高数同济五版

1、高数同济五版-(76)习题9 41求球面x2 y2 z2 a2含在圆柱面x2 y2 ax内部的那部分面积解 位于柱面内的部分球面有两块其面积是相同的由曲面方程z加x2 y2得.于是A 22 2x2 y2ax 1（z）2(_z)2dxdy y2x2y2aax a2 x2y2dxdyacos04a02(aasin )d2a2(2)2求锥面z , x2 y2被柱面z2 2x所割下的部分的曲面的面积xOy面上解由z x2 y2和z2 2x两式消z得x2 y2 2x于是所求曲面在 的投影区域D为x2 y2 2x由曲面方程八得总-2xyx2y2于是 A1 ( z)2 ( z)2dxdy(x 1)2 y2

2、Jxy、2dxdy 、2y2 13求底面半径相同的两个直交柱面 积(x 1)2x2 y2 R2及x2 z2 R2所围立体的表面解设A1为曲面z . R2 x2相应于区域D x2 y2 R2上的面积 则所求表面z)2dxdy y积为A 4Ai2 )2 02dxdyx4RRRdxR x2R x21、R2 x2dy 8RRdx 16R2R4设薄片所占的闭区域D如下求均匀薄片的质心(1) D 由 y、2px x x0 y 0 所围成解令密度为1因为区域D可表示为0 x Xo,O y、2px所以A dxdy :Ddxo2PXdy ：、2pxdx 22px3A xdxdy A D1xoA ov,J2pxd

3、xoxdy gx、2pxdx 3xoA o511A ydxdy - A D1 -xo. 2px1Aodxo ydy Exo3Ao pxdx 8yo所求质心为(33 )(3xo,3yo)(2)D是半椭圆形闭区域(x，癖 -，y o解 令密度为1因为闭区域D对称于y轴所以x oA dxdy - abd 2(椭圆的面积)y A ydxdyADa dx b a2 x2 ydy 丄上2a 0A 2a2：(a2 x2)dx 申所求质心为(0,(3)D是介于两个圆解令密度为1r acos r bcos (0 a b)之间的闭区域由对称性可知ydxdy (2)2(|)2 4(b2D224a2)(两圆面积的差)

4、所求质心是12 5xdxdy2dAdA0bcosr cos r dra cosa2 b2 ab2(a b)(占0)5设平面薄片所占的闭区域 D由抛物线y x2及直线y x所围成 它在点(x y)处的面密度(x y) x2y求该薄片的质心1身(X4 x6)dx 35X 2X2x ydyx (x, y)dxdy1 X0dX X2X3ydy古0如5 x7)dx鲁y质心坐标为D1 x 2 20dX x2X y dy丄乜(x5 x8)dx 35M 03546设有一等腰直角三角形薄片 角顶点的距离的平方求这薄片的质心解建立坐标系使薄片在第一象限且直角边在坐标轴上薄片上点(x y) 处的函数为腰长为a各点处

5、的面密度等于该点到直x2 y2由对称性可知X ya a x 22(x, y)dxdy 0 dx 0 (x y )dyI11 aax (x, y)dxdyxdxM DM 00(X2 y2)dy薄片的质心坐标为(|a,|a)7利用三重积分计算下列由曲面所围成立体的质心 z2 x2 y2 z 1解 由对称性可知 重心在z轴上 故X y 0(设密度1)zdv(圆锥的体积)1 2 d 1rdr 1zdz 3V 00 r 4(x, y)dxdy0dx所求立体的质心为（0, o,3） zA?X2y2 z a2X2y2 (A a 0) z 0解 由对称性可知 重心在z轴上 故x y 0dv 彳 A3 I a3

6、a3）（两个半球体体积的差）r3sin cos drd0sin cosdAr3dr03(A4 a4)8(A3 a3)所求立体的质心为(0,0)(3)z x2 y2xa adx0 0y a x 0 y 0 zI xx2dy00y2adz dx0(x2y2)dya 2o x2(ax) 1(ax)3dx1a4xdvaxdxoa x0 dy2 2 x2 y201a5dz1a46zdva a x x0dx0 dy02 22 y2zdz30所以立体的重心为(ia,ia,30a2)它在内部各点的密度的大8设球体占有闭区域 （x y z）|x2 y2 z2 2Rz小等于该点到坐标原点的距离的平方试求这球体的质

7、心解球体密度为x2 y2 z2由对称性可知质心在z轴上即x y 02dv 0 d02sin2Rcos0r2 r2dr2。刁郛5 COS5 dzdv02sin cos d2Rcos0cos7 dR632 515 r5R故球体的质心为（0,0, ”R）.9设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域D如下 求指定的转动惯量 D （x,y）|x| 書 1 求 Iya2 b2解积分区域D可表示为于是 I yx a, bJa x2a2x dxdyDax2dxay b Ja x2 ab .a2 x2ab r-ydy.a2 x2a2baaxa2ax2dx 1 a3b提示：宀2 x2dX倚加初汀D由抛物线y2 |x

8、与直线x 2所围成 求Ix和Iy 解积分区域可表示为3于是 I23、x/22y2dxdydxy2dy - - 7 x2dx 一D3 03Jx/2 3 3 0 2/25Iyx2dxdyD2x2dx 3Tdy 辛罰dx 竽3.x/22 07D为矩形闭区域(x y)|0 x a 0 y b求Ix和Iy解 I xy2dxdyDI yx2dxdyD；dx；y2dy a3b3 豐a 2 b0xdx0dy1 _3 .1a ba3b10已知均匀矩形板(面密度为常量)的长和宽分别为b和h计算此矩形 板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量解取形心为原点取两旋转轴为坐标轴建立坐标系y xd d2Xyxdd

9、2yb-2b-2dxb- 2b-22yh_2h-21-12h- 2h-211 一均匀物体(密度 为常量)占有的闭区域 由曲面z x2 y2和平面z 0 |x| a |y| a所围成(1)求物体的体积解由对称可知a a x2 y2V 40dx0dy0 dzaaaa38,4 dx (x2 y2)dy 4 (ax2 )dx 8a4 00033(2) 求物体的质心解由对称性知x y 04 a ax2 y2zdvx7 0dx0dy0 zdzV20dx0(x4 2x2y2 y4)dyV：(ax4 |a3x y)dx 175a2(3) 求物体关于z轴的转动惯量解Iz(x222a ax2y2)dv 4 dx

10、dy 0 0 0y (x2y2)dza4 0dx0(x4 2x2y2 y4)dy 411fa612求半径为a、高为h的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转 动惯量(设密度 1)xOy面上z轴通过圆柱体的轴心 用解建立坐标系使圆柱体的底面在 柱面坐标计算I z (x2 y2) dvr3drd dzah 10r dr0dz 2 ha13设面密度为常量的匀质半圆环形薄片占有闭区域D (x,y,0)|R ,x2 y2 R2,x 0 求它对位于 z轴上点 Mo(O 0 a)(a 0)处单位质量的质点的引力解引力F (Fx Fy Fz)由对称性Fy 0而Fx GD(x2小23/2 da )2G2 cos d2R2R ( 2花 a2 R2 n ,R2 a2 R1R2R1、R2a2、R2a2F Gadz D (x2 y2 a2)3/2Ga 2 d R2dGa 2d R ( 2 a2)3/2Ga a214设均匀柱体密度为占有闭区域(x y z)|xh G 0(a z) y2 R2 0 z h求它对于位于点Mo(O 0 a)(a