平面向量知识点总结精华

1、必修4平面向量知识点小结一、向量的基本概念1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例1已知Ag，B（4,2），则把向量AB按向量a4,3）平移后得到的向 量是.结果：（3，0）2. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的 方向是任意的；3. 单位向量:度为一个单位长度的向量叫做单位向量 （与AB共线 的单位向量是一互）；|AB|4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向 量有传递性；5. 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫 做平

2、行向量，记作：a匸,规定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量 平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！（因为有o）； 三点A、B、C共线二忌怎共线.6. 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量 记作-a.举例2如下列命题：（1）若简鼻，则a二.(2 )两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.(3 )若7BR，则ABCD是平行四边形.(4 )若ABCD是平行四边形，则7B品.(5 )若 aj, bjc，则 a.(6)若a/b，b/c则a/

3、c.其中正确的是. 结果：(4)( 5)二、向量的表示方法1. 几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2. 符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a， b， c等；3. 坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的 两个单位向量, j为基底，则平面内的任一向量a可表示为 a二：i 1并，x),y称(x, y)为向量a的坐标， =(x, y)叫做向量a的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标 相同三、平面向量的基本定理定理 设ea同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量， 则存在唯一实数对(匕)，使，化(1)定理核心

4、：a邛+爲；(2)从左向右看，是对向量a的分解，且 表达式唯一；反之，是对向量a的合成.(3)向量的正交分解：当ex时，就说总为对向量a的正交分 解.举例3(1 )若a m,；十)，2丄2)，则二结果：2 2(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是BA. & =(0,0),e2 =(1, -2)B.e =(,2),& =5,7)C.g =(3,5),& =(6,10)D. ei 42，_3) , q =2，4【(3) 已知7D,BE分别是 ABC的边BC , AC上的中线，且TDj , EJb,则 可用向量a,b表示为L结果：孑申.(4) 已知ABC中，点D在BC边上，且CD=2DB，

5、击品sAC，贝S r 5的 值是结果：0.四、实数与向量的积实数，与向量a的积是一个向量，记作.a，它的长度和方向规定如 下：(1 )模：丨扣 I a| ；(2 )方向：当0时，脅的方向与a的方向相同，当：0时，-a的 方向与a的方向相反，当，=o时，a=0,、卜 、八注意：a -0.五、平面向量的数量积1. 两个向量的夹角：对于非零向量 a , b，作O = a , OB二；，则把 AOB(0 v二)称为向量a , b的夹角.当v -0时，a , b同向；当v -二时，a , b反向；当V - 2时，a , b垂 直.2. 平面向量的数量积：如果两个非零向量a, b，它们的夹角为., 我们把

6、数量blcosn叫做a与b的数量积(或内积或点积)，记作:a b , 即 a b =| a | | b I cos v .规定：零向量与任一向量的数量积是 0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量举例4(1) ABC 中 ,|AB|T , | AC|T , |BC|=5 , 则 AC 二 . 结果：3.(2)已知a =，2,b =肌，二朋，；二二，,与d的夹角为扌，则k=结果：1.(3) 已知向三,iby , ab.，贝q |斗. 结果：誇.(4) 已知a,b是两个非零向量，且曲品/，则a与ub的夹角为结果：30).3. 向量b在向量a上的投影：|b|cosr，它是一个实数，但不一定大于0.举

7、例5 已知lal=3，|b|J，且a b =12，则向量a在向量b上的投影为结果:124. a b的几何意义：数量积ab等于a的模崗与b在a上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为贝心(i) a_b：=ab=o；(2 ) 当 a、b 同向时，a b =| a | | b |，特别地，aa a =| a |2=洛匕 va2 ； 弗再1；1是a、b同向的充要分条件；当a、b反向时，齢一|冷|：|, ;：一|；|.|：|是a、b反向的充要分条件；当v为锐角时，a b 0，且a、b不同向，a b 0是r为锐角的必要不 充分条件；当v为钝角时，a b 0，且 a、b不反向；a

8、b ： 0是v为钝角的必要不 充分条件.+(3)非零向量a , b夹角二的计算公式：cos 序；a b 0 ；(2) P外分线段PK时，点P在线段PP2的延长线上U -1，点 P在线段PP2的反向延长线上=-1 ： ：0.注：若点p分有向线段PP2所成的比为，则点p分有向线段PP所成的 比为J/u举例16若点P分齐所成的比为斗，则A分忝所成的比为 .结果：斗3. 线段的定比分点坐标公式：设P(X1,y1), BXy)，点P(x,y)分有向线段P1P2所成的比为,则定比分人+泳2X,点坐标公式为1I、亠八（扎鼻一1）. yi y2 yi +丸特别地，当1时，就得到线段PP2的中点坐标公式Xt +

9、x2 X =2yi +y2 y 二2说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确（xy） , （xr）、（“2）的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比举例17（ 1 ）若略_ , N（6,J），且和M厂，则点P的坐标为.结果：（, -7）；（2）已知A（a,O），B（3,2 a），直线y ax与线段AB交于M，且AM MB，则a二. 结果：2或牛 十一、平移公式如果点P（x,y）按向量a =（h,k）平移至P（x：y）,则xh 1 ;曲线f（x,y） =0按 y =y 出.向量2 =（h,k）平移得曲线

10、f（xh,y-k） =0.说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？ （2）向 量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18（ 1 ）按向量时巴（2,）平移到2），则按向量1把点（Z2）平移到点. 结果：（厶3）；（2）函数y釧2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y HOS2X十，则a =. 结果：（早1）.十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用;2.模的性质：崗iba 十bi习abi.(1) 右边等号成立条件:a、b同向或ab中有oia bai ibi；(2) 左边等号成立条件：a、b反向或ab中有0二悟_：|帚|花|； (3

11、) 当 Of、b 不共线二 a-bl jbJa|b |.3.三角形重心公式在 ABC中，若A(xi,yi)， Bgy2)， Cgy3)，则其重 心的 坐标为x +X2 +沧 +y2 5）G( 3举例19重心的坐标为5.三角形3若厶ABC的三边的中点分别为A(2,1)、B(,4)、C(J,J)，则“ABC的 二结果：43 -“三心”的向量表示精品资料(1 ) PG(PA PB PC)= GABC 的重心，特别地 PA PBG3为 ABC的重心.(2 ) PA PB =PB PC = PC PAu P 为 ABC 的垂心.(3 )TbiPC IBCIPA ICAlPBFu P 为 ABC 的内心；向量:AB AC (；0)所在直线过ABC的内心.|AB| |AC|6点P分有向线段PP2所成的比向量形式1 7向量设点p分有向线段PP2所成的比为，若M为平面内的任一点，贝y M