曲线积分与曲面积分最新课件

1、曲线积分与曲面积分最新1小结小结 思考题思考题 作业作业预备知识预备知识概念的引入概念的引入概念与性质概念与性质第二类曲面积分的计算法第二类曲面积分的计算法两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 第五节第五节 第二类曲面积分第二类曲面积分曲线积分与曲面积分最新2观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧 通常光滑曲面都有两侧通常光滑曲面都有两侧.(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)第二类曲面积分第二类曲面积分一、预备知识一、预备知识有两侧的曲面有两侧的曲面.(1)双侧曲面双侧曲面1.

2、曲面的分类曲面的分类曲线积分与曲面积分最新3(2) 单侧曲面单侧曲面莫比乌斯莫比乌斯(Mobius)带带.B、C 粘在一起形成的环粘在一起形成的环不通过边界可以不通过边界可以这在这在双侧曲面双侧曲面上是不能实现的上是不能实现的. .它是由一张长方形纸条它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下扭转一下,将将A、D粘在一起，粘在一起，行带行带.小毛虫在小毛虫在莫比乌斯带上莫比乌斯带上,爬到任何一点去爬到任何一点去.Mobius(1790-1868) 19世纪德国数学家世纪德国数学家第二类曲面积分第二类曲面积分曲线积分与曲面积分最新4规定规定第二类曲面积分第二类曲面积分2.有向曲面有向曲面决定了侧的双

3、侧曲面决定了侧的双侧曲面有向曲面上任一点处的有向曲面上任一点处的法向量的方向法向量的方向总是指向曲面指定的一侧。总是指向曲面指定的一侧。n曲线积分与曲面积分最新53. 有向曲面在坐标面上的投影有向曲面在坐标面上的投影.)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中xy 设设是是有向曲面有向曲面.,S 曲面曲面为为面面上上的的投投影影在在xySxOyS)( xyS)(时时当当0cos xy)( 时时当当0cos xy)( 时时当当0cos 0 假定假定 cosS 的余弦的余弦上各点处的法向量与上各点处的法向量与 z轴的夹角轴的夹角有相同的符号有相同的符号. 在有向曲面在有向曲面取一小块取一小块

4、上上 第二类曲面积分第二类曲面积分(上侧上侧)(下侧下侧),)(xyS S 在在xOy面上的面上的投影投影在在xOy面上的投影区域的面积附以一定的面上的投影区域的面积附以一定的S 实际上就是实际上就是正负号正负号.曲线积分与曲面积分最新6 类似地类似地,可定义可定义 在在yOz面及面及zOx面的投影面的投影:S ,)(yzS 希自己写出希自己写出zxS)( 第二类曲面积分第二类曲面积分曲线积分与曲面积分最新7流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量.v cos|vA 流量流量实例实例( 为平面为平面A的的单位单位法向量法向量)n(斜柱体体积斜柱体体积)nvA (1)流速场为流速场为常向量常向量,v

5、有向有向平面平面区域区域 A,求单位时间流过求单位时间流过A的流体的质量的流体的质量 (假定密度为假定密度为1).二、概念的引入二、概念的引入A An 第二类曲面积分第二类曲面积分曲线积分与曲面积分最新8(2) 设稳定流动的不可压缩流体设稳定流动的不可压缩流体kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 给出给出,函数函数),(),(),(zyxRzyxQzyxP上连续，上连续，都在都在 流体的密度与速度流体的密度与速度均不随时间而变化均不随时间而变化(假定密度为假定密度为1)的速度场由的速度场由v当当 不是常量不是常量,有有向向 曲面曲面求在单位求在单位时间内流向时间内流向

6、 指定侧的指定侧的流体的质量流体的质量. 是速度场中的一片是速度场中的一片有向曲面有向曲面,第二类曲面积分第二类曲面积分曲线积分与曲面积分最新9 xyzoiS ivin 分割分割则该点流速为则该点流速为 ，iv法向量为法向量为 .in),(iii iSn 小小块块分分成成把把曲曲面面同时也代表同时也代表iS (),小小块块曲曲面面的的面面积积第第i上任取一点上任取一点在在iS ),(iii ),(iiiivv kRjQiPiiiiiiiii),(),(),( 第二类曲面积分第二类曲面积分曲线积分与曲面积分最新10常向量常向量,有向平面有向平面 i求和求和取近似取近似该点处曲面该点处曲面的的单位

7、单位法向量法向量似值为似值为流向指定侧的流量的近流向指定侧的流量的近通过通过iS iiiSnv )., 2 , 1(ni 高高底底iS cos|vA nvA 通过通过流向指定侧的流量流向指定侧的流量第二类曲面积分第二类曲面积分iiiiiiiSnv),(),(0iiiiiiiniSnv),(),(01取极限取极限iiiiiiiniSnv),(),(lim010kjiniiii b ba acoscoscos ),cos(|iiinvv曲线积分与曲面积分最新11iiiiiiiniSnv),(),(lim010上式右端极限恰好是数量值函数上式右端极限恰好是数量值函数),(),(0zyxnzyxv在曲

8、面在曲面上的第一类曲面积分，上的第一类曲面积分，故故 可表为可表为dSzyxnzyxv),(),(0第二类曲面积分第二类曲面积分曲线积分与曲面积分最新12二、第二类曲面积分的概念和性质二、第二类曲面积分的概念和性质1. 定义定义在在上有界，上有界，向量值向量值函数函数),(zyxFkzyxRjzyxQizyxP),(),(),(),(0zyxn是是定向曲面定向曲面上点上点),(zyx处的单位法向量，处的单位法向量， 如果第一类曲面积分如果第一类曲面积分dSzyxnzyxF),(),(0第二类曲面积分第二类曲面积分,为光滑的有向曲面为光滑的有向曲面设设 存在，存在， 则称此积分为则称此积分为向量

9、值向量值函数函数在在定向曲面定向曲面上的积分，上的积分，),(zyxF也称为也称为第二类曲面积分第二类曲面积分, ,或或 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分曲线积分与曲面积分最新13 记作记作dSzyxF),(即即dSzyxnzyxF),(),(0dSzyxF),(被积函数被积函数积分曲面积分曲面定向曲面微元定向曲面微元2. 第二类曲面积分的坐标形式第二类曲面积分的坐标形式第二类曲面积分第二类曲面积分),cos,cos,(cos),(0bazyxn若记则由定义则由定义dSzyxF),(dSzyxRzyxQzyxP)cos),(cos),(cos),(ba如曲面为如曲面为封闭曲面封闭曲面: Szy

10、xFd),(曲线积分与曲面积分最新14第二类曲面积分第二类曲面积分前面讲过，前面讲过，如果在曲面如果在曲面上取一微元上取一微元dS,则则dS在在xOy,yOz, zOx面上面上投影的面积投影的面积分别为分别为dS|cos|dS|cos|adS|cos|b所以，所以， 有向曲面微元有向曲面微元dS在在xOy面上的面上的有向投影有向投影为为dxdydScosdS|cos|dS|cos|202有向曲面微元有向曲面微元dS在在yOz,zOx面上的面上的有向投影有向投影分别为分别为dydzdzdxdSacosdSbcos曲线积分与曲面积分最新15第二类曲面积分第二类曲面积分dSzyxF),(dSzyxR

11、zyxQzyxP)cos),(cos),(cos),(badxdydScosdydzdSacosdzdxdSbcos),(),(),(zyxRzyxQzyxPdydzdzdxdxdy所以，所以，),(dxdydzdxdydzdS 两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系yxRxzQzyPdddddd SRQPd)coscoscos( b ba a 其中其中)cos,cos,(cos),(0bazyxn不论哪一侧都成立不论哪一侧都成立.坐标形式坐标形式曲线积分与曲面积分最新164. .物理意义物理意义yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),( 如如:上述流向上述流向指

12、定侧的流量指定侧的流量为为: 也可写成也可写成Sd v),(RQPv 有向曲面元有向曲面元向量的形式向量的形式第二类曲面积分第二类曲面积分3. 存在条件存在条件),(),(),(zyxRzyxQzyxP当当在有向光滑在有向光滑上上曲面曲面 连续连续, ,第二类曲面积分存在第二类曲面积分存在.)dd,dd,dd(Sdyxxzzy 曲线积分与曲面积分最新175. .性质性质yxRQdzdxPdydzddyxRQdzdxPdydzdd 当曲面当曲面垂直于垂直于xOy平面时，平面时，(1)0表示表示相反的一侧相反的一侧第二类曲面积分第二类曲面积分(2)其有向曲面微元其有向曲面微元dS在在xOy平面上的

13、投影平面上的投影dxdy同理，同理， 当曲面当曲面垂直于垂直于zOx平面时平面时,dzdx0当曲面当曲面垂直于垂直于yOz平面时平面时,dydz0曲线积分与曲面积分最新18四、第二类四、第二类曲面积分的计算法曲面积分的计算法第二类曲面积分第二类曲面积分思想思想:化为二重积分计算化为二重积分计算. .设定向曲面设定向曲面分片光滑，且向量值函数分片光滑，且向量值函数kzyxRjzyxQizyxP),(),(),(),(zyxF在在上连续。上连续。yxRQdzdxPdydzdd),(:yxzz 曲面计算第二类计算第二类曲面积分曲面积分步骤：步骤：先分别计算先分别计算 yxzyxRdd),(zyzyx

14、Pdd),()(型积分yzxzzyxQdd),()(型积分zx)(型积分xy然后将它们相加。然后将它们相加。曲线积分与曲面积分最新19第二类曲面积分第二类曲面积分 yxzyxRdd),(求求xy型积分型积分),(zyxRdScos(1)轴正向夹角与上各点的法向量当zn0,2, 0取上侧时，即 yxzyxRdd),(dxdyyxR),(),(:yxzz 曲面),(yxzxyD(2)轴正向夹角与上各点的法向量当zn0,2取下侧时，即yxzyxRdd),(dxdyyxR),(),(yxzxyD曲线积分与曲面积分最新20 yxzyxRdd),(则有则有给出给出由由如果如果,),(zyxx zyzyxP

15、dd),(则则有有给给出出由由如如果果,),(xzyy xzzyxQdd),(第二类曲面积分第二类曲面积分, ,必须注意曲面所取的必须注意曲面所取的 xyDyxyxzyxRdd),(, yzDzyzyzyxPdd,),( zxDxzzxzyxQdd),(,注注 侧侧. .第二类曲面积分第二类曲面积分于是于是，则有给出由如果,),(yxzz 上侧为正上侧为正下侧为负下侧为负前侧为正前侧为正后侧为负后侧为负右侧为正右侧为正左侧为负左侧为负曲线积分与曲面积分最新21 计算第二类计算第二类曲面积分曲面积分时时: :(1) 认定对哪两个坐标的积分认定对哪两个坐标的积分,将曲面将曲面表为表为这两个变量的函

16、数这两个变量的函数,并确定并确定的投影域的投影域.(2) 将将 的方程代入被积函数的方程代入被积函数,化为投影域上化为投影域上的二重积分的二重积分.(3) 根据根据的侧的侧(法向量的方向法向量的方向)确定二重积分确定二重积分前的正负号前的正负号.第二类曲面积分第二类曲面积分总结：总结：一投，一投，二代，二代， 三定向。三定向。曲线积分与曲面积分最新22xyzO解解两两部部分分和和分分成成把把21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz 2 1 投影域投影域)0, 0( 1:22 yxyxDxy 例例 计算计算 yxxyzdd其中其中是球面是球面1222 zyx外侧外侧在在0, 0 yx的部

17、分的部分. 2dddd yxxyzyxxyz 1dd yxxyz xyDyxyxxydd122 xyDyxyxxydd)1(22 第二类曲面积分第二类曲面积分曲线积分与曲面积分最新23 xyDyxyxxydd1222 xyD dd1cossin222极坐标极坐标 d1sincosd2210320 .152 )0, 0( 1:22 yxyxDxy xyDyxyxxydd122 xyDyxyxxydd)1(22 第二类曲面积分第二类曲面积分曲线积分与曲面积分最新24第二类曲面积分第二类曲面积分yxRQdzdxPdydzdd时，时，按前面的方法计算按前面的方法计算需先把需先把分别向分别向yOz, z

18、Ox, xOy平面投影，平面投影，比较麻烦。比较麻烦。下面给出比较简单的计算公式。下面给出比较简单的计算公式。,),(),(:xyDyxyxzz，设曲面上各点处的单位法向量上各点处的单位法向量)cos,cos,(cos0ban) 1 ,(1122yxyxzzzz由于由于dydzdSacosdSacoscoscosdxdyacoscosdxdy)(xz取上侧，取上侧，则则(1)曲线积分与曲面积分最新25dydzdxdy)(xzdzdxdxdy)(yz于是，于是，yxRQdzdxPdydzddPdxdyQ)(yz)(xzR其中符号当其中符号当取上侧时为正，下侧时为负。取上侧时为正，下侧时为负。优点

19、：优点：只需将曲面只需将曲面向向xOy面投影。面投影。xyD曲线积分与曲面积分最新26,),(),(:zxDxzxzyy，当曲面), 1 ,(zxyynyxRQdzdxPdydzddP)(xyQdzdxR)(zy其中符号当其中符号当取右侧时为正，左侧时为负。取右侧时为正，左侧时为负。zxD(2)(3),),(),(:yzDzyzyxx，当曲面), 1 (zyxxnyxRQdzdxPdydzdd)(yxPdydzQR)(zxyzD其中符号当其中符号当取前侧时为正，后侧时为负。取前侧时为正，后侧时为负。曲线积分与曲面积分最新27解解 ,dddd)(2yxzzyxz计算计算介介于于平平面面是是旋旋转

20、转抛抛物物面面其其中中)(2122yxz 例例之之间间的的部部分分的的及及20 zz下侧下侧. .nxyzO 2第二类曲面积分第二类曲面积分)(2122yxz：曲面22:4xyDxy投影区域, xzxyxRQdzdxPdydzdddxdyRzQzPxyDyx)()( yxzzyxzdddd)(2xyDyxzxxzdd )(2, yzy曲线积分与曲面积分最新28xyDyxzxxzdd )(2 yxzzyxzdddd)(2 xyDyxyxxdd)(21222 2022220d)21cos(d xyDyxyxxxyxdd)(21)()(4122222 8 )(2122yxz yxyxxxyDdd)(

21、41222 由对称性由对称性0 nxyzO 2第二类曲面积分第二类曲面积分曲线积分与曲面积分最新29 例例,dd)(ddddyxzxxzyzyx 计计算算其中其中解解 法一法一直接用直接用第二类曲面积分第二类曲面积分计算法计算法.xyxDxy 10, 10:222 zyx是是平平面面在第一卦限部分的在第一卦限部分的上侧上侧. .xyzO第二类曲面积分第二类曲面积分)1 (2yxz：曲面, 2yxzz所以，所以，yxzxxzyzyxdd)(dddddxdyzxyxxyD)22(xdydxx1010)2(67曲线积分与曲面积分最新30)cos,cos,(cos0 b ba a nSzxyxdcos

22、)(coscos b ba a 法二法二 利用利用两类曲面积分的联系两类曲面积分的联系计算计算.取取上侧上侧,yxz222 31,32,32)1 ,(yxzzn )1 , 2 , 2( Szxyxd31)(3232 锐角锐角. .则法向量则法向量n与与z轴正向的夹角为轴正向的夹角为yxzxxzyzyxdd)(dddd xyzO第二类曲面积分第二类曲面积分曲线积分与曲面积分最新31)23(31 xyDyx xyxx1010d)2(dyxz222 yxdd3 .67 yx222 yxdd3Szxyxd31)(3232 第二类曲面积分第二类曲面积分yxzzSyxdd1d22 曲线积分与曲面积分最新32第二类曲面积分第二类曲面积分:由参数方程给出如果),(),(),(vuzzvuyyvuxx则则yxRQdzdxPdydzdduvDvuzyvuzvuyvuxP),()