平面向量知识点归纳68008

1、第一章平面向量2.1向量的基本概念和基本运算16、向量：既有大小，又有方向的量. 有向线段的三要素：起点、方向、长度. 单位向量：长度等于1个单位的向量.数量：只有大小，没有方向的量.零向量：长度为0的向量.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量.17、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连.平行四边形法则的特点：共起点.三角形不等式:运算性质：交换律：a b二b a ；结合律： ab、c a 亠b，c : a，0=O，a=a .一H彳呻彳坐标运算：设a= xi, yi , b = X2,y2，贝U a b二 X2, yiy2

2、.18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量.一H屮T彳坐标运算：设 a = y, , b = x2,y2，贝V a -b =为 - x2, % - y2 .设-二、2 两点的坐标分别为 x1, y-f , x2, y2，则-.B = x x2,- y2 .19、向量数乘运算:实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作精品资料当0时，a的方向与a的方向相同；当 ： 0时，a的方向与a的方向相反；当呻 网 =0 时， a = 0.运算律：忙-a - - a ；:洋炉-= -a.Ja : a b = a b. 坐标运算：设a = x,y，则a = x,y =

3、x y .斗扌彳 *斗 斗20、向量共线定理：向量 a a=0与b共线，当且仅当有唯个实数 ，使b=xa .设 a = Xi, yi , b = X2, y2 ,其中 b = 0，则当且仅当 xy - x?% = 0 时，向量 a、b b = 0共线.2.2平面向量的基本定理及坐标表示21、平面向量基本定理：如果G、佥是同一平面内 的两个不共线向量，那么对于这一平面e 4彳 T TT T内的任意向量a，有且只有一对实数人、人2，使a =2ie中质0!.（不共线的向量e、e2作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P是线段?2上的一点，?1、P2的坐标分别是捲畀,X2,y2,r

4、x x2 八y2当 ?2时，点P的坐标是 -2, 12.I 1 +扎 1 +九丿（当，=1时,就为中点公式。）2.3平面向量的数量积23、平面向量的数量积（两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 a b =刖）：aibcos日（a0,b式0,0兰日兰180 ）.零向量与任一向量的数量积为0 .性质：设a和b都是非零向量，则a_b= a，b=o 当a与b同向时，ab二ab ； .a &引玄咕.当a与b反向时,a b =a卩b ； a a = a a ?或运算律：a b = b a ； a b = - a b 二a b : a b c =坐标运算：设两个非零向量a hxi,yi , b =X

5、2,y2，则 a by2.若a二x, y，则a+ y2，或 aa=“,x2 y2 . 设 ：ixi,yi , bCx?？，则4ra设a 丄 b= xx：+yy2=0.T44呻 耳b都是非零向量，a m.Xi,如,b = X2, y2 ，二是a与b的夹角，贝U知识链接：空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明,求值的应用进行总结归纳 1、直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量：TT若A、B是直线I上的任意两点，则AB为直线I的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线I的方向向量.平面的法向量：4呻彳若向量n所在直线垂直于平面:-,则称这个向量

6、垂直于平面:-，记作n _ ：-,如果n _ ：-,4那么向量n叫做平面的法向量.平面的法向量的求法(待定系数法)： 建立适当的坐标系.4 设平面：的法向量为n =(x,y,z). 求出平面内两个不共线向量的坐标-(a1,a2,a3), b = (bnb2,b3).根据法向量定义建立方程组o O- -T-aTb解方程组，取其中一组解，即得平面:的法向量.(如图)1、用向量方法判定空间中的平行关系线线平行4 44 44设直线hh的方向向量分别是 a、b，则要证明h %，只需证明a /b，即a二kb（kR）.即：两直线平行或重合 =两直线的方向向量共线。线面平行444 4 （法一）设直线l的方向向

7、量是a，平面的法向量是u ,则要证明I % ,只需证明a _ u ,4 4即 a u =0.即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外 （法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.面面平行44T 4 网 寸若平面:-的法向量为u ,平面：的法向量为V ,要证:-% ,只需证u /V ,即证u = V.即：两平面平行或重合 =:两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直I 444 4设直线Ii,l2的方向向量分别是 a、b，则要证明li*，只需证明a b，即ab = 0.即：两直线垂直 两直线的方向向

8、量垂直。线面垂直 （法一）设直线I的方向向量是a，平面的法向量是u ,则要证明I _ ：,只需证明a/u，即 a = u 4T T （法二）设直线I的方向向量是a，平面内的两个相交向量分别为 m、n,若a n = 0即：直线与平面垂直 =:直线的方向向量与平面的法向量共线 ：=:直线的方向向量与平面 内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直若平面:-的法向量为u，平面1的法向量为v ,要证：.，只需证u _ v ,即证u V =0 即：两平面垂直 =:两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知a, b为两异面直线，A，C与B，D分别是a, b上的任意两点，a, b所成的角

9、为-，求直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角. 求法：设直线I的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为 v, a与u的夹角为则日为的余角或护的补角的余角即有:ukia uysin 日=cos求二面角如果B是锐角，则C0S日=cos| =如果8是钝角，则cosT =-cos即 v - arccosm n定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱， 每个半平面叫做.面角的面+面角的平面角是指在二面角:-的棱上任取一点0,分别在

10、两个半平面内作一丨-的平面角. 求法：设二面角： -丨- 一：的两个半平面的法向量分别为 m、n ,再设m、n的夹角为，.面角:.:的平面角为二，则二面角为m、n的夹角或其补角二-根据具体图形确定 二是锐角或是钝角:5、利用法向量求空间距离点Q到直线I距离=-)一 * T 一若Q为直线I外的一点，P在直线I上，a为直线I的方向向量，b = PQ，则点Q到直线I若点P为平面-外一点，点M为平面:内任一点,平面的法向量为n，则P到平面:的距离就等于 MP在法向量n方向上的投影的绝对值n mp直线 a与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离

11、可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即d两平行平面 :-/-之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。异面直线间的距离4设向量n与两异面直线 a, b都垂直，M a, P b,则两异面直线 a, b间的距离d就是-44MP在向量n方向上投影的绝对值。6、三垂线定理及其逆定理三垂线定理：在平面内的一条直线， 如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 和这条斜线垂直推理模式:P0丨 ,0三很PA0：二 A概括为：垂直于射影就垂直于斜线三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直P0

12、 丄 a,0 a 推理模式：PADa =Aa丄AOau a, a 丄 AP概括为：垂直于斜线就垂直于射影7、三余弦定理设AC是平面内的任一条直线，AD是的一条斜线 AB在内的射影，且BD 1AD , 垂足为D.设AB与（AD）所成的角为 门,AD与AC所成的角为 R , AB与AC所成的 角为 二.贝U COST -COSCOSH.Z1B8、面积射影定理已知平面1内一个多边形的面积为 S S原，它在平面:-内的射影图形的面积为 S S射，平面与平面1所成的二面角的大小为锐二面角二，则ISs射cos =.S S原9、一个结论长度为I的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为1l、I2、I3，

13、夹角分别为2 2 2 2 2 2 2刁、R、乃，则有I =li l2 I3cosy cos 2 COS 73 =12 2 2：=sin = sin n sin 乙=2.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）基础练习一 选择题1如图，点 0是正六边形 ABCDEF的中心，则以图中点 A, B, C, D, E, F, O中 的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有()A 6个B 7个C 8个D 9个解析：选D.与向量共线的向量有，共9个，故选D.2 设不共线的两个非零向量ei, e2,且 k(ei + e2)/fei + ke2),则实数 k 的

14、值为(A 1B - 1C 1答案：A3已知向量是不共线向量 ei, e2，给出下列各组向量：1a = 2e1, b = e1 + e2； a = 2e1 - e2, b = - e1 + ：e2； a = e1 + e2, b= 2e1-2e2；a = e1 + e2, b= e1 -e2.其中共线的向量组共有()A 1个B. 2个C 3个D 4个答案：B4 已知E、F分别为四边形 ABCD的边CD、BC边上的中点，设=a, = 0则=()1 1A. (a+ b)B (a + b)2 21C./a b)1D.：(b a)答案：B5 下列计算正确的有（）（7） X6a = 42 a : a 2b

15、 + （2a + 2b）= 3a; a + b （a+ b） = 0.A. 0个B . 1个C . 2个D . 3个解析：对，对，错，因为a+ b （a+ b）= 0.答案：C1. 化简+所得结果是（）A. B.C. 0D.答案：C2 .在ABC 中，| =|=|= 1，则 | |的值为（）A. 0B. 1C.- 3D . 2答案：B3. 已知向量a /b,且|a|b|0，则向量a + b的方向（）A. 与向量a方向相同B. 与向量a方向相反C 与向量 b 方向相同D 与向量 b 方向相反答案： A4. 在平行四边形 ABCD中，对角线 AC与BD交于点0,+=人贝U X=.答案： 25. 向

16、量 () ()等于 ()A.B.C.D.解析：(+ ) + (+ ) + = (+ )+ (+ )+ = + + = 故选 C.答案： C1 .如果ei、e2是平面a内所有向量的一组基底，那么 ()A .若实数刀、?2使?1 ei +氐2= 0 ,贝U乃=?2= 0B. 空间任一向量 a可以表示为a= Xiei+沁2，这里乃、?2是实数C. 对实数 入、?2, Xiei+乃e2不一定在平面 a内D. 对平面a中的任一向量a，使a=乃ei+ 血 的实数 乃、有无数对答案： A2. 如果 3ei + 4e2= a,2ei + 3e2= b，其中 a, b 为已知向量，则 ei =, e2 =答案：

17、ei = 3a 4b e2= 2a + 3b3. 设ei, e2是平面内一组基底，如果=3ei 2e2,= 4ei+ e2,= 8ei 9e2，则共线的三点是 ()A. A、B、 CB . B、 C、 DC. A、B、 DD. A、 C、D答案： C4. 设 e1， e 2是平面内所有向量的一组基底， 则下面四组向量中， 不能作为基底的是 ()A. e1e2 和 e1 e2B. 3ei 2e2和 4e2-6eiCe1 2e2 和 e22e1De2 和 e1e2解析：.4e2 6ei = 2(3ei 2e2),3ei 2e2 与 4e2 6ei 共线，故选 B.答案： B1若= (2 ， 3)，

18、且点 A 的坐标为 (1,2) ，则点 B 的坐标为 ()A(1,1)B.( 1， 1)C. (3， 5)D.(4， 4)答案： C2. 已知平行四边形 OABC（O为原点），=（2,0） , = （3,1），贝U OC等于（）A. (1,1)B . (1 , - 1)C . (- 1 , - 1)D . (- 1,1)解析：=一=(3,1) (2,0) = (1,1)，故选 A.答案：A3 若向量 a = (1,1) , b= (1 , 1), c= ( 1,2)，则 c 等于()1 3B. a - 一 b2 231C._a - 一b2 231D.飞 + 一 b2 2答案：B1 .若 a=

19、(2,3), b = (4, - 1 + y)，且 a /b,贝U y=()A. 6B . 5C . 7D . 8答案：C3 22. 已知点M是线段AB上的一点，点 P是平面上任意一点，= 一+一，若=入贝U入等552D_33 23A. 一B. 一C._552解析：用，表示向量，32223 233255555 55 53答案：D1. 若向量a、b满足|a| = |b| = 1, a与b的夹角为60则a a+ a b等于（）B.213解析：选 B.a a + a b= |a|2+ |a|b|cos60 = 1 + = 2. 设a, b, c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列结论正确的是()A

20、. (a b)c (c a)b= 0B. a b = 0? a= 0 或 b= 0C. (b c)a (a c)b 不与 c 垂直D. (3a + 4b) (3a 4b) = 9|a|2 16|b|2解析：选D.由于数量积是实数，因此(a b)c, (c a)b分别表示与c, b共线的向量，运算结果不为0,故A错误；当a Jb, a与b都不为零向量时，也有a b= 0,故B错误；(b c)a (a c)b c = (b c)a c (a c)b c = 0,故 C 错误；(3a+ 4 b) (3 a 4b) = 9a2 16b2 12a b+ 12a b=9|a|2 16|b|2.1. a=

21、( 4, 3), b= (5, 6)，贝U 3|a|2 4a b 等于()A. 23B. 57C . 63D . 83解析：选 D. -.|a| = ； (- 4) 2 + 32= 5,a b = - 4X5 + 3X6 =- 2, .-3|a|2 4a = 3X52-4汎2) = 83.故选 D.2. 已知 A(2 , 1), B(3 , 2), C(- 1 , 4)，则ABC 是()A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 任意三角形解析：选 B. = (1 , 1) ( - 3, 3) = - 3 + 3= 0.故选 B.1 设坐标原点为0,已知过点10 ,-的直线交函数、2丿1y= 2x2的图象于A、B两点，则的值为（）4B.33A.43C -41 1解析：选C.由题意知直线的斜率存在可设为k，则直线方程为y= kx + ；,与y=尹联1 1立得 2x2=kx+2，.x2- 2k