5.6平面向量的数量积

1、平面向量的数量积平面向量的数量积泉州七中 王剑峰2004年5月一、引入：一、引入：一个物体在力一个物体在力f 的作用下产生的作用下产生的位移的位移s，那么力，那么力f 所做的功所做的功应当怎样计算？应当怎样计算？sf力做的功：w = |f| |s|cos，是f与s的夹角向量的数量积1两个非零向量夹角的概念说明：（1）当0时，a与同向；（2）当时，a与反向；（3）当/2时，a与垂直， 记a；（4）注意在两向量的夹角定义中，两向量必 须是同起点的.范围0180baoabo已知非零向量a与，作 a， ，则（0）叫a与的夹角.ob oa 平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与，它们的夹角是

2、，则数量|a|b|cos叫a与的数量积，记作a b，即有 a b =|a|b|cos，（）.规定0与任何向量的数量积为0。探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；在数量积中，若a0，且ab=0，能不能推出b=0？为什么？（4）由ab = b c 能否推出a = c ？(5)在实数中，有(a b)c = a(b c)，但是(a b)c a(b c) 显然，这是因为左端是与c

3、共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线。3“投影”的概念：定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|。4向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。5两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。1 ea = ae =|a|cos2 ab ab = 03 当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时， ab = |a|b|。特例：特例：aa = |a|2

4、或aaa |4 cos =|baba5 |ab| |a|b|例例1 判断正误，并简要说明理由.a00； 0a0；0 ； aa；若a0，则对任一非零有a0；a0，则a与中至少有一个为0；对任意向量a，都有（a）a(）；a与是两个单位向量，则a.baab 例例2 已知a3，6，当a，a，a与的夹角是60时，分别求a.例例3 判断下列命题的真假：在abc中，若 ，则abc是锐角三角形；在abc中，若 ,则abc是钝角三角形；abc为直角三角形的充要条件是0ab bc 0ab bc 0ab bc 例例3 判断下列命题的真假：在abc中，若 ，则abc是锐角三角形；在abc中，若 ,则abc是钝角三角形；abc为直角三角形的充要条件是0ab bc 0ab bc 0ab bc 例例4 试证明：若四边形abcd满足 则四边形abcd为矩形.0,0,abcdab bc 且五、作业五、作业：