曲线积分与曲面积分优秀课件

1、曲线积分与曲面积分优秀1GaussGauss公式公式物理意义物理意义-散度散度小结小结 思考题思考题 作业作业第六节第六节 Gauss公式与散度公式与散度第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 高斯高斯 Gauss,K.F. (17771855) 德国数学家、物理学家、天文学家德国数学家、物理学家、天文学家曲线积分与曲面积分优秀2 Green公式公式把平面上的把平面上的闭曲线积分闭曲线积分与与本节的本节的Gauss公式公式给出了空间给出了空间闭曲面闭曲面上的上的曲面积分曲面积分与曲面所围空间区域上的与曲面所围空间区域上的它有明确的物理背景它有明确的物理背景三重积分三重积分的关系的关

2、系.所围区域的所围区域的二重积分二重积分联系联系起来起来. 散度散度. .Gauss公式与散度公式与散度曲线积分与曲面积分优秀3定理定理一、一、Gauss 公公 式式vzRyQxPd)( ,围成围成由分片光滑的闭曲面由分片光滑的闭曲面设空间闭区域设空间闭区域 上上在在、函函数数 ),(),(),(zyxRzyxQzyxPyxRxzQzyPddddddGauss公式称为奥高公式公式称为奥高公式,或奥斯特洛格拉斯或奥斯特洛格拉斯基公式基公式.(俄俄)1801 1861具有具有则有公式则有公式一阶连续偏导数一阶连续偏导数, , Gauss公式公式的整个边界曲面的是这里外侧外侧, ,Gauss公式与散

3、度公式与散度曲线积分与曲面积分优秀4 证明思路证明思路vzRyQxPd)( 分别证明以下三式分别证明以下三式,从而完成定理证明从而完成定理证明.yxzyxRvzRdd),(dzyzyxPvxPdd),(dxzzyxQvyQdd),(d只证其中第三式只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明其它两式可完全类似地证明.Gauss公式与散度公式与散度yxRxzQzyPdddddd曲线积分与曲面积分优秀5xyzOxyzO证证),(:22yxzz :3 xyDyxyxzzyxz ),(),(),(:21 设空间区域设空间区域母线平行于母线平行于z轴的柱面轴的柱面.),(:11yxzz 即边界面即边界面32

4、1, 由由三部分组成三部分组成:xyDxoy面上的投影域为面上的投影域为在在xyD(取下侧取下侧)(取上侧取上侧)(取外侧取外侧)nn柱柱面面 nGauss公式与散度公式与散度yxzyxRvzRdd),(d曲线积分与曲面积分优秀6xyzO xyDnnn由由三重积分三重积分的计算法的计算法 xyDyxyxzyxRyxzyxRdd),(,),(,12 vzRd ),(),(21dyxzyxzzzR yxxyDdd yxzyxRxyDyxzyxzdd),(),(),(21 投影法投影法( (先一后二法先一后二法) )Gauss公式与散度公式与散度yxzyxRvzRdd),(d曲线积分与曲面积分优秀7

5、xyzOxyDnnn 由由曲面积分曲面积分的计算法的计算法 yxzyxRdd),( 1 取取下下侧侧,2 取取上上侧侧,3 取取外外侧侧 xyDyxyxzyxRdd),(,1 yxzyxRdd),( yxzyxRdd),( xyDyxyxzyxRdd),(,2 01 2 3 ),(:22yxzz ),(:11yxzz yxzyxRdd),(321 一投一投,二代二代,三定号三定号Gauss公式与散度公式与散度yxzyxRvzRdd),(dyxzyxRdd),(曲线积分与曲面积分优秀8 xyDyxyxzyxRyxzyxRdd),(,),(,12yxzyxRdd),(于是于是 xyDyxyxzyx

6、RyxzyxRdd),(,),(,12 vzRdGauss公式与散度公式与散度yxzyxRvzRdd),(d曲线积分与曲面积分优秀9同理同理 vzRyQxPd)( 合并以上三式得合并以上三式得自己证自己证Gauss公式公式Gauss公式与散度公式与散度yxzyxRvzRdd),(dxzzyxQvyQdd),(dzyzyxPvxPdd),(dyxRxzQzyPdddddd曲线积分与曲面积分优秀10若区域若区域不是不是XY型区域，型区域，可以引进几张可以引进几张辅助曲面把辅助曲面把分为有限个较小的分为有限个较小的XY型区域型区域,并注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分并注意到沿辅助曲面相反两侧的

7、两个曲面积分的绝对值相等而符号相反的绝对值相等而符号相反, 相加时正好抵消。相加时正好抵消。因此因此, Gauss公式对这样的闭区域仍是正公式对这样的闭区域仍是正确的确的.Gauss公式与散度公式与散度曲线积分与曲面积分优秀11使用使用Guass公式时易出的差错公式时易出的差错: :(1) 搞不清搞不清是对什么变量求偏导是对什么变量求偏导;RQP,(2) 不满足高斯公式的条件不满足高斯公式的条件, 用公式计算用公式计算;(3) 忽略了忽略了 的取向的取向,注意是注意是取闭曲面的取闭曲面的外侧外侧. . vzRyQxPd)( Gauss公式公式Gauss公式与散度公式与散度yxRxzQzyPdd

8、dddd曲线积分与曲面积分优秀12vzRyQxPd)( 由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知SRQPd)coscoscos(Gauss公式为计算公式为计算(闭闭)曲面积分提供了曲面积分提供了它能简化曲面积分的计算它能简化曲面积分的计算.一个新途径一个新途径,表达了空间闭区域上的三重积分与其表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系边界曲面上的曲面积分之间的关系.Gauss公式的实质公式的实质Gauss公式与散度公式与散度曲线积分与曲面积分优秀13xyzO解解 333,zRyQxP zyxzyxIddd)(3222 dddsin322rrr,32xxP rrR

9、dsindd320004 球球 例例 ,dddddd333yxzxzyzyxI计算计算的的为为球球面面2222Rzyx ,32yyQ 23zzR 5512R 外侧外侧. . yxRxzQzyPddddddvzRyQxPd)( 因因是闭曲面是闭曲面,可可利用利用高斯公式高斯公式计算计算.Gauss公式与散度公式与散度曲线积分与曲面积分优秀14xyzOn例例,dddddd222 zyxyxzxzyzyxI计计算算解解 I zyxaddd3234343aaa 的的为为球球面面2222azyx 外侧外侧. . yxzxzyzyxdddddda1?能否直接用能否直接用点点(x,y,z)在曲面上在曲面上,

10、然后再用然后再用GaussGauss公式公式. .可先用曲面方程将被积可先用曲面方程将被积因被积函数中的因被积函数中的函数化简，函数化简，Gauss公式公式Gauss公式与散度公式与散度曲线积分与曲面积分优秀15有时可作有时可作辅助面辅助面,(将辅助面上的积分减去将辅助面上的积分减去).化为闭曲面的曲面积分化为闭曲面的曲面积分, 然后利用然后利用Gauss公式公式.对有的对有的 非闭曲面非闭曲面的曲面积分的曲面积分,Gauss公式与散度公式与散度曲线积分与曲面积分优秀16 coscoscos、,d)coscoscos(222Szyx )0(0222 hhzzzyx及及介于平面介于平面锥面锥面例

11、例 计算曲面积分计算曲面积分之间之间下侧下侧. .的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦.处处在在是是),(zyx 为为其中其中 部分的部分的解解 空间曲面空间曲面在在xOy面上的面上的,xyD曲面曲面 不是不是 为利用为利用Gauss公式公式.投影域为投影域为xyzOnxyD h)(,:2221hyxhz ,1取取上上侧侧 1 .1 围围成成空空间间区区域域 上上在在 补补构成构成封闭曲面封闭曲面, ,使用使用Gauss公式公式.封闭曲面封闭曲面, 1 nGauss公式与散度公式与散度曲线积分与曲面积分优秀17)ddd(2 vzvyvx vzyxd)(2由对称性由对称性Szyxd)coscos

12、cos(2221 0 ,),( 222hzzyxzyx zDyxddzzzhd220 vzd2zzhd203 42h 0 0 SRQPvzRyQxPd)coscoscos(d)(zzhd20 1 n nxyzOhxyD先二后一法先二后一法Gauss公式与散度公式与散度曲线积分与曲面积分优秀18 1d)coscoscos(222 Szyx xyDyxhdd24h 故所求积分为故所求积分为 Szyxd)coscoscos(222.214h 1cos, 0cos, 0cos 1d2 Sz)( ,:2221hyxhz 11 4421hh 1 n nxyzOhxyD4211h Gauss公式与散度公式与

13、散度yxyxSdddd001d 曲线积分与曲面积分优秀191. 通量通量( (流量流量) ) 为向量场为向量场 设有一向量场设有一向量场kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),( 则称沿场中则称沿场中有向曲面有向曲面某一侧的曲面积分某一侧的曲面积分:通量通量( (流量流量).). flux divergence穿过曲面穿过曲面这一侧的这一侧的),(zyxASAd 二、物理意义二、物理意义 通量通量与与散度散度通量的计算公式通量的计算公式 yxRxzQzyPdddddd kyxjxzizySddddddd Gauss公式与散度公式与散度曲线积分与曲面积分优秀20kzyxRjzyxQizy

14、xPA),(),(),( 设设RQP,均可导均可导,),(zyxA在称为点处的点处的散度散度，zRyQxPA div vzRyQxPd)( Gauss公式公式 yxRxzQzyPddddddAdiv.的的边边界界曲曲面面是是空空间间闭闭区区域域其其中中 Gauss公式与散度公式与散度2. .散度散度),(zyxzRyQxP则则记为记为Adiv即即曲线积分与曲面积分优秀21例例 向量场向量场kzxjyeixyAz)1ln(22 ).(div)0 , 1 , 1( AP的的散散度度在在点点 1989年研究生考题年研究生考题,填空填空(3分分)解解,),(2xyzyxP ,),(zyezyxQ )1

15、ln(),(2zxzyxR PxP PyQ PzR Adiv2)( PzRyQxP, 12 Py2, 1 Pze0122 PzxzzRyQxPA divGauss公式与散度公式与散度曲线积分与曲面积分优秀22练习设数量场设数量场,ln222zyxu ).()grad(div u则则2221zyx 解解222lnzyxu )ln(21222zyx 先求梯度先求梯度.gradu222zyxxxu 222zyxyyu 222zyxzzu 222222222gradzyxkzzyxjyzyxixu Gauss公式与散度公式与散度曲线积分与曲面积分优秀23再求再求ugrad的散度的散度.,222zyxx

16、P ,222zyxyQ 222zyxzR ,)(2222222zyxxzyxP ,)(2222222zyxyzxyQ 2222222)(zyxzyxzR 2221)grad(divzyxu 故故222222222gradzyxkzzyxjyzyxixu 设数量场设数量场,ln222zyxu ).()grad(div u则则Gauss公式与散度公式与散度曲线积分与曲面积分优秀24高斯高斯Gauss公式公式物理意义物理意义-通量通量与与散度散度三、小结三、小结表达了空间闭区域上的三重积分与其表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系边界曲面上的曲面积分之间的关系.高斯高斯Gau

17、ss公式的实质公式的实质(注意使用的条件注意使用的条件)Gauss公式与散度公式与散度曲线积分与曲面积分优秀25思考题思考题曲面曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？应满足什么条件才能使高斯公式成立？解答解答曲面应是分片光滑的曲面应是分片光滑的闭闭曲面曲面.Gauss公式与散度公式与散度曲线积分与曲面积分优秀26 被积函数中有抽象函数被积函数中有抽象函数,故无法直接计算故无法直接计算.? 如直接计算如直接计算分析分析 用用Gauss公式公式.思考思考,dd1dd1dd333yxzzyfyxzyzyfzzyxI 是锥面是锥面22zyx 4222 zyx所围立体的表面所围立体的表面1222 zyx计算设计算设f(u)是有连续的导数是有连续的导数,计算计算和球面和球面及及外侧外侧. .xyzOGauss公式与散度公式与散度曲线积分与曲面积分优秀27解解 由于由于,3xP ,32xxP ,3122yzyfzyQ 2231zzyfzzR 故由故由Gauss公式公式vzyxId)(3222 dddsin34rrrr d214 ).22(593 40dsin = 20d3 球