3..3..3点到直线的距离和两条平行直线间的距离.docx

1、3.3.3点到直线的距离【教学目标】1.让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作 .WSGg45LRBS【重点难点】教学重点 :点到直线距离公式的推导和应用.教学难点 :对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.【教学过程】导入新课思路 1.点 P(0,5到直线 y=2x 的距离是多少？更进一步在平面直角坐标系中 ,如果已知某点 P 的坐标为 (x0 0 直线l的方程是,y ,Ax+By+C=0, 怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线 l 的距

2、WSGg45LRBS离呢?这节课我们就来专门研究这个问题 .思路 2.我们已学习了两点间的距离公式，本节课我们来研究点到直线的距离 .如图 1,已知点 P(x0,y0和直线 l:Ax+By+C=0 ，求点 P 到直线 l 的距离 (为使结论具有一般性，我们假设 A、B0.WSGg45LRBS图 11/13新知探究提出问题已知点 P(x0,y0和直线 l:Ax+By+C=0 ，求点 P 到直线 l 的距离 .你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?WSGg45LRBS前面我们是在A 、 B 均不为零的假设下推导出公式的，若A、B 中有一个为零，公式是否仍然成立？回顾前面证法一的证明过程

3、，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离活动：请学生观察上面三种特殊情形中的结论:(00时 ，d=| C |； (x00时 ，x =0,y =0A20,y =0B 2d= | Ax0C | ；A2B 2(x0| By0C |=0,y00 时， d=A2.B 2观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P(x0,y0，d=?学生应能得到猜想： d=| Ax0By0C |A2B2.启发诱导： 当点 P 不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点 P 到特殊位置，从而可利用前面的公式？ (引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理 WSGg

4、45LRBS证 明 ： 设 过 点P 且 与 直 线l平 行的 直 线l1 的方 程 为2/13Ax+By+C 1=0，令 y=0，得 P( C1,0.A| A(C1)C | CC1|.PN=AB 2(*WSGg45LRBSA2A2B 2 P 在直线 l1:Ax+By+C 1=0 上, Ax 0+By 0+C1=0.C1=-Ax 0-By 0.代入 (* 得|PN|=| C Ax0By0|A2B 2即 d= | Ax0By0C | ,.A2B2可以验证，当 A=0 或 B=0 时，上述公式也成立 .引导学生得到两条平行线l 1:Ax+By+C 1=0 与 l 2:Ax+By+C 2=0 的距离

5、 d= | C1C2| .A2B 2证明：设 P0(x0,y0是直线 Ax+By+C 2=0 上任一点，则点 P0 到直线 Ax+By+C 1=0 的距离为 d=| Ax0 By0 C |A2.WSGg45LRBSB 2又 Ax 0+By 0+C2=0,即 Ax 0+By 0=-C2， d= | C1C2 |.A2B 2讨论结果： 已知点 P(x0,y0和直线 l:Ax+By+C=0 ，求点 P 到直线 l 的距离公式为 d= | Ax0By0 C | .A2B 2当 A=0 或 B=0 时，上述公式也成立 . 两 条 平 行 线 Ax+By+C 1=0 与 Ax+By+C 2=0 的 距 离

6、 公 式 为d= | C1C2| .A2B 23/13应用示例例 1 求点 P0(-1，2到下列直线的距离：(12x+y-10=0;(23x=2.解:(1根据点到直线的距离公式得 d= | 2 ( 1)2 10|102 5 .22125(2因为直线 3x=2 平行于 y 轴，所以 d=| 2-(-1|= 5 .33点评： 例 1(1直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式.WSGg45LRBS变式训练点 A(a，6到直线 3x4y=2 的距离等于 4，求 a 的值 .解: | 3a 46 2|=4|3a-6|=20 a=20 或 a=4

7、6 .32423例 2 已知点 A(1 ，3，B(3，1，C(-1，0，求 ABC 的面积 .解:设 AB 边上的高为 h，则 SABC = 1 |AB| h.2|AB|=(31)2(13)222，AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离 .AB 边所在的直线方程为 y3x1 ,即 x+y-4=0.1331点 C 到 x+y-4=0 的距离为 h=| 10 4 |5 ，12122因此， S ABC= 1 2 25=5.22点评： 通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越4/13性.WSGg45LRBS变式训练2求过点 A(-

8、1,2,且与原点的距离等于2的直线方程 .解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式 ,即可求出直线方程为 xy1=0 或 7xy5=0.WSGg45LRBS例 3 求平行线 2x-7y+8=0 和 2x-7y-6=0 的距离 .解:在直线 2x-7y-6=0 上任取一点 ,例如取 P(3,0,则点 P(3,0到直线 2x-7y+8=0 的距离就是两平行线间的距离 .因此 ,WSGg45LRBSd= | 2 370 8 |1414 53.2 2(7)25353点评 :把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离.变式训练求两平行线 l1:2x+3y-8=0,l 2:2x+3y-

9、10=0 的距离 .答案： 2 3.13解:点 O(0，0关于直线 l:2x-y+1=0 的对称点为 O(- 4 , 2 ，55则直线 MO 的方程为 y-3= 13 x.4直线 MO 与直线 l:2x-y+1=0 的交点 P(8 , 11 即为所求，155相应的 |PO|-|PM|的最大值为 |MO|= 185 .5课堂小结通过本节学习，要求大家：1.掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离.5/132.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作 .WSGg45LRBS3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离

10、和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用.当堂检测导学案当堂检测【板书设计】一、点到直线距离公式二、例题例 1变式 1例 2变式 2【作业布置】课本习题 3.3 A 组 9、10；B 组 2、4 及导学案课后练习与提高3.3.3 点到直线的距离课前预习学案一、预习目标让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离二、学习过程预习教材 P117 P119，找出疑惑之处6/13问题1已知平面上两点 A(0,3),B( 2,1) ，则 AB 的中点坐标为， AB 间的长度为.WSGg45LRBS问题2在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为( x0 , y0 ) ，直线 l

11、 的方程是 l : Ax By C 0 ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离呢 ?WSGg45LRBS5 分钟训练1.点A. 5B. 5C.3D. 5WSGg45LRBS2222. 两 条 平 行 直 线 3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之间的距离为_.WSGg45LRBS3.已知点 (a,2(a0到直线 l：x-y+3=0的距离为 1,则 a 的值等于( A. 2B.2 2C.21D.21答案： C三提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的7/13表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的

12、距离公式；2会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞3认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题 王新敞学习重点 :点到直线距离公式的推导和应用.学习难点 :对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立二、学习过程知识点 1：已知点 P ( x0 , y0 ) 和直线 l : AxByC0 ，则点 P 到直线 l 的距离为： dAx0By0 C .A2B2注意：点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；在运用公式时，直线的方程要先化为一般式 .问题1：在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为( x0 , y0 ) ，直线方程 l : Ax By C0中，如果 A 0，或

13、 B0 ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线 l 的距离呢并画出图形来.WSGg45LRBS例 分别求出点A(0,2), B( 1,0) 到直线 3x4 y10的距离 .问题 2：求两平行线 l1 ： 2 x3y 80 ， l2 ： 2x3 y1 0的距离.知识点 2：已知两条平行线直线 l1Ax By C10 ， l2 :Ax By C2 0 ，则 l1 与 l 2 的距离为C1C2d王新敞A2B 2注意：应用此公 式应注意如下两点： 1）把直线方程化为一般式方程； 到下列直线的距离：(12x+y-10=0;(23x=2.变式训练点 A(a，6到直线 3x4y=2 的距离等于 4，

14、求 a 的值 .例 2 已知点 A(1 ，3，B(3，1，C(-1，0，求 ABC 的面积变式训练求两平行线 l1:2x+3y-8=0,l 2:2x+3y-10=0 的距离当堂检测课本本节练习 .拓展提升问题：已知直线l:2x-y+1=0 和点 O(0，0、 M(0，3，试在 l 上找一点 P，使得 |PO|-|PM|的值最大，并求出这个最大值.WSGg45LRBS.学习小结1. 点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式 王新敞 王新敞课后巩固练习与提高30 分钟训练1.点A.4 2B.2C.2 2D. 3 WSGg45LRBS2.点 P(m

15、-n,-m到直线 xy =1 的距离为 (mnA. m2n2B. m2n2C. m2n2D. m2n 23.点 P 在直线x+y-4=0 上， O 为坐标原点，则 |OP|的最小值为9/13(A.13B.2 2C. 6D.2WSGg45LRBS4.到直线 2x+y+1=0 的距离为55的点的集合为 (A. 直线 2x+y-2=0B.直线 2x+y=0WSGg45LRBSC.直线 2x+y=0 或直线 2x+y-2=0D. 直线 2x+y=0 或直线2x+y+2=0WSGg45LRBS5.若动点 A、B 分别在直线 l 1：x+y-7=0 和 l2：x+y-5=0 上移动 ,则 AB 的中点 M

16、 到原点的距离的最小值为 (WSGg45LRBSA.3 2B.2 2C.3 3D.4 2 WSGg45LRBS6. 两平行直线 l 1、l2 分别过点 P1(1,0、P2(1,5,且两直线间的距离为，则两条直线的方程分别为l1 ：l,2 ：_WSGg45LRBS.7.已知直线 l 过点 A(-2,3,且点 B(1,-1到该直线 l 的距离为 3，求直线 l 的方程 .8.已知直线 l 过点 (1,1且点 A(1,3 、B(5,-1到直线 l 的距离相等，求直线 l 的方程 .9.已知三条直线l1：2x-y+a=0(a0,直线 l 2：4x-2y-1=0 和直线l3：x+y-1=0,且 l 1

17、与 l 2 的距离是 75 .WSGg45LRBS10(1求 a 的值 .(2能否找到一点 P,使得 P 点同时满足下列3 个条件 :P 是第一象限的点； P 点到 l 1 的距离是 P 到 l 2 的距离的 1 ； P 点到 l1 的距2离与 P 点到 l 3 的距离之比是 2 : 5 ？若能 ,求 P 点的坐标 ;若不能 ,请 10/13说明理由 .WSGg45LRBS参考答案1.解读 :由点到直线的距离公式可得 d= | 3 2 3 |2 2 .2答案： C2.解读 : xy1nx+my-mn=0，由点到直线的距离公式，得mn| n(m n)m2mn| | n2m2|m2n2 .m2n2

18、m2n2答案： A3.解读 :根据题意知 |OP|最小时， |OP|表示原点 O 到直线 x+y-4=0 的距离.即根据点到直线的距离公式，得422 .WSGg45LRBS2答案： B4.解读 :根据图形特点，满足条件的点的集合为直线，且该直线平行于直线 2x+y+1=0 ，且两直线间的距离为5.设所求直线的方程为52x+y+m=0, 根据平行线间的距离公式，得| m1|5m-1=1，55解得 m=2 或 m=0.WSGg45LRBS故所求直线的方程为2x+y=0 或 2x+y+2=0.答案： D11/138.解：直线 l 平行于直线 AB 时，其斜率为 k=kAB = 13 =-1，51即直线方程为 y=-(x-1+1x+y-2=0 ；直线l 过线段AB 的中点M(2,1时也满足条件，即直线l 的方程为 y=1.W