载,如图10.6(b)所示。这样,图10.6(b)所示的梁与原
13、梁的受力和变形是完全相同的。n作用在图10.6(b)梁上的荷载可分解为图10.6(c)和图10.6(d)所示的两种简单荷载。n图10.6(c)所示的梁,自由端B截面的挠度和转角可由表10.1查得:nyB1= ql4/8EI,B1= ql3/6EI建筑力学13梁的变形图10.6建筑力学13梁的变形n图10.6(d)所示的梁,C截面的挠度和转角可由表11.1查得:n yC=- q(l/2)4/8EI =-ql4/128EI n C=- q(l/2)3/6EI =-ql3/48EI n由于CB段梁上没有荷载,在这一段梁上的弯矩为零,因而这一段梁不会发生弯曲变形,但它却会受AC段梁变形的影响而发生位移
14、。由图10.6(d)可见,B截面的挠度和转角为n yB2=yC+Cl/2 =- ql4/128EI -ql3/48EIl/2 =- 7ql4/384EI n B2=C=- ql3/48EI 建筑力学13梁的变形n根据叠加原理,原梁B截面的挠度和转角为n yB=yB1+yB2= ql4/8EI-7ql4/384EI= 41ql4/384EI n B=B1+B2= ql3/6EI-ql3/48EI=7ql3/48EI 建筑力学13梁的变形表表10.1常用梁在简单荷载作用下的变形常用梁在简单荷载作用下的变形 建筑力学13梁的变形建筑力学13梁的变形建筑力学13梁的变形建筑力学13梁的变形建筑力学13
15、梁的变形11.4 梁的刚度校核梁的刚度校核n所谓梁的刚度校核,就是检查梁的变形是否超过规定的允许值。n在土建工程中通常只校核挠度,其允许值常用挠度与梁的跨长的比值f/l作为标准。以f表示梁的最大挠度,其刚度条件可表达为n f/l f/lnf/l的值一般限制在1/2501/1000范围内。根据构件的不同用途,在有关规范中有具体规定。n梁必须同时满足强度和刚度条件,通常是先按强度条件设计,然后用刚度条件校核。建筑力学13梁的变形n【例11.5】一简支梁由18号工字钢制成,受均布荷载q的作用,如图10.7所示。已知材料的E=210GPa,=150MPa,f/l=1/400。试校核梁的强度和刚度。n【
16、解】(1) 由型钢表查得18号工字钢n Wz=185cm3=185103mm3n Iz=1660cm4=1660104mm4n(2) 强度校核n Mmax= ql2/8 = 2432/8kNm=27kNmn max= Mmax/Wzn= 27106/185103MPa=146MPa建筑力学13梁的变形图10.7建筑力学13梁的变形n(3) 刚度校核n由表11.1查得梁的最大挠度为nf= 5ql4/384EIz n所以n f/l = 5ql3/384EIzn= 524(3103)3/3842101031660104 n=0.00242f/l n此梁满足强度和刚度要求。建筑力学13梁的变形11.5
17、 提高梁弯曲刚度的措施提高梁弯曲刚度的措施n从表10.1可以看出,梁的变形不仅与梁的支承和载荷有关,还与梁的材料、截面形状和跨长有关。以上诸因素可以概括为n变形 载荷(跨长)n/抗弯刚度 n因此,要提高梁的弯曲刚度可以从以下几个方面考虑:n(1) 增大梁的抗弯刚度EIn它包含两个措施:增大材料的弹性模量和增大截面的惯性矩。工程中常采用工字钢等型钢、组合截面及空心截面等。 建筑力学13梁的变形n(2) 减小梁的跨度n梁的变形与其跨度的n次幂成正比。因此减小梁的跨度,能显著地增加梁的刚度。n减小梁的跨度有两个办法:一种方法是采用两端外伸的结构形式,如图10.8(a)所示;另一种方法是增加支座数目,
18、如图10.8(b)所示。显然,增加支座的梁变成了超静定梁,有关超静定梁的问题将在以后讨论。建筑力学13梁的变形图10.8建筑力学13梁的变形n(3) 改善荷载的作用方式n在结构允许的条件下,合理地调整荷载的作用方式,可以降低弯矩,从而减小梁的变形。如图10.9所示,将集中力P分散作用在全梁上,最大弯矩Mmax就由 Pl/4降低为 Pl/8 ,最大挠度f就由 Pl3/48EI 减小为 5Pl3/384EI。建筑力学13梁的变形图10.9建筑力学13梁的变形n提高梁刚度的措施1,弯剪关系的分析1)长跨轻载,弯矩控制作用,2)短跨重载,剪力控制作用,2,弯挠关系的分析1)材料的高强度可使强度满足要求
19、,从而减少材料的用量,但挠度且需要高的E,所以在材料的选择上,要求强度和E相适应。2)荷载与挠度的关系对于大跨的梁,可能由挠度控制,所以要加重梁的荷载,来达到双满,而短跨的梁,可能挠度过小,而应该减轻荷载。3,改进结构布置1)调整梁跨,以降低弯矩和挠度的峰值,如斗拱、伸臂梁、抹角梁、互搭梁。2)多向传力,减轻弯矩和挠度的峰值,如双向板、交叉梁、井字梁。n 3)利用支座约束,来减轻弯矩和挠度的峰值。如外伸梁、连续梁、固端梁 建筑力学13梁的变形 习题课2节建筑力学13梁的变形11.6 改进解构布置改进解构布置n梁用与荷载正交的杆件来承受荷载,传递力,以开辟室内空间。 其传力方式最不直接,必然承受弯、剪、并产生挠度。这虽无法根本避免,但在结构
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