高斯公式的应用

1、1、高斯公式在普通物理中的应用数学中的高斯公式是场论中的一个基本公式。它建立了空间某一区域V上的体积分与其边界曲面S上的面积分之间的关系，即JJJ + + dxdydz=喟 pdydz+ Qdzdx+ Rdxd(1)、邱 y 比丿;在物理学中，常用它的矢量形式：III divFd . F dsVs式中 F =Pi Qj Rk在普通物理学中，应用高斯公式可以简洁明了地证明某些重要的结论。下 面我们就用它来推证著名的阿基米德浮力定律和静电场中的高斯定理。(1)高斯公式推证阿基米德浮力定律在普通物理的教科书中，一般对阿基米德浮力定律都不作严格的数学证明， 仅对它作一个说明。但是我们可以根据重力场中静

2、止流体的压强分布，应用高斯 公式给出一个证明。一物体浮在液面上，液体表面的平面把浮体表面的封闭曲面S分为两部分S和S2，也把整个浮体分为两部分。其中浮在液面上的那部分为 Vi，浸没在液体中的那部分为V2。建立坐标系，取液体表面为 x o y平面，Z轴的方向取为竖直向下。作用在曲面Si上的压强就是大气压Po，而作用在曲面S2上的压强则为P = F03式中P为液体的密度，z为曲面S2上某点处位于液面下的深度。作用在物体上的浮力就是由于作用在物体下部的压强大于作用在物体上部的压强而产生 的，我们来具体计算一下。因为作用在物体表面上任一面元上的压力总是与面元的法向矢量n方向相反，所以有：F浮 - _

3、Pds = -P ds nss二 - P cos ： i cos : j x cos k dss=-i !P ds cos：- -j ! P ds cos ： -k iiP ds cossss-H i i( pi ) ds _ji：i(pj) ds _k：i：i(pk) dssss式中为n与三个坐标轴的夹角，应用在高斯公式，上式可化 为体积分:F浮二-i i l l (pi)dv-j i n (pj)dv-k i ii (pk)dvvvv- FP - rp rP二一idv - jdv - k dvw w v L、Q v v rwwwv ；-xv ：-yv ；-z屮疋p-亠 &p, dp.-.-

4、(i J k)dvv :x：y；z一 JJJPodvv-iPdv in PdvViV2-5dv- XR)dvviv,=0 III 卜gkdvv,-;?v2gk上式即为我们所熟知的阿基米德浮力定律的数学表达式，它表明：浸在液体里的物体受到向上的浮力，浮力的大小等于物体所排开的液体的重量。（2）高斯公式推证静电场中的高斯定理静电场中的高斯定理:1一 =.E dsq,s0(S内)在一般的普通物理教科书中，对高斯定理都不作严格的证明，而是利用电 力线的概念加以说明，也有少数书中是采用引进“立体角”的概念来证明的。其 实，应用高斯公式可以很简洁地证明高斯定理，而且不需要引进“立体角”的概 念。我们先讨论

5、单个点电荷的情况。在闭合曲面S内有一点电荷q，它所产生的 场强为E ，贝序出S的电通量为叮鼻八EdsJ 譬4二；ors4二；o s r注意，现在我们还不能利用高斯公式把上式中的面积分化为体积分。因为高斯公式成立的条件要求 E在闭合曲面S所包围的区域V内是连续函数。但显然一亡*在区域V内r=0处（即点电荷q处）不连续。我们可在闭 曲面S内作一个以点电荷q为中心，以R为半径的小球面S的方向和S一样都取 为外法线方向。那么，在闭合曲面S和S之间的区域门中，0， E满足连 续的条件，于是我们可利用高斯公式来计算通过区域 门的边界曲面的电通量。门八= E ds =Edv J 4 dv门4二；0 rr由直

6、接计算可得，飞=0 (r=0)，所以G _ =0。r乙在面积分；-E ds ,曲面7的外法线方向在曲面S处与S的外法线方向相f同，而在s曲面处则与s的外法线方向相反。于是有iiE ds = E ds = E ds - 0f ssJ所以E ds =匚E dsssqr二 s Rq这说明通过包含点电荷的任意闭合曲面的电通量都与通过以该点电荷为中 心的任一球面的电通量相等。而通过球面的电通量很容易算出：dsq iidsq2 4二R24 咫 0R ；：4 胧 0R所以叮-e =2当点电荷q不在闭合曲面S内时，则在S所包含的V区域内，r0，可直 接利用高斯公式求出：45 vE ds 二 、Edv J 、d

7、v =0 s丁4二；0 ： r对于由一组点电荷qgqn所组成的带电体系来说，它们在空间所产生的总场强E是各点电荷单独存在时所产生的场强的迭加:E =巳 E2En那么通过任意闭合曲面的电通量为：门-:：E ds 二 巳 ds ： E2 ds 亠 亠 I I En dsssss二讥I en式中叮I、：Je2：n是各个点电荷的电场通过闭合曲面 S的电通量。由上述关于单个点电荷的结论可知：当gi在S内时讥旦i当gi在S外时:i =0所以叮-e八讥二一、q （S内）这样就证明了高斯定理。2、高斯公式与散度设空间闭区域门是由分片光滑的闭曲面7所围成，若函数P（ x , y, z）,Q（ x，y，z）与R（

8、 x，y，z）在门上具有一阶连续偏导数，则有高斯公式（散度 公式）：! （）dv： Pdydz Qdzdx Rdxdy 是门的整个边界曲面的外x _ y_z-侧）在日常生活中，我们经常见到 如图1用榔头钉钉子，图2灯泡或太阳向四周辐射光线，图3点燃的烟花向周围爆炸等现象。对这 些现象进行对比观察，发现都具向四周散射的效果。我们不妨对钉子受力会被钉进桌面的现象进行受力分析，如图4,钉子受到榔头的力A=（P, Q R）作用，P, Q R分别是 力A在x，y，z三个坐标轴方向上的分力，力 A的作用效果（变 化率）等效于分力P，Q, R在坐标轴方向上的作用效果（变化 率），从而我们可用度量A的（散射）作用效果，并称之为散度。因此，我们可 以把高斯公式理解成：向量场（包含力场） A=（P, Q R）通过闭曲面流向