必修2空间几何体132球的体积和表面积最新课件

1、必修2空间几何体132球的体积和表面积最新1.3.2球的体积与表面积必修2空间几何体132球的体积和表面积最新提出问题：提出问题：1 1、球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样、球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？2 2、球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示、球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？球的体积和面积？高等于底面半径的旋转体体积对比高等于底面半径的旋转体体积对比R.34,32:33RVRV 从从而而猜猜测测半半球球? 半球半球V331RV 圆锥圆

2、锥333RV 圆柱圆柱必修2空间几何体132球的体积和表面积最新祖暅原理祖暅原理: :夹在两个平行平面间的两个几何体，被平夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。P PQ Q祖暅原理祖暅原理必修2空间几何体132球的体积和表面积最新RrLooO1LPNKLBO2一个半径和高都等于一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后,所所得的几

3、何体的体积与一个半径为得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体的半球的体积相等。积相等。一、球的体积一、球的体积:必修2空间几何体132球的体积和表面积最新RrLo设球的半径为R,截面半径为r,平面22lR因此 S圆圆 = 2r= ( )22lR = 2R2loO1LPNKLBO2lS圆环 = 2R2l圆环面积S圆 = S圆环 根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即与截面的距离为那么 r r =锥柱球VVV213333231RRR343VR球球的体积球的体积必修2空间几何体132球的体积和表面积最新2.2. 探究球的表面积公式探究球的表面积公式设球设球O O的半径为的半径为R R，我们把，我

4、们把球面任意分割为一些球面任意分割为一些“小小球面片球面片”，它们的面积分，它们的面积分别用别用12,iSSS表示表示 以这些以这些“小球面片小球面片”为底，球心为顶点的为底，球心为顶点的“小小锥体锥体”的体积和等于球的的体积和等于球的体积，这些体积，这些“小锥体小锥体”可可近似地看成棱锥，近似地看成棱锥，“小锥小锥体体”的底面积的底面积. .必修2空间几何体132球的体积和表面积最新 可近似地等于可近似地等于“小棱锥小棱锥”的底面积，球的半的底面积，球的半径径R R近似地等于小棱锥的高近似地等于小棱锥的高iSih因此，第因此，第i 个小棱锥的体积个小棱锥的体积13iiiVhS当当“小锥体小锥

5、体”的底面非常小时，的底面非常小时，“小锥体小锥体”的的底面几乎是底面几乎是“平的平的”，于是球的体积，于是球的体积: :11221(3)iiVhShShS又因为又因为 ，且，且ihRiSO O必修2空间几何体132球的体积和表面积最新O OiSO OiV12iSSSS 可得可得: :13VR S343VR又因为又因为 所以所以: :31433RSR所以球的表面积所以球的表面积: :24SR必修2空间几何体132球的体积和表面积最新例例1.1.已知过球面上已知过球面上A A, ,B B, ,C C 三点的截面和三点的截面和球心的距球心的距离为球半径的一半，且离为球半径的一半，且ABAB= =B

6、CBC= =CACA=2,=2,求球的表面求球的表面积积. . C B A O O解解: :设截面圆心为设截面圆心为OO, ,连结连结OAOA, ,设球半径为设球半径为R .R .则则: :232 32323O A Rt O OA222OAO AO O在在 中，中，2222 31()34RR43R26449SR必修2空间几何体132球的体积和表面积最新例例2 2表面积为表面积为324324的球，其内接正四棱柱的高的球，其内接正四棱柱的高是是14,14,求这个正四棱柱的表面积。求这个正四棱柱的表面积。 A B C D D C B A O A C C A O解：设球半径为解：设球半径为R , ,正

7、四棱柱底正四棱柱底面边长为面边长为a, ,则作轴截面如图，则作轴截面如图，14,2 ,AAACa 又又24324 ,9.RR228 2ACACCC8a64 232 14576S 表必修2空间几何体132球的体积和表面积最新例例3 3. (P27. (P27页页) )如图如图, ,圆柱的底面直径与高都等于圆柱的底面直径与高都等于球的直径球的直径. .求证：求证：(1)(1) 球的体积等于圆柱体积的，球的体积等于圆柱体积的，(2) (2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。球的表面积等于圆柱的侧面积。23证明证明:(1):(1) 设球的半径为设球的半径为R,R,则圆柱的底面半径为则圆柱的底面半径为R,R

8、,高为高为2R2R。. .34,3VR球因为因为2322.VRRR圆柱所以所以, ,2.3VV球圆柱(2)(2) 因因为为24SR球2224SRRR圆柱侧SS球圆柱侧，所以，所以, ,必修2空间几何体132球的体积和表面积最新完成完成P P2828练习练习1,2,31,2,3题题补充练习：补充练习：1 1三个球的半径之比为三个球的半径之比为 那么最大的球的那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的体积是其余两个球的体积和的 倍；倍； 1:2:32.2.若球的大圆面积扩大为原来的若球的大圆面积扩大为原来的4 4倍，则球的体倍，则球的体积比原来增加积比原来增加 倍；倍；3.3.把半径分别为把半径分别

9、为3 3，4 4，5 5的三个铁球，熔成一个的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是大球，则大球半径是 ；4.4.正方体全面积是正方体全面积是24,24,它的外接球的体积是它的外接球的体积是 ，内切球的体积是内切球的体积是 必修2空间几何体132球的体积和表面积最新5.5.球球O O1 1、O O2 2、分别与正方体的各面、各条棱相切，、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球正方体的各顶点都在球O O3 3的表面上，求三个球的的表面上，求三个球的表面积之比表面积之比答案：答案：1.1. 3 3 2.2. 7 7 3.3. 6 6 4.4. , ,4 3435 5 解：设正方体棱长为

10、解：设正方体棱长为a a，则三个球的半径依次，则三个球的半径依次为为 , , ., , .2aa22a23 三个球的表面积之比三个球的表面积之比是是3:2: 1:321SSS必修2空间几何体132球的体积和表面积最新小结归纳小结归纳 ：1 1、球的表面积公式的推导及应用；、球的表面积公式的推导及应用；2 2、球的内接正方体、长方体及外切正方体的有、球的内接正方体、长方体及外切正方体的有关计算关计算 “分割分割 求近似和求近似和 化为准确和化为准确和”的方法，是一种重要的数学思想方法的方法，是一种重要的数学思想方法极限极限思想，它是今后要学习的微积分部分思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分定积分”内容的一个应用；内容的一个应用；3 3、球的体积公式和表面积公式要熟练掌握、球