微积分复习(线面积分课件

1、微积分复习(线面积分如何学习一、一、 曲线积分的计算法曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法 曲线、曲面积分 第九章 微积分复习(线面积分第 九 章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区 间 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线弧曲线弧曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 微积分复习(线面积分一、曲线积分的计算法一、曲线积分的计算法1. 基本方法曲线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )(1) 选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)

2、确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终微积分复习(线面积分解答提示解答提示: 计算,d22syxL其中L为圆周.22xayx提示提示: 利用极坐标 ,)22(cos:arLdd22rrs原式 =sxaLd22dcos22aa22a说明说明: 若用参数方程计算,:L)20(tOxayrda)cos1 (2txatyasin2t则tyxsdd22 tad2 1 (1)微积分复习(线面积分ttad)cos1 ( 1(3). 计算,dd)2(Lyxxya其中L为摆线, )sin(ttax)cos1 (tay上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示提示:202dsinttta原式202si

3、ncosttta22 a)cos1 (tattattadsin)sin(yxxyadd)2(tttadsin2微积分复习(线面积分zyx1O 1(6). 计算其中 由平面 y = z 截球面22yx 提示提示: 因在 上有,1222yx故:原式 = tttdsincos2022221tttd2022221)cos1 (cos4221432212162txcostysin21 sin21tz )20( t,dzzyx从 z 轴正向看沿逆时针方向.,12所得 z微积分复习(线面积分(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;(2) 利用积分与路径无关的等价条件;(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技

4、巧加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .2. 基本技巧基本技巧微积分复习(线面积分例例1. 计算,d)(22szyxI其中 为曲线02222zyxazyx解解: 利用轮换对称性 , 有szsysxddd222利用重心公式知sysydd0szyxId)(32222sad322334azyxO( 的重心在原点) 微积分复习(线面积分CyxABLO例例2. 计算,d)(d)(22LyxyxyxI其中L 是沿逆时针方向以原点为中心、解法解法1 令,22xyQyxP则xQ这说明积分与路径无关, 故yxyxyxIABd)(d)(22aaxx d2332a1

5、yPa 为半径的上半圆周.微积分复习(线面积分解法解法2 ,BA它与L所围区域为D,Dyxdd0yxyxyxBAd)(d)(22xxaad2D(利用格林公式)思考思考:(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:LyxyxyxId)(d) (2222yLyxyxyxId)(d)(2213332a(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:BALyxyxyxId)(d)(22则添加辅助线段CyxABLO微积分复习(线面积分思考题解答思考题解答:LyxyxyxId)(d)(2213(1)ABABLDyxdd2)32(2aaLyxyxyxId)(d) (2222y(2)Lyxyxyxd)(d)

6、(22Lxy d2ttadsin303,sin,cos:taytaxL332a13223 a32a0:t332aIDCyxABLO微积分复习(线面积分),(),(2yxftytxtf证证: :把例例3. 设在上半平面0),(yyxD内函数),(yxf具有连续偏导数, 且对任意 t 0 都有证明对D内任意分段光滑的闭曲线L, 都有0d),(d),(yyxfxxyxfyL),(),(2yxftytxtf两边对t求导, 得:),(2),(),(321yxftytxtfyytxtfx得，令1t),(2),(),(21yxfyxfyyxfx),(),(yxfxQyxfyP再令则有0),(),(),(22

7、1yxfyyxfxyxfyPxQ，即yPxQ因此结论成立.(2006考研)微积分复习(线面积分DayLxOBA计算,d)2cose (d)2sin(eLxxyyxyyI其中L为上半圆周, 0,)(222yayax提示提示: :2cose,2sineyQyyPxxyxQyyPxxcose, 2coseyxDdd202a沿逆时针方向.ABABLI练习题练习题: P244 题 3(5) ; P245 题 6; 11. 3(5).用格林公式: 微积分复习(线面积分P245 6 . 设在右半平面 x 0 内, 力构成力场,其中k 为常数, ,22yx 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示提示

8、:)dd(3yyxxkWL令33,ykQxkP易证53yxkyPxQ)0(x),(3yxkFF 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为微积分复习(线面积分P245 11. 求力沿有向闭曲线 所作的其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三提示提示: BAzyxCOzxyzxyWdddABzxyzxyddd3ABzxd310d)1 (3zz23方法方法1从 z 轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,),(xzyF 功,微积分复习(线面积分OBAzyxC设三角形区域为 , 方向向上, 则zxyzxyWdddzyxSd313131yzx1:zyxSd)3(31) 1

9、, 1, 1 (31n方法方法223yxDyxdd33公式 n微积分复习(线面积分DxzyO例例4.zyxyxzxzyILd)3(d)2(d)(222222设L 是平面与柱面1 yx的交线从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解解: 记 为平面2zyx上 L 所围部分的上侧, D为 在 xOy 面上的投影.I3131312zyx223yx Szyxd)324(3222zy 222xz SzyxdL公式 微积分复习(线面积分Dyxyxdd)6(2D 的形心0 yxDyxdd1224SzyxId)324(32Dyxzyx),(, 2:1: yxDDxy11O微积分复习(线面积分二、曲面积

10、分的计算法二、曲面积分的计算法1. 基本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 选择积分变量 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面微积分复习(线面积分思思 考考 题题1) 二重积分是哪一类积分? 答答: 第一类曲面积分的特例.2) 设曲面,),( ,0:Dyxz问下列等式是否成立?DyxyxfSzyxfdd)0 ,(d),( 不对不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关 Dyxyxfyxzyxfdd)0 ,(dd),(微积分复习(线面积分2. 基本技巧基本技巧(1) 利用对称性及重心公

11、式简化计算(2) 利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化微积分复习(线面积分zyxO练习练习:P244 题题4(3) ,ddddddyxzxzyzyx其中 为半球面222yxRz的上侧.且取下侧 , 原式 =3323R032 RP244 题题4(2) , P245 题题 10 同样可利用高斯公式计算.0zyxddd30ddddddyxzxzyzyx记半球域为 ,高斯公式有计算提示提示: 以半球底面0为辅助面, 利用微积分复习(线面积分例例5.证明证明: 设(常向量)则单位外法向向量, 试证Sdcoscoscoscoscoscos0

12、vzyxd)cos()cos()cos(zyddcosxzddcosyxddcos设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n为 的 . 0d)cos(Sa,nSand)cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos0aSa ,nd)cos(微积分复习(线面积分例例6. 计算曲面积分yxrzxzryzyrxIdddddd333其中,222zyxr.:2222取外侧Rzyx解解:yxzxzyzyxRIdddddd13313d ddxyzR4思考思考: 本题 改为椭球面1222222czbyax时, 应如何计算 ?提示提示: 在椭球面内作辅助小球面取2222zyx内侧, 然后用高斯公式 .微

13、积分复习(线面积分2121I例例7. 设 是曲面9) 1(16)2(5122yxz23222)(dddddzyxyxzxzyzyxId2221:yxz解解: 取足够小的正数 , 作曲面取下侧使其包在 内, 2为 xOy 平面上夹于之间的部分, 且取下侧 ,1与21取上侧, 计算, )0( z则Ozyx微积分复习(线面积分)2(133I2121Ivd01dddddd13yxzxzyzyx22322)(dd0yxyx2第二项添加辅助面, 再用高斯公式, 21Ozyx23222)(dddddzyxyxzxzyzyxId1zyxO注意曲面的方向 !得微积分复习(线面积分例例8. 计算曲面积分其,d2)

14、(22SzyzyxI中 是球面.22222zxzyx解解: Szxd)22(32SzyxId )(222zyyx22Syzxd)(2Szxd)(20利用对称性用重心公式微积分复习(线面积分备用题备用题 1. 已知平面区域L为D 的边界, 试证,0, 0),(yxyxDxyyxxyyxxyLxyLdededede) 1 (sinsinsinsin2sinsin2dede)2(xyyxxyL证证: (1) 根据格林公式d)ee(dedesinsinsinsinxyDxyLxyyxd)ee(dedesinsinsinsinxyDxyLxyyx所以相等, 从而左端相等, 即(1)成立.(2003 考研

15、)OyxD因、两式右端积分具有轮换对称性,微积分复习(线面积分(2) 由式d)ee(dedesinsinsinsinxyDxyLxyyxdedesinsinxDyDd2D22d)ee(sinsinxxD由轮换对称性OyxD)2ee(tt易证微积分复习(线面积分(1) 在任一固定时刻 , 此卫星能监视的地球表面积是 2. 地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象机能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄像, 若地球半径为R , 卫星距地球表面高度为 H =0.25 R ,卫星绕地球一周的时间为 T , 试求(2) 在解解: 如图建立坐标系.,54cos8 . 0arccosR25. 1R3

16、T的时间内 , 卫星监视的地球表面积是多少 ?多少 ? yzxO设卫星绕 y 轴旋转微积分复习(线面积分(1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为02201dsinRSd)cos1 (22R252R(2) 在2S2025234RSR3T时间内监视的地球表面积为54cos点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停注意盲区与重复部分其中S0 为盲区面积RyzxOR25. 1微积分复习(线面积分(1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表面积为02201dsindRS)cos1 (22R252R(2) 在2S其中盲区面积200d2S202dsinR)sin1 (42R258

17、R256R3T时间内监视的地球表面积为54cos2025234RSR RyzxOR25. 1微积分复习(线面积分斯托克斯斯托克斯( Stokes ) 公式公式RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd SRQPzyxdcoscoscosnyzxO微积分复习(线面积分微积分复习(线面积分例例3. 计算,dsxIL其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1arL利用对称性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos:22arLOyx44微积分复习(线面积分例例4. 计算曲线

18、积分 ,d)(222szyx其中 为螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线微积分复习(线面积分例例5. 计算,d2sx其中 为球面 2222azyx被平面 所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2微积分复习(线面积分例例3. 计算,dd22yxxyxL其中L为(1) 抛物线 ;

19、 10:,:2xxyL(2) 抛物线 ;10:,:2yyxL(3) 有向折线 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式yyy222yy d5104(3) 原式yxxyxOAdd22 01)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210dy11yxO微积分复习(线面积分BAyxzO例例4. 设在力场作用下, 质点由沿 移动到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB解解: (1)zzyxxydddttkR2022d)(2) 的参数方程为kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20d试求

20、力场对质点所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk222k其中 为 ),(zxyFsFWdsFWd微积分复习(线面积分例例5. 求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,21:22zyxyx从 z 轴正向看为顺时针方向.解解: 取 的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2zyxO微积分复习(线面积分三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为

21、)0()(, )(lssyysxx已知L切向量的方向余弦为sysxddcos,ddcos则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(微积分复习(线面积分类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令tAsAtd, ),(RQPA)d,d,(ddzyxs )cos,cos,(costsA dsA dstAd记 A 在 t 上的投影为微积分复习(线面积分二者夹角为 例例6.

22、 设,max22QPM曲线段 L 的长度为s, 证明),(, ),(yxQyxP续,sMyQxPLdd证证:LyQxPddsQPLdcoscos设sMsQPLdcoscos说明说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连 )cos,(cos, ),(tQPAstALdsALdcos微积分复习(线面积分例例7. .将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到从解：解：OyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xxsyddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxP

23、Ld),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圆周微积分复习(线面积分LD区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞”区域 )域 D 边界L 的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左定理定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,LDyxyQxPyxQPdddd或一、一、 格林公式格林公式微积分复习(线面积分二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设D 是单连通域 ,),(),(yxQyx

24、P在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0ddLyQxP(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 微积分复习(线面积分说明说明: 根据定理2 , 若在某区域D内,xQyP则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd

25、),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(0则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;yx0y0 xOxy定理2 微积分复习(线面积分4) 若已知 d u = P dx + Q dy ,则对D内任一分段光滑曲BAyyxQxyxPd),(d),(ABu定理2 )()(AuBu线 AB ,有yyxQxyxPABd),(d),(注注: 此式称为曲线积分的基本公式曲线积分的基本公式(P211定理4). babaxFxxf)(dd)(DAB 它类似

26、于微积分基本公式: BAud)()(xfxF其中)()()(aFbFxFab微积分复习(线面积分yAxL例例4. 计算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 为上半24xxy从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,AOD它与L 所围原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周区域为D , 则O6483微积分复习(线面积分例例5. 验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设,22yxQyxP则xQyxyP2由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使yy

27、xxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu)0 ,(x 0yyxyd02yyxyd022221yx)0 , 0(),(yx微积分复习(线面积分例例6. 验证22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证证: 令2222,yxxQyxyP则)0()(22222xyQyxxyxP由定理定理 2 可知存在原函数),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxu 0)0(arctanxxyxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yxO微积分复习(线面积分xy)0 ,(x)0 , 1(),(yxO),()0 , 1

28、 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy微积分复习(线面积分则对面积的曲面积分存在. 对积分域的可加性.,21则有Szyxfd),(1d),(Szyxf2),(SzyxfdSzyxgkzyxfkd),(),(21 线性性质.则为常数设,21kkSzyxgkSzyxfkd),(d),(21),(zyxf若在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. 积分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面微积分复习(线面积分Oxyz定理定理:

29、 设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxdd),(),(122二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分yxD),(kkkyxk)(微积分复习(线面积分例例2. 计算,dSzyx其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. 解解: 设上的部分, 则4321,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1 (12031zyx与, 0, 0, 0zyx10d3xx1zyx4321Szyxd 原式 = 分别

30、表示 在平面 zyx111O微积分复习(线面积分xzyO例例3. 设2222:azyx),(zyxf计算.d),(SzyxfI解解: 锥面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1设,),(22122ayxyxDyx,22yx ，022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xOy 面上的投影域为则 1d)(22SyxI1yxD微积分复习(线面积分1d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxdd思考思考: 若例3 中被积函数改为),(zyxf,22yx ，022yxz当22yxz当计

31、算结果如何 ? xzyO1yxD微积分复习(线面积分例例5. 计算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐标系, 则,cosRz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d微积分复习(线面积分有向曲面及曲面元素的投影有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型) 微积分复习(线面积分其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 0 为下侧外侧内侧 设 为有向曲面,)(yxSSyxS)(侧的规定 指定了侧的曲面叫

32、有向曲面, 表示 :其面元在 xOy 面上的投影记为,0)(yxyxS)(的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)( ,)(微积分复习(线面积分二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面 的流量 . S分析分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量法向量: 流速为常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcosvS nvSnv微积分复习(线面积分对一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代变, 近似和,

33、取极限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS对稳定流动的不可压缩流体的速度场),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 进行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin设, 则 微积分复习(线面积分设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd记作P, Q, R 叫做被积函数被积函数; 叫做积分曲面

34、积分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积2. 定义：定义：微积分复习(线面积分引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为zyPddxzQdd称为Q 在有向曲面 上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;yxRdd称为R 在有向曲面 上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面 上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;yxRxzQzyPdddddd若记 正侧正侧的单位法向量为令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyx

35、xzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式微积分复习(线面积分3. 性质性质(1) 若,1kiiki 1之间无公共内点, 则i且(2) 用 表示 的反向曲面, 则SA dSASAddiSAdyxRxzQzyPddddddSnAdSA d微积分复习(线面积分三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法定理定理: 设光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上侧,),(zyxR是 上的连续函数, 则yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd证证:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS

36、 )(yxi)( 取上侧,),(iiiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(微积分复习(线面积分 若,),( , ),(:zyDzyzyxx则有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy则有xzzyxQdd),() , zxQxzD,(),(xzyxzdd(前正后负)(右正左负)说明说明: 如果积分曲面 取下侧, 则yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd微积分复习(线面积分四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系ni 1zyii

37、iiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻画微积分复习(线面积分令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnSSA dnAAnSnAd( A 在 n 上的投影)微积分复习(线面积分例例4. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为解解:Srqd2SRqd2q4。q)(),(222

38、33zyxrzyxrqrrqE求E 通过球面 : r = R 外侧的电通量 .SE dSnEdSrrdrrq3微积分复习(线面积分yxz111例例5. 设,1:22yxz是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n微积分复习(线面积分221cosyxx例例6. 计算曲面积分其中 解解: 利用两类曲面积分的联系, 有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosOyxz2 原式 =)( x)(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面)(2221yxz介于平面

39、z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. )(2xz2211cosyx 微积分复习(线面积分 原式 =)( x)(2xzyxzddOyxz2)( xxyxD22241)(yx 原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入将,)(2221yxz微积分复习(线面积分一、高斯一、高斯 ( Gauss ) 公式公式定理定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 ,zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd 函数 P, Q, R 在面 所围成, 则有 高斯 的方向取外侧, 微积分复习(线面积分x3z1y例例1. 用Gauss 公式计算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 为柱面122 yx闭域 的整个边界曲面的外侧. 解解: 这里利用Gauss 公式, 得原式 =zyxzyddd)(29,)(xzyP, 0QyxR及平面 z = 0 , z = 3 所围空间思考思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? zyxddd)230(利用质心公式, 注意23, 0zyO微积分复习(线面积分hz