2021年中考数学压轴题提升训练 折叠与图形存在性

1、2021年中考数学压轴题提升训练 折叠与图形存在性2021年中考数学压轴题提升训练 折叠与图形存在性年级：姓名：折叠与图形存在性【例1】如图，在rtabc中，acb=90，ac=2，bc=4，cd是abc的中线，e是边bc上一动点，将bed沿ed折叠，点b落在点f处，ef交线段cd于g，当dfg是直角三角形时，则ce=.【答案】1，.【解析】解：在rtabc中，由勾股定理得：ab=2,由折叠性质知f=b90，分两种情况讨论，（1）当fdg=90时，d是rtabc斜边ab的中点，cd=bd=ad=，b=dce=f，dce+gec=f+fdg，gec=90，在rtdfg中，tanf=，dg=，cg

2、=cddg=，在rtceg中，ce=cgcosgce=1；（2）当fgd=90时，由（1）知b=f=dcb，由bd=df=，dg=dfsinf=1，cg=cddg=1，ce=cgcosdcb=（1）=，故答案为：1，.【变式1-1】如图，在菱形abcd中，dab=45，ab=8，点p为线段ab上一动点，过点p作peab交直线ad于e，沿pe将a折叠，点a的对称点为点f，连接ef、df、cf，当cdf是直角三角形时，ap=.【答案】或.【解析】解：如图，当dfab时，cdf是直角三角形，在菱形abcd中，ab=8，cd=ad=ab=8，在rtadf中，ad=8，dan=45，df=af=4，ap

3、=2；如图，当cfab时，dcf是直角三角形，在rtcbf中，cfb=90，cbf=a=45，bc=8，bf=cf=4，af=ab+bf=8+4，ap=af=4+2，故答案为：4或4+2【例2】如图，矩形abcd中，ab=2，ad=4，点e在边bc上，将dec沿de翻折后，点c落在点c处. 若abc是等腰三角形，则ce的长为.【分析】根据abc是等腰三角形，分ab=ac=2；ac=bc，即c落在ab的垂直平分线上时；ab=bc=2，三种情况讨论，逐一作出图形求解即可.【答案】2或.【解析】解：分三种情况讨论：ab=ac=2，如图所示，可得：四边形cdce是正方形，即ce=2；ac=bc，即c落

4、在ab的垂直平分线mn上时，如图所示，dm=1，cd=2，cdm=30，即得：cdc=60，edc=30，ce=cdtanedc=2=；ab=bc=2，此时作出c的运动轨迹，及以b为圆心，2为半径的圆，发现二者不相交，如图所示，即此种情况不存在；综上所述，答案为：2或.【变式2-1】如图所示，在abc中，c=90，acbc，将abc沿ef折叠，使点a落在直角边bc上的d点，设ef与ab、ac分别交于点e、f，如果折叠后cdf和bde均为等腰三角形，那么b=.【答案】45或30.【解析】解：若cdf是等腰三角形，c=90，cdf=cfd=45，由折叠性质知，a=fde，b=efd，若bde是等腰

5、三角形，则：（1）若de=bd，设b=deb=x，则a=fde=90x，cde=b+deb，45+90x=x+x，解得：x=45，即b=45，（2）若de=be，cde=180bde=180b，cde =45+fde=45+a=45+90b=135b，不符合题意，（3）若bd=be，设b=x，则bde=bed=90x，cde =45+a=135x，cde =b+deb=90+x，135x=90+x，解得：x=30，即b=30，综上所述，b的度数为：45或30.【例3】如图，在rtabc中，acb90，b30，ac2，e为斜边ab的中点，点p是射线bc上的一个动点，连接ap、pe，将aep沿着边

6、pe折叠，折叠后得到epa，当折叠后epa与bep的重叠部分的面积恰好为abp面积的四分之一，则此时bp的长为 【答案】2或2【解析】解：acb90，b30，ac2，e为ab的中点，ab4，aeab2，bc2（1）若点a落在bc上方时，连接ab，由折叠可得saepsaep，aeae2，点e是ab的中点，sbepsaepsabp由题可得：sefpsabp，sefpsbepsaepsaep，efbf，pfaf四边形aepb是平行四边形，bpae2；若点a落在直线bc下方时，连接aa，交ep与h， 可得：gpbg，eg1beae，egap1，ap2apac，即此时点p与点c重合，bpbc2 故答案为

7、：2或2【变式3-1】（2019安阳二模）如图，在abc中，c90，ab5，bc4点d是边ac的中点，点e在边ab上，将ade沿de翻折，使点a落在点a处，当线段ae的长为 时，aebc【答案】或【解析】解：分两种情况：（1） 当aebc时，aegb，由折叠可得，aa，b+a90，aeg+a90，age90，abcadg，adac，ag，dg，ag，设aeaex，则egx，则cosgea=,x=，即ae=；（2）当aebc时，ahec90，ahcd，设aey，由aheacb，得：ahy，hey，由折叠可得，aeaey，adad，ahy，dhy，sindah=,可得：y=，即ae，故答案为：或1

8、.如图，在rtabc中，acb=90，ab=5，ac=3，点d是bc上一动点，连结ad，将acd沿ad折叠，点c落在点c，连结cd交ab于点e，连结bc当bcd是直角三角形时，de的长为 【答案】或【解析】解：（1）当点e与点c重合时，bcd是直角三角形，在rtabc中，由勾股定理得：bc=4由翻折的性质可知；ae=ac=3，dc=de，eb=2设dc=ed=x，则bd=4x在rtdbe中，由勾股定理得：de2+be2=db2，即x2+22=（4x）2解得：x=（2）当edb=90时，由翻折的性质可知：ac=ac，c=c=90可得：四边形acdc为矩形ac=ac，四边形acdc为正方形cd=a

9、c=3db=bcdc=1deac，, 解得：de=（3）点d在bc上运动，dbc90，即dbc不可能为直角故答案为：或2.（2019洛阳三模）如图，已知 rtabc 中，b=90，a=60，ab=3，点 m，n 分别在线段ac，ab 上，将anm 沿直线 mn 折叠，使点 a 的对应点 d 恰好落在线段bc 上，若dcm 为直角三角形时，则 am 的长为 【答案】2或.【解析】解：在cdm中，c=30，分两种情况讨论cdm为直角三角形的情况，（1）当cmd=90时，如图所示，设am=x，则dm=x，cm=x，x+x=6，解得：x=；（2）当cdm=90时，如图所示，设am=x，则cm=2x，d

10、m=x，x+2x=6，解得x=2，综上所述，答案为：或2.3.如图，在矩形纸片abcd中，已知ab=6，bc=8，e是边ad上的点，以ce为折痕折叠纸片，使点d落在点f处，连接fc，当aef为直角三角形时，de的长为_【答案】3或6.【解析】解：由题意知，eaf90，（1）当aef=90时，如下图所示，由折叠知，cd=cf=de=ef=6，即de=6；（2）当afe=90时，如下图所示，此时点f落在对角线ac上，ac=10，cf=6，af=4，设de=x，则ef=x，ae=8x，在rtaef中，由勾股定理得：x2+42=（8x）2，解得：x=3，故答案为：3或6.4.如图，在rtabc中，a=

11、90，b=30，bc=+1，点e、f分别是bc、ac边上的动点，沿e、f所在直线折叠c，使点c的落对应点c始终落在边ab上，若bec是直角三角形时，则bc的长为 【答案】或2.【解析】解：b=30，分两种情况讨论：当bec=90时，be=ce，ce=ce，bc=+1，be=，ce=1，rtbec中，由勾股定理得：bc=2；当bce=90时，be=2ce=2ce，bc=+1，be=（+1），ce=（+1），在rtbec中，由勾股定理得：bc=；综上所述，bc的长为或25.如图，在rtabc中，ac8，bc6，点d为斜边ab上一点，deab交ac于点e，将aed沿de翻折，点a的对应点为点f如果e

12、fc是直角三角形，那么ad的长为【答案】或5【解析】解：在rtabc中，ac8，bc6，由勾股定理得：ab10，按直角顶点位置分类讨论，若cfe90，在rtabc中，acb90，cfb+efdb+a90，由翻折知：aefd，aeef，cfbb，cfbc6，在rtcef中，有ce2ef2+cf2，即ce2（8ce）2+62，ce，ae，由adeacb90，得adeacb，得：ad；当ecf90时，点f与b重合，adab5；当cef90时，则efbc，afeb，aafe，ab，acbc（与题设矛盾），这种情况不存在，综上所述：如果efc是直角三角形，ad的长为或5故答案为：或56.在rtabc中，

13、ac3，ab4，d为斜边bc中点，e为ab上一个动点，将abc沿直线de折叠，a、c的对应点分别为a、c，ea交bc于点f，若bef为直角三角形，则be的长度为 【答案】或【解析】解：b90，分两种情况讨论：当bef90时，过d作dmab于m，则emd90，dmac，d为bc中点，可得：m为ab的中点，bmab2，dmac，由折叠可得，medaef45，dem是等腰直角三角形，emdm，be2；当bfe90时，连接ad，ad，根据对称性可得：eadead，adadrtabc中，ac3，ab4，由勾股定理得：bc5，rtabc中，d为bc的中点，adbdadbc，beadfad，设bex，则bf

14、becosbx，dfbdbfx，由sinfadsinb，得：，解得：x，即be，综上所述，be的长度为或7.如图，在rtabc中，c=90，ac=，bc=4，点d是ac的中点，点f是边ab上一动点，沿df所在直线把adf翻折到adf的位置，若线段ad交ab于点e，且bae为直角三角形，则bf的长为_ 【答案】或6.【解析】解：由分析知eba90，分两种情况讨论：（1）当bae=90时，如图所示，连接bd，过f作fhac于h，可得：bcdbad，bdf=90，设fh=x，则af=2x，ah=x，dh=2x，bf=82x，由勾股定理得：bd2+df2=bf2，df2=dh2+fh2，即bd2+ d

15、h2+fh2= bf2，解得：x=，即bf=；（2）当bea=90时，如下图所示，由折叠性质知，a=adf=edf=30，ad=2，de=，ae=3，ef=de=1，af=2，即bf=6，综上所述，bf的值为或6.8.如图，在rtabc中，ab3，bc4，点p为ac上一点，过点p作pdbc于点d，将pcd沿pd折叠，得到ped，连接ae若ape为直角三角形，则pc 【答案】或.【解析】解：若ape=90，则cpd=epd=45，可得c=45，与题意不符，ape90，在rtabc中，ab=3，bc=4，由勾股定理得：ac=5，当aep90时，设pcx，在rtpdc中，sinc，cosc， 所以p

16、dx，cdx，由折叠知decdx ，bebcce4x，bpde，bae+aeb90，ped+aeb90，baeped=c，tanbaetanc,即，解得：x=，即pc=；当eap90时，如下图，设pc=x，则pe=x，pdx，cdx，ce=x，be=x4，可证：aeb=c，tanaeb= tanc，,即，解得：x=即pc=，综上所述，答案为：或.9.如图，矩形abcd中，ab4，ad6，点e为ad中点，点p为线段ab上一个动点，连接ep，将ape沿pe折叠得到fpe，连接ce，cf，当ecf为直角三角形时，ap的长为 【答案】1或.【解析】解：由图可知，ecf90，所以分两种情况讨论：（1）当

17、cfe90时，由折叠可得，pfea90，aefede，cfp180，即点p，f，c在一条直线上，rtcdertcfe，cfcd4，设apfpx，则bp4x，cpx+4，在rtbcp中，bp2+bc2pc2，即（4x）2+62（x+4）2，解得x，即ap；（2）当cef90时，过f作fhab于h，作fqad于q，则fqed90，feq+cedecd+ced，feqecd，feqecd，,，fq=，qe=，aq=hf=3qe=，ah=qe=，设apfpx，则hpx，在rtpfh中，hp2+hf2pf2，即（x）2+（）2x2，解得x1，即ap1综上所述，ap的长为1或10.如图，已知rtabc中，

18、b90，a60，ac2+4，点m、n分别在线段ac、ab上，将anm沿直线mn折叠，使点a的对应点d恰好落在线段bc上，当dcm为直角三角形时，折痕mn的长为 【答案】或.【解析】解：c=30，即c不可能是直角顶点，分两种情况讨论：（1）当cdm90时，在rtabc中，b90，a60，ac2+4，c30，ab+2，由折叠性质知，mdna60，bdn30，bndnan，bnab，an2bn，由dnb60，得：anmdnm60，amn是等边三角形，anmn；（2）当cmd90时，由题可得，cdm60，amdn60，bdn60，bnd30，bddnan，bnbd，an2，bn，bd=1，cd=bc-bd=abbd=2+2，dm=am=cd=+1，在rtanh中，ah=an=1，nh=，hm=am-ah=，在rthnm中，由勾股定理得：mn=；故答案为：或.11.如图，正方形abcd的边长是16，点e在边ab上，ae3，点f是边bc上不与点b，c重合的一个动点，把ebf沿ef折叠，点b落在b处若cdb恰为等腰三角形，则db的长为 【答案】16或4【解析】解：分三种情况讨论，（1）当bdbc时，过b作ghad交ab