微积分常用公式及运算法则(上)

1、微积分常用公式及运算法则结合律tan la =2 tan a1-tan2 acos =21 + cos a2-.9 a 1-cosasin* =2 22 a l-cosa tan* =21 + cosa分配律 An(U6(AWU(Ag,4U(3g = (AU3)n(AUC);对偶律a sin a 1 cos atan =21 + cosa sin a(AfW=hUF；sin 2a =2 tan a1 + tan2 acos 2a =1-tan2 a1 + tan2 atan la =2 tan a1-tan2 asin2 a+cos2 a = 1初等函数：双曲正弦、余弦、正切及运算cx exy

2、 = sinh x =(- y +oo),1 + tan2 a = sec2 a1 + cot2 a = csc2ay = cosh x =ex +严2-积化和差:sin a cos 0 =2cos a sin B = 尸2sin a sin B =2lsin(a + 0) + sin(a-0)sin(a + 0)-sin(a-0)cos(a-0)-cos(a + 0)cos a - cos 0 = cos(a+ 0) + cos(a-0)y = lanh x =sinhxcosh x(-ly 1)y = ar sinh x = ln(x + Jx? +1), (x w R.ye R)=ar

3、cosh x=ar tanhx = In21 4- rX-lx cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh a sinh y. sinh(x- y) = sinhx* cosh y - cosh x* sinh cosh(x - y) = cosh x cosh y 一 sinh x sinh ysinh 2x = 2 sinh x cosh x, cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x. cosh2 x-sinh2 x = 1集合的并、交、余运算律：交换律 AUB = 3UAADB = BnA;常用三角公式：sin 2a = 2sinacosa :c

4、os 2a = cos2 a-sin a = 2 cos2-1 = 1 -2sin2 aG4UB)UC = AU(BUC),(AnB)nc=An(z?nc)；极限的运算法则：设 lim f (x) = A, lim g (x) = B,那么 lim/(x) g = AB = lim/(x) limg(x) lim/(x) g(x) = 48 = lim f(x) lim g(x) Hm/W = A = linVW 中 bg(x) B lim(x)设 lim fi (x) = A J = 1,2,，畀， 那么对kR、i = 2 n,有 lim 凶 (x) + k2f2 (%) + + knfn

5、(x) =砧+2鸡+ *人, lim (x)/2 (x)人(x)=人 A?A”等价无穷小：当XT OH寸.x sin x tan x arcsin x arctan x ln(l + x) ex -1;l-cosx-;(l + x)n -1 ax(a 0); 2ax -1 - xna(a 0,a 丰 1).函数连续性：lim/(x) = /(x0)导数定义:2P(x), Qd)为多项式，当Q(x)工0,有 恤叽!护)_叫) f g) lim 2(x)Q(x0)Avi 4to Av厂(x) = limlim /(x + 37(x)axtoAv厂山)=厂(叫对有理分式函数在无穷大处的极限，有 当厶

6、工Ofl寸，lim恥“ +qx”+ + q”m = n b。= n求导公式：(C)=0严 (C = dTiid (ex = el(log初 xY =xna(sinx)，= cosx(cosx)z = -sinx3设 lim /(w) = A, lim u(x)= “(),且“(x)工“()W-UoXT 勺则 lim fu(x) = lim f (u) = AX.tgMMq(tan xY = sec2 x (cotx)z = -csc2x (secx)z = secx*tanx (esc x)f = -esc xcot x#limSinX=l(sin.r x8lim xx = 1(arcsin

7、xY =yJ-X2(arccosx)z = -1y-x2(arctan x)z = l + F(arccot x/=1 + jC#d(log x)=dxxna(sinh x)，= cosh x (cosh x/ = sinh x微分公式： d(C) = Od.T, d(x)=严 dx, d(d”)= aTnddxd(lnx) = dxXd(sinx) = cosxdx d(cosx) = -sinxdx d(tan x) = sec2 xdx d(cot x) = -csc2 xdx链式求导法则丄=匕业dx du dx对数求导法则：求幕指函数y =的导数时，可先取对数，得lny = v(x)

8、In z/(x), 然后两端对x求导，得 y ,/、，、v(x)ux)=v (x)ln w(x) +y(x)参数方程求导：若对参数方程x=(pt)求导，则有dydy _dy.(n _不_ 00)dx dr dx 竺(p(t)d74d(sec x) = sec xtan x d x d(csc x) = - esc xcot x d x高阶导数:/ ln)d(arcsin x) = /、d xyj-x2d(arccosx) = -(一1)5!X)(ex)in)=e#(cos)n =cos x +(sinx),/H =sin x +d(arctan x) = dx1 + jC#(n-D!x -a设

9、x = W(刃,它的反函数是y = /(x)，则有 心诰Id(arcco( a) d a1 + ；Cd(sinhx)=coshxdx d(coshx) = sinhxdx求导法则：(w + v)z = /Z+(an + 0y)=a/+(3v= UVltV(uvw)f = llfW + uvw + uvw|ln(l + x)-1 (l + x)(如+0M”=m+0)(1Y)(-1)5!2a*=o微分定义:d y =厂(x)Ax = fx)dx微分求近似值(线性逼近或一次近似):Ay = d yx = x0 + Av/Uo + Av) /(x0) + /z(x0)Av 令x = x + Ax 得，

10、f(x) f(x0) + fx0)(x-x0)常用一次近似式：ex =x + l;sin x = x;tan x- x;(1 + x) = 1 + av;111(1 +X)= X；拉格朗日定理：若/(x)w Ca,b,并且/e D(a、b), 那么至少存在一点兵(a、b),使柯西中值定理：若仁gw Ca,b9并且D(a、b),在(a,b)内 g(x)工0,那么至少存在一点w(a,b),使g(h)-g(a)g泰勒中值定理：如果函数f(x)在含兀的某个开区间(a.b) 内具有S + 1)阶导数,即/wfT&Q), 那么对于xw(d,b),有fM = f (x0) + /Vo )(x - X。)+

11、厂(忑)U-x0)cosx = l-x2+X4 +( x2w + o(x2m+i) 2!4!(2/n)!ln(l + x) = x-丄F+丄F-+(T) *+o(x) 0询)+犷严 其中p = l为曲率半径K微积分运算j/V)d = /(x) + CJ d/(x) = J (fx) dx) = /(x) + C (j/(x)dx)Z=(F(x) + C)，= /(x) d(j/(x)dx = /(x)dx + + ：f )(兀0)(兀一兀0) + R/t(X)nl其中r(h/5 + 1)!R”(x)称为拉格朗丨I余项，这里歹是勺与x之间的某个值拉格朗日中值公式：当 =0时，泰勒公式就是拉格朗口

12、中值公式:f(x) = /(x0) + 厂()(x - X。)麦克劳林公式：在泰勒公式中，心=啲特殊情况比较重要。 此时在0与x之间，可记为 = 0x(0v&VI)。/(%) = / (0) + fO)x + F + +广)(0)丿广川(旳”In(n + l)!fM = ex的n阶泰勒公式：x t171 n e0x 冲 =1 + X + AT + + X +X2!/!(” + l)!(Ov&v 兀) 带有佩亚诺余项的泰勒公式：如果函数门切在含有心的开区间(d,b)内具有 直道71 + 1阶的导数,且严)(x)在(a,b)内有界 贝” (x)在(a, /?)内有阶带有佩亚诺余项的泰 勒公式：fM

13、 = f (x0) + fx0)(x-Xo) + 尙厂(X。)(X 一 Xo )2 + + A f )(X。)(x - X。) + o(x -x0)n).Ill常见的基本初等函数的带有佩亚诺余项的麦 克劳林公式：ex =l + x +x2 + +T + o(xn)2!nl1315snx = x-x +x(2?n-l)!+ o(心)3!5!6Illdx = + C“+1W1+S+出+ 2!a(a-l)(a- + l)z 八+ x + o(xn)基本积分表k dx = kx + C伙=1 时 Jdx = x + C)7洛必达法则i殳/ (x)，g在点兀的某个去心领域内可导, 并且g(x)KO,又满

14、足条件：(1) lim f(x) = lim g(x) = 0 或=oo；KTX()(2) lim厶存在或为8f g (x).f(x) fx)lim= Inn ；f g(x) f g (x)dx = In Ixl+C xdx = arctan x + Ci + x2,1 d x = arcsin x + Ccosxdx = sinx + Csin x d x = - cos x + C#平均曲率呛I_I山I为曲线上弧段丽的长I Aa I为点M到点M曲线的切线的转角dx= sec2 xdx = tanx + C cos xJd x = esc2 xd x = -cotx + C siir xJ

15、sec x tan xd x = sec x + C esc xcotxdx = -esc a + C#j au(x) + /?v(x)|d.r = aj w(x)dx + 0j v(x)dx曲率公式曲线在点A/(j,y)处的曲率公式一 |)门(1+代严当曲线吋参数方程给出时，y = 0(/)10(。0(/)-讥/妙(/)1Jexdx = ex+C fnxdx = + C(n0,nl)JInnsinh xdx = cosh x + Ccosh xdx = sinhx + C不定积分线性运算法则不定积分的换元法f/10(X)0(x) d x =打(“)d 吐严 ”(dx = “0a)0曲打畑积分

16、公式f 、 = X arctan + C J rr + ;r a adx厂= arcsin + C2“ddx1 bx 八】八、2-b2x2 ba+ Cf dx 1 .j secxd x = In I sec x + tan x I+Ccscxdx = In Icscx-cotxl+C若/wq-dM,并且为偶函数则f(x)dx = 2Cf(x)dxJ-aJO若/GC-d,d,并且为奇函数，则 /(x)dx = 0J-aK*J2 /(sinx)dx = 2 /(cosx)dxJ xf(sn x)d x =龙J： /(sin x)d x 0)定积分的分部枳分法 jh uvfdx = uv 一 f T

17、dx j udv = uvt 一f yd“#不定积分的分部积分法或v = “-J vd/凹土上(当二2讥定积分牛顿-莱布尼茨公式如果函数/w Cd,b,函数F(x)足f(x) 的一个原函数，那么 f/(x)dx=F(b)-弘)=|尸(机沙！2(2/n-2)!(2/n-l)!(当刃=2/77-1)设函数/(/)连续，函数及0(Q可导，则fO d x) =/|(p(x)(px) 一 y*0(x)矿(x)定积分的换元法设函数/G Ca.b.如果函数x = 0满足：(1) (p(a) = a、(pU 且 (a,0)匚a,b 或 e(0,a)uS,b;(2) 0wCa,0(或 0wC0 .)JuJa定积

18、分的几何应用平面图形的面积：1.直角坐标情形平而图形/心) f2(xa x呛面积为A = f2(x)-fl(x)dx2 极坐标情形曲边扇形OSpSp(0),aS/S0的而积为q=F扣si97(x)vv(x)d厂匸匚体积1. 旋转体的体积曲边梯形0 ) /卫a b绕x轴旋转 一周所成的旋转体的体积为V = lf(x)2dx2. 平行截面面积为己知的立体的体积加在过点x = d和兀且垂直于兀轴的两个平 面之间、且半行面面积为A(x)的立体体积为V =A(x)dx平面曲线的弧长1. 直角坐标情形曲线弧段，=/(.v)(ax/7)W长度为s =+ dx2. 参数方程情形曲线弧? = m(a/；S)ly

19、 = 0(f)曲线弧段X = X),v = 0(r)(at b)的周长 alr = 47 2 vl-2 sin2 / d tJo其中S为椭圆的离心率3. 极坐标情形 空+P(x)y = 0(x)的通解 dxy = efPx)dx J Q(x)ePxAx d x + C)初值问题：yi=y0P(x)dx-f P(x)dx y = e ，(,r#曲线弧段” =PS (ppdy这是关于y,加勺一阶微分方程，若通解为 y = p = (，,C),即dy = (y,C)dx 分离变量两边积分，可得原方程通解：12若R重实根r,给出 R 项泸(G +QX + - + Q/-1)若R重共辘复根r = ai/,给出2R项：严(G +(?* + + C*-)cospx + (q + D2x + + Dkxkl)sin fix 11二阶常系数非齐次线性微分方程I fM = Pm(x)e.其中久是常数，化是册一个加次多项式方程y+py+g = ”(x)0具有形如：)=*Q”Cr)严的特解，其中Q”(x)是与化同次伽次)的多项式,则当2不是F+/ + g = O的根， = 0：久是尸+ r + q = 0的单