曲线积分与曲面积分(17)课件

1、曲线积分与曲面积分(17)曲线积分与曲面积分(17)曲线积分与曲面积分(17)222()d( ( )( ) ( )( )( )( )df x,y,z sf x t ,y t ,z txtytztt， , t 两类曲线积分计算的公式为两类曲线积分计算的公式为一、空间曲线的参数化一、空间曲线的参数化若积分曲线若积分曲线 的参数方程的参数方程 ,)(),(),(ttzztyytxx，：)() )(),(),(dddtxtztytxPzRyQxPdt)() )(),(),()() )(),(),(tztztytxRtytztytxQ曲线积分与曲面积分(17)计算的关键是如何将空间积分曲线计算的关键是如

2、何将空间积分曲线 参数化。参数化。下面将给出积分曲线下面将给出积分曲线 参数化的一些常见方法。参数化的一些常见方法。由计算公式可以看出由计算公式可以看出曲线积分与曲面积分(17)1.设积分曲线设积分曲线 , ,从中消去某个从中消去某个自自变量变量, ,例如例如 ，得到，得到 在在xoy平面的投影曲线，平面的投影曲线，这些投影曲线常常是园或是椭圆，先利用熟知这些投影曲线常常是园或是椭圆，先利用熟知的参数方程将它们表示成参数方程的参数方程将它们表示成参数方程 然后将它们代入到然后将它们代入到 ，解出解出由此得到：如下由此得到：如下 的参数方程：的参数方程：( , , )0( , , )0F x y

3、 zG x y z：z( ),( ),xx t yy t( , , )0( , , )0F x y zG x y z或( )zz t( ),( ),( ) , .xx t yy t zz tt ，曲线积分与曲面积分(17)例例1 将曲线将曲线 ，( (其其中中 )用参数方程表示。用参数方程表示。2222xyzaxy：0a曲线积分与曲面积分(17)曲线积分与曲面积分(17)2.2.若若 的方程组中含有园、椭圆或球的方的方程组中含有园、椭圆或球的方程时，可充分利用园、椭圆或球的大家所熟程时，可充分利用园、椭圆或球的大家所熟知的知的 园的参数方程园的参数方程 x=rcost，y=rsint， 椭圆参

4、数方程椭圆参数方程 x=acost， y=bsint， 球坐标球坐标 先将其参数化，再代入先将其参数化，再代入 的另一方程，求的另一方程，求出另一变量的参数表达式。出另一变量的参数表达式。= sin cos= sin sin= cosx ay az a，曲线积分与曲面积分(17)例如：将球面上的三角形曲线参数化例如：将球面上的三角形曲线参数化2222+ =(0=0=0)xyzaxyz 或或利用球坐标：利用球坐标：= sin cos= sin sin= cosx ay az a，:= sin=0= cos ;CA x ayz a，:=0= sin= cosCBxy az a，:= cos= si

5、n=0AB x ay az，02 ，02 ，曲线积分与曲面积分(17)例例2 2 将曲线将曲线 ，( (其中其中 ) )用参数方程表示。用参数方程表示。22222zxyxyay：0a2 , 0tsincos，taaytax曲线积分与曲面积分(17)曲线积分与曲面积分(17)例例3 3 将曲线将曲线 ( (其其中中 ) )用参数方程表示。用参数方程表示。2222,0 xyzaxyx：0a曲线积分与曲面积分(17)例例3 3 将曲线将曲线 ( (其其中中 ) )用参数方程表示。用参数方程表示。2222,0 xyzaxyx：0a故故曲线积分与曲面积分(17)举一反三练习举一反三练习 1 1、将曲线、

6、将曲线 用参数方程表用参数方程表示。示。221+1xyx z：（1 1）211xxyxzx ：（2 2）cossin1 cosxyz ：曲线积分与曲面积分(17),()0 , 0 , 0(89)()(:00022221zyxAOzyxyxayxL到，从2、如何将以下的空间曲线参数化、如何将以下的空间曲线参数化,并计算它的弧长并计算它的弧长.),()0 , 0 , 0(tan:000222zyxAOczxyczyxL到，从)2,()0 , 0 , 0(:22223aaaAOaxyzyxL到，从曲线积分与曲面积分(17)22323221)89(1)(89)(89)()()(:zayxazyxzyx

7、yxyxayxL启发性推导：启发性推导：czttcztczcztcztczczxyczyxLtantancossinsincostan:22222从中解出从中解出x,y后后, 即可得到以即可得到以z为参数的参数方程为参数的参数方程.czt 令令即得以即得以z为参数的为参数的L2的参数方程的参数方程.以以y为参数为参数,得得yyayyzayx,2422(1)(2)(3)曲线积分与曲面积分(17)1. 注意到曲线积分的被积函数 是定义在积分曲线上的，因此它的自变量应满足积分曲线方程， 所以计算曲线积分之前，首先要用积分曲线方程 去化简被积函数 。 二、曲线积分的计算二、曲线积分的计算( , )f

8、x y( , )0,Lx y：( , )f x y曲线积分与曲面积分(17)（1）积分曲线 关于x轴对称，是指 换句话说，若 则它的对称点 ；（2）积分曲线 关于y轴对称，是指 换句话说，若 则它的对称点 ； 2.积分曲线的对称性积分曲线的对称性: ( , )0 x y( , )(, )=0,x yx y( , ),x yL( ,)xyL( , )( ,)=0,x yxy( , ),x yL(, )x yL: ( , )0 x y曲线积分与曲面积分(17)（3）积分曲线 关于原点对称，是指 换句话说，若 则它的对称点 ；（4）曲线 关于直线 对称(或 对称)，是指 (或 ),换句话说， 互为对

9、称点 ， 互为对称点。 ( , )( , )=0 x yy x( , ),x yL(,)xyL( , )(,)=0,x yxy( , )( , )x yy x与( , )(,)x yyx与yxyx( , )(,)=0 x yyx曲线积分与曲面积分(17) 第一类曲线积分对称性的应用若曲线积分 的被积函数 在任意的对称点处的函数值互为相反数，则 ； 在任意的对称点处函数值都相等，则其中 是相应对称积分曲线的一半。 ( , )dLf x y s1L( , )d0Lf x y s 1( , )d2( , )dLLf x y sf x y s，( , )f x y曲线积分与曲面积分(17) 第二类曲线

10、积分对称性的应用当曲线积分关于x轴对称,且被积函数 在任意的对称点处的函数值互为相反数 若在任意的对称点处函数值都相等则 ( , )d0LP x y x11( , )d2( , )d0,LLP x y xP x y x LLy，( ,)=( , ), ( ,)=( , )P xyP x y Q xyQ x y,P Q( , )d0LQ x y y ( ,)= ( , ),( ,)= ( , )P xyP x y Q xyQ x y1( , )d2( , )dLLQ x y yQ x y y，曲线积分与曲面积分(17) 第二类曲线积分对称性的应用当曲线积分关于y轴对称,且被积函数 在任意的对称点

11、处的函数值互为相反数 若在任意的对称点处函数值都相等则 ( , )d0LQ x y y 11( , )d2( , )d0,LLQ x y yQ x y y LLx，(, )=( , ), (, )=( , )Px yP x y Qx yQ x y,P Q( , )d0LP x y x(, )= ( , ),(, )= ( , )Px yP x y Qx yQ x y1( , )d2( , )dLLP x y xP x y x，曲线积分与曲面积分(17) 第二类曲线积分对称性的应用当曲线积分关于y=x对称，即x换作y，y换作x，L方程不变，则 当空间曲线积分具有轮换对称性，即x换作y，y换作Z，

12、 Z换作x, L方程不变，则 ( , )( , )d( , )( , )dLLP x y dxQ x y yP y x dyQ y x x( , , )( , , )d( , , )LP x y z dx Q x y z yR x y z dz( , , )( , , )d( , , )LP z x y dzQ z x y xR z x y dy( , , )( , , )d( , , )LP y z x dyQ y z x zR y z x dx曲线积分与曲面积分(17)例例1 计算计算 (1) ,(1) ,其其中中 ; ;(2) (2) 其中其中 , ,周长为周长为a。24()dsLxxy

13、222(0)xya a2222234sin ()ds43Lxyxyxy，22143xyL：曲线积分与曲面积分(17)解：解：(1)由于由于L关于关于y轴对称，被积函数轴对称，被积函数x在对在对称点处的函数值互为相反数，所称点处的函数值互为相反数，所以以 。由于由于L关于直线关于直线 y=x对称，函数对称，函数 在在对称对称点处互为相反数点处互为相反数,所以所以 . .即即 . .从而有从而有0dsLx22yx 0)ds(22LyxLLyxdsds2232222ds21)ds(21dsaayxxLLL曲线积分与曲面积分(17)由于由于L的参数方程为的参数方程为所以所以2 , 0sincos，ya

14、x202222444dsincossindsaaayL0452045dsin2dsinaa204522-45dsin4dsin2aa5543224134aa曲线积分与曲面积分(17)Lyxyxxyds)34(sin4322222LLyxyxxyds)34(sin121)34(12ds22222aL12ds)sin1211 (120(2)(2)由于由于L关于关于x轴对称，且轴对称，且2xy在对称点处的在对称点处的值互值互为相反数，所以为相反数，所以0ds2Lxy曲线积分与曲面积分(17)例例2 2 设设 ，求对，求对弧长弧长的曲线积分的曲线积分 ，其中其中 为正方为正方形形 的边界。的边界。解：

15、如图解：如图 , ,由于折由于折线线ABEFG 对关于直线对关于直线 y=-x对称对称, ,且在对且在对称称点上有点上有 , ,所以所以e02( , )0y xyxf x y 其它( , )dLf x y sL| | | | 1x yABEFGy-xLssyxfde)d,(),(),(xyfyxf曲线积分与曲面积分(17)原式原式)dede( 2de2)d,(BEy-xABy-xABEy-xLssssyxf,210,1:xxyxxAB，) 1e (22d2ede21021xsx-ABy-x,0 ,21-1:xxyxxBE，e,22d2ede021xsBEy-x) 1e2(2)dede( 2de

16、2BEy-xABy-xABEy-xsss曲线积分与曲面积分(17)例例3 3 计算计算 其中其中 。222( 2)dyzys，2222(0)xyzaayx：，解：由于在解：由于在 上上y=x, ,所以所以syzyxsyzyd)(d)2(2222222syasysad2dd222曲线积分与曲面积分(17)由例由例1 的参数方程为的参数方程为 则则 所以所以2 , 0,sin,cos2,cos2ttaztaytax：2022222dt)sint()cost2()cost2()cost2(daaaasy2tdtcos232023aa3222222d)2(aasyzy曲线积分与曲面积分(17)定理定理

17、( , , )0:, ,( , )F x y zP,Q R Fzx y设且都具有一阶 连续偏导数，则其中其中 是是 在在xoy平面上的投影曲线，其方向与平面上的投影曲线，其方向与 的方向一致。的方向一致。*( , , )( , , )( , , ) ( , , ( , )( , , ( , )( , ) ( , , ( , )( , , ( , )( , )xyIP x y z dxQ x y z dyR x y z dzP x yx yR x yx yx ydxQ x yx yR x yx yx ydy一类特殊的空间曲线积分的计算方法一类特殊的空间曲线积分的计算方法*xoy其中是 在平面上的

18、投影曲线.曲线积分与曲面积分(17)例例4 4222222()d(2)d(3)d ,Iyzxzxyxyz计算 =其中解解:由由x y zxyz是平面 + + =2与柱面| |+| |=1的交线,从 轴正向看22,xzyzxydzdxdy 知从而1,xy其中是平面曲线：| |+| |逆时针方向,再利用格林公式2222 42444d 234888dxyxyxyxxyxyxyy 是依逆时针方向。222222=(2) d2(2)d(3)(dd )IyxyxxyxyxyxyDD=2(6)d d12d d24Ixyx yx y ()d d0Dxyx y上式应用了对称性曲线积分与曲面积分(17)（1）若积分

19、曲线不是封闭，则可添加若干条直线(或曲线)使之构成封闭曲线，再应用格林公式； 3. 格林公式的应用格林公式的应用( , )d( , )d()d dLDPQP x yxQ x yyx yxy曲线积分与曲面积分(17)（2）若封闭曲线L所围成的区域D内有“奇点”,则在 奇点外成立 等式的条件下，有 成立，其中L是围绕奇点且同L具有相向方向的简单闭曲线，通常是园或椭圆等。 PQyx( , )d( , )d( , )d( , )dLLP x y x Q x y yP x y x Q x y y曲线积分与曲面积分(17)例例1 设设 ，记记 为它为它 的正向边界曲线。证明：的正向边界曲线。证明：sin-

20、sinx-sinsinxedededed2yyLLxyyxxyyxL, 10 , 10),( yxyxD解：由格林公式得解：由格林公式得DyLyyxyyxxxyyxdd)e()e(dedesinx-sinsinxsin-Dyyxd)dee(sinx-sin2ddee2d)dee(sinx-sinxsinx-sinxDDyxyx曲线积分与曲面积分(17)sinsinxeded2yLxyyx类似可证类似可证DDyxyxddedde-siny-sinx其中其中 是由于是由于 是关于是关于直线直线 y=x对称对称. . 由第二类曲线积分的对称性也可证由第二类曲线积分的对称性也可证明。明。曲线积分与曲面

21、积分(17)例例2 计算计算 ，其中，其中 是以是以(1,0)为为中心中心 R(R1)为半径的正向圆周。为半径的正向圆周。22dd4Lx yy xxyL,( , )(0,0)QPx yxy由于由于所以所以22222dddd1244Lllx yy xx yy xxdyydxxyxy曲线积分与曲面积分(17)例例3 已知关于坐标的曲线积分已知关于坐标的曲线积分 (常数常数)，其中函数其中函数 可导，且可导，且 是围绕是围绕(0,0)(0,0)的的任一分段光滑正向闭曲线，求（任一分段光滑正向闭曲线，求（1 1）函数）函数 的的表表达式；（达式；（2 2）A A的值。的值。2dd( )Lx yy xA

22、xy( ) x(1)1 L ，( ) x曲线积分与曲面积分(17)解：（解：（1）为了应用格林公式求出）为了应用格林公式求出 ，首，首先证明对于任一不包含原点的分段光滑的先证明对于任一不包含原点的分段光滑的正向闭正向闭曲线曲线C，都有都有 . . 因为因为 未知，所以原点有可能是被积函未知，所以原点有可能是被积函数的不连续点，故数的不连续点，故x( )0)(dd2Cyxxyyxx( )BAABCyxxyyxyxxyyxyxxyyxm2n22)(dd)(dd)(dd0)(dd)(ddmAl2nl2AAyxxyyxyxxyyxBAABA曲线积分与曲面积分(17)由此可知对由此可知对 有：有：成立，

23、整理即得成立，整理即得)0 , 0(),(yxyyxyxyxx)()(2222)()()(yxxxyx解此微分方程得解此微分方程得 . . 2)(Cxx 由于由于，1) 1 (所以所以C=1=1，所求的，所求的 . .2)(xx 曲线积分与曲面积分(17)(2)(2)取取L1为正向圆周为正向圆周, ,则则122 yx2dxdy2dd11)(dd1x22211yLLxyyxyxxyyxA曲线积分与曲面积分(17)曲线积分与曲面积分(17)曲线积分与曲面积分(17)曲线积分与曲面积分(17)（1）柱面 被曲面 截下部分的面积。 计算公式为 ，其中 在xoy面上的投影曲线. 4利用曲线积分来计算曲面

24、的面积利用曲线积分来计算曲面的面积( , )0F x y ( , )dsCSz x yzz( , )x y：1( , )0F x y：s：L( , )0F x y 的交线与0),(),(yxFyxzz曲线积分与曲面积分(17)例例1 求柱面求柱面 位于球面位于球面 之内的侧面之内的侧面 的面积的面积 。22331xy2221xyzS解：由于解：由于 关于三个坐标面都对称关于三个坐标面都对称, ,所以所以 (S0是是S位于第一卦限部分的面积位于第一卦限部分的面积)。由对。由对弧长的曲线积分的几何意义，知道弧长的曲线积分的几何意义，知道08SS CyxSds12202023232323dt) ts

25、in() tcos() tsin() tcos(1曲线积分与曲面积分(17)所以所以 20222022tdttsincos33costsintdt3ttsincos31633t)dtsin- t(sin33204223380 SS曲线积分与曲面积分(17)举一反三练习举一反三练习 计算圆柱面计算圆柱面 被球面被球面截下的那部分的面积。截下的那部分的面积。22xyax2222xyza2(4)a曲线积分与曲面积分(17)（2）由坐标面上的平面曲线绕某轴旋转一周而成的旋转 曲面的面积。 例如yoz平面上的曲线 绕y轴 旋转一周而成的旋转曲面的面积.计算公式为 2| ( )|ds.CSf yC:( )

26、()zf y ayb曲线积分与曲面积分(17)例例2 2 设设 ， ，求求 的表面位于的表面位于 内部分的内部分的 的面积。的面积。22211xyz：2222xyzz：1解：解： 的表面位于的表面位于 内部分的曲面内部分的曲面 ,可以看成可以看成是由是由AB绕绕z轴旋转一周而成的旋转的侧面，轴旋转一周而成的旋转的侧面，其中其中 , ,所以所以11)21(1:2zzyABdzy112ds12ds| )(|21212z21212zzyfSC121121222dz2dz1112zzz曲线积分与曲面积分(17) 三、曲面积分的计算三、曲面积分的计算曲线积分与曲面积分(17)（1）曲面 关于xoy平面对

27、称，是指若 则它关于xoy平面的对称点 ；（2）曲面 关于原点对称，是指 则它的对称点 ； (3) 曲面 关于平面 对称，是指 则它的对称点 ； ( , ,)x yzyx(,)xyz( , , ),x y z ( , , )y x z ( , , ),x y z ( , , ),x y z ( , , )dSf x y z1. 第一类曲面积分第一类曲面积分 的对称的对称性性曲线积分与曲面积分(17) 若被积函数 的在对称点处的函数值互为相反 数，则 ；在对称点处函数值相等，则 其中 是相应对称积分曲面的一半。与曲线积分类似，可用边界曲面方程来简化被积函数，以达到化简曲面积分计算的目的。( ,

28、, )f x y z11( , , )dS2( , , )dSf x y zf x y z，( , , )dS0f x y z曲线积分与曲面积分(17)例例1 求下列曲面积分求下列曲面积分（1） ， 其中其中 ；（2） ， 其中其中 .1222()dSxyz22212 zxyzR：22(1) dSxyz 22222(z0)xyzR：曲线积分与曲面积分(17)解：解：(1)(1)1111dS2dS)(2dS2)dS(222RRRzRRzzyx由于由于 关于平面关于平面 z=R 对称对称,且函数且函数 z-R在对在对称点处的值互为相反数称点处的值互为相反数,故故10dS)(1Rz422222284

29、2dS2)dS(11RRRRzyx曲线积分与曲面积分(17)解：解：(2)(2)故故2dS1)(2zyx21)dS(222zyx21)dS(2zyx21)dS(2zy2dS2z1)(221)(1)dS(1)dS(2222222222RRRRRzyx01)dS(2zyx01)dS(2zy32y2x2222222222dxdydxdy1dSRRzzyxRzRyxRyx32222) 1(2dS1)(2RRRzyx曲线积分与曲面积分(17)（1）设曲面 关于xoy平面对称，若被积函数 在对称点处的函数值互为相反数，则 ；在对称点处函数值相等，则 ，其中 是相应对称积分曲面的一半。 1( , , )dx

30、dy2( , , )dxdyR x y zR x y z( , , )R x y z( , , )dxdy0R x y z( , , )dxdyR x y z2. 第二类曲面积分第二类曲面积分 的对称性及高斯的对称性及高斯公式公式1( , , )dydz,( , , )dzdxP x y zQ x y z的对称性类似。的对称性类似。曲线积分与曲面积分(17)若x与y互换， 的方程及侧不变，则 若x与z互换， 的方程及侧不变，则( , , )dydz( , , )dzdx.P x y zP y x z( , , )dzdx( , , )dydz,Q x y zQ y x z( , , )dzdx

31、( , , )dzdx.Q x y zQ z y x( , , )dydz( , , )dxdy,P x y zP z y x曲线积分与曲面积分(17)（2）当 不是闭曲面时，适当添上一块外侧曲面 ,使得 组成闭曲面(所围成的闭区域为 )，于是高斯公式为 1dydzdzdxdxdy()ddydzdzdxdxdyxyzPQRPQRvPQR11曲线积分与曲面积分(17)（3）当 是外侧闭曲面， 是它所围的闭区域， 在 的内部 有不连续点 时，可以作位于 内部的外侧闭曲面 ,将点 包围起来，这个闭曲面 常常是小球面、小椭球面，于是高斯公式为 11dydzdzdxdxdydydzdzdxdxdydyd

32、zdzdxdxdyPQRPQRPQRxyzPQR， ，000(,)P xyz1000(,)P xyz1曲线积分与曲面积分(17)1()ddydzdzdxdxdyxyzPQRvPQR000(,)P xyz当在当在 上除点上除点 外处处有外处处有 时，时，0 xyzPQR1dydzdzdxdxdydydzdzdxdxdy.PQRPQR11dydzdzdxdxdydydzdzdxdxdydydzdzdxdxdyPQRPQRPQR曲线积分与曲面积分(17) 例例2 其中其中 是上半椭球面是上半椭球面 的外侧。的外侧。32222dydzdzdxdxdy,(44)xyzIxyz22214zxydxdydz

33、dxdydz81)44(dxdydzdxdydz23222zyxzyxzyxI解：解：曲线积分与曲面积分(17)由于由于x与与y互换，互换， 的方程及侧不变，且的方程及侧不变，且 关于关于yoz平面对称，且被积函数在对称点处的值平面对称，且被积函数在对称点处的值互为相反数，所以互为相反数，所以dxdydzdxdydzzyx1dxdydydz4dxdydydz2zxzx其中其中 是是 的的 部分，前侧，部分，前侧， 是是 在在yoz平面上的投影平面上的投影. .10 xyzD138414dydz414dydz41yzD22椭球Vzyx曲线积分与曲面积分(17)故原式故原式其中其中 是椭球是椭球

34、的体积的体积. .椭球V14222zyxxydxdy12dxdy22Dyxz34)1(2222的体积上半球体zyx2)3438(81I曲线积分与曲面积分(17)例例3. 3. 计算曲面积分计算曲面积分 其中其中 是球面是球面 的外侧。的外侧。222211dydzdzdxdxdy,coscoscosIxxyzz2221xyz曲线积分与曲面积分(17)解：由于解：由于 关于关于zox平面对称平面对称,函数函数 在对称在对称点点处的值相等，所以处的值相等，所以 。当。当x与与z互互换时，换时， 的方程及侧不变，所以的方程及侧不变，所以21cos y21dzdx=0cos y2221=dydzdxdy

35、coscosIxxzz222211dxdydxdy=dxdyzcos zcoszcos zzz曲线积分与曲面积分(17)其中其中 是是 的的 的部分的部分, ,且且222211dxdydxdy=dxdyzcos zcoszcos zzz1xy22xy2222221dxdy=2dxdy=2(+1)zcos z1cos1DDxyxyxy：2122200rdr=2d=4 tan11 r cos1 r221z= 1 xy：z021zcos z在对称点处的值互为相反数，所以在对称点处的值互为相反数，所以有有12211dxdy=2dxdyzcos zzcos z曲线积分与曲面积分(17)例例4 4 计算计算 其中其中 是柱面是柱面 及两平面及两平面 所围立体所围立体 表面的外