高数重要知识点

1、高等数学上册重要知识点第一章函数与极限一 .函数的概念1 两个无穷小的比较设 limf ( x)0, lim g( x)0 且 limf ( x)lg( x)（ 1）l= 0，称 fx是比 g x高阶的无穷小，记以f (x)= 0g ( x)，称 g(x)( )( )是比 f(x)（ 2） l（ 3） l低阶的无穷小。 0 ，称 f( x) 与 g( x) 是同阶无穷小。xg x= 1，称f(x与g x是等价无穷小，记以 f) )( )(2 常见的等价无穷小当x 0时sin x x， tan x x， arcsinx x， arccos x x 1- cos x x 2 / 2 ， ex -

2、1 x ， ln(1 x) x ， (1 x) 1 x二 求极限的方法1两个准则准则 1单调有界数列极限一定存在xh x放缩求极限g x) f)准则 2（ 夹逼定理 ）设 (若 lim g( x)A, lim h( x) A ，则 limf ( x)A2两个重要公式公式 1lim sin x1x 0x公式 2lim (1x)1/ xex 03用无穷小重要性质和等价无穷小代换4用泰勒公式当 x0 时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次ex1xx2x3.xno(xn )2!3!n!sin xxx3x5.(1)nx2n1o( x2 n 1 )3!5!( 2n1)!cos x1x2x4.(1)nx2

3、no( x2 n )2!4!2n!ln(1 x) xx2x3.( 1)n 1 xno( xn )23n(1 x)1x(1) x2.(1).(n 1) xno(xn )2!n!arctan xxx3x5. (1)n 1x2n1o(x2n1)352n15洛必达法则定理 1设函数 f (x) 、 F ( x) 满足下列条件：（1） limf (x)0 ， lim F ( x)0 ；limxx0x x0x x0（2） f ( x) 与 F (x) 在 x0 的某一去心邻域内可导，且F ( x) 0 ；（3） limf (x) 存在（或为无穷大），则f ( x)f (x)F ( x)limlimx x0

4、x x0 F ( x)xx0 F ( x)这个定理说明：当 lim f ( x)存在时， limf (x) 也存在且等于 limf ( x) ；当xx0 F ( x)xx0 F (x)xx0 F ( x)f ( x) 为无穷大时， lim f ( x) 也是无穷大F ( x)xx0 F ( x)这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为 洛必达（ L H ospital ）法则 .例 1 计算极限 lim ex1 .x 0x解 该极限属于“ 0”型不定式，于是由洛必达法则，得0lim ex1lim ex1 .x 0xx 0 1例 2 计算极限 lim sin a

5、x x 0 sin bx解 该极限属于“ 0 ”型不定式，于是由洛必达法则，得0limsin axlima cos axa x 0sin bxx 0 b cos bxb注 若 f ( x), g ( x) 仍满足定理的条件，则可以继续应用洛必达法则，即f ( x)f (x)f( x)limlimlimLx a g( x)x a g ( x)x a g ( x)二、型未定式定理 2设函数 f ( x) 、 F (x) 满足下列条件：（1） lim f ( x)， lim F ( x)；x x0x x0（2） f ( x) 与 F (x) 在 x0 的某一去心邻域内可导，且（3） limf (x)

6、存在（或为无穷大），则f ( x)x x0F ( x)limF ( x)x x0F ( x)0 ；limf (x)x x0F ( x)注：上述关于 xx0 时未定式型的洛必达法则，对于 x时未定式型同样适用n例 3 计算极限 limxx(n0) xe解 所求问题是型未定式，连续 n 次施行洛必达法则，有limxnnxn 1limn(n 1)xn 2Llimn !xlimxxx 0 xexexexe使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“0 ”和“”型的未定式，其它的未定式须0先化简变形成“ 0 ”或“”型才能运用该法则；0（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）

7、洛必达法则的条件是充分的，但不必要因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在7 利用导数定义求极限基本公式 lim0f (x0x) f (x0 )f ( x0 ) ( 如果存在）xx8利用定积分定义求极限基本格式 lim 1nnnk 1f ( k )1f ( x) dx （如果存在）n0三函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（ 1）第一类间断点设 x0是函数 y = f ( x) 的间断点。如果 f ( x) 在间断点 x0 处的左、右极限都存在，则称 x0 是 f( x) 的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（ 2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类

8、间断点。 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。四闭区间上连续函数的性质在闭区间 a, b 上连续的函数 f ( x) ，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。定理 1（有界定理）如果函数f ( x) 在闭区间 a, b 上连续，则 f( x) 必在 a, b上有界。fx在闭区间a b上连续，则在这个定理 2（最大值和最小值定理）如果函数( ) , 区间上一定存在最大值 M 和最小值 m 。定理 3（介值定理）如果函数 f ( x) 在闭区间 a, b 上连续，且其最大值和最小值，分别为M 和m，则对于介于 m和M 之间的任何实数 c，在a b上至少存在一个, 使得 f ( ) =c

9、推论：如果函数 f ( x) 在闭区间 a, b 上连续，且f ( a) 与f ( b) 异号，则在 ( a, b) 内至少存在一个点 ，使得 f ( ) = 0 这个推论也称为零点定理第二章导数与微分1. 复合函数运算法则设 y = f ( u) ， u =? ( x) ，如果 ? ( x) 在 x处可导， f ( u) 在对应点 u处可导，则复合函数 y= f ? ( x) 在x处可导，且有 dydy duf ( ( x) (x)dxdu dx对应地 dyf (u)du f ( ( x) (x)dx ，由于公式 dyf (u)du 不管 u 是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不

10、变性。2. 由参数方程确定函数的运算法则=(t)， y=(t) 确定函数 y=y(x)，其中 (t), (t) 存在，且 (t ) 0，则设 x ?dy (t)dx(t )二阶导数d 2 yddyddy dt (t) (t ) (t) (t)dxdxdx2dxdtdx (t) 33. 反函数求导法则设 y=fx的反函数 xg y，两者皆可导，且 f x)0( )= ( )(则 g ( y)11( f ( x) 0)f ( x)f ( g( y)4 隐函数运算法则（可以按照复合函数理解）设 y = y( x) 是由方程 F( x,y) = 0 所确定，求 y的方法如下：把 F( x, y) =

11、0两边的各项对 x求导，把 y 看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出 y 的表达式（允许出现 y 变量）5 对数求导法则（指数类型 如 y xsin x ）先两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数 y。对数求导法主要用于： 幂指函数求导数多个函数连乘除或开方求导数（注意定义域 P106 例 6）关于幂指函数 y= f ( x) g ( x) 常用的一种方法 , y = eg (x )ln f ( x) 这样就可以直接用复合函数运算法则进行。6 可微与可导的关系f ( x) 在 x0 处可微 ? f ( x) 在 x0 处可导。7 求n阶导数（ n 2 ，正整数）先求出 y, y

12、 , , 总结出规律性，然后写出 y( n) ，最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的 n 阶导数公式（ 1） y ex , y(n ) ex（ 2） yax , y (n )a x (ln a) n（ 3）y sin x ,y( n)sin( xn)2（ 4） ycos x ,y( n )cos(xn )2(5) y ln x , y( n )(1) n 1 (n1)! xn第三章微分中值定理与导数应用一 罗尔定理设函数f( x) 满足（ 1）在闭区间 a, b 上连续；（2）在开区间 ( a, b) 内可导；（3） f ( a) = f ( b)则存在 ( a, b) ，使得 f ( )

13、 = 0二 拉格朗日中值定理（证明不等式P134 9 、10）设函数f( x) 满足（ 1）在闭区间 a, b 上连续；（ 2）在开区间 ( a, b) 内可导；ab，使得 f (b)f (a)则存在 ( ,)baf (推论 若 fx在 a bx，则 fx在 a b内为常数。内可导，且 f )0(1( )( , )在 a b( x)( , )，则在 a b推论 若fx)， g x)内皆可导，且f)g x2( , )( )( , )内 f ( x) = g( x)+ c，其中 c为一个常数。三 柯西中值定理设函数 f ( x) 和g( x) 满足：（1）在闭区间 a, b 上皆连续；（2）在开区

14、间 ( a, b) 内皆可导； 且g ( x) 0 则存在 ( a, b) 使得 f (b)f ( a)f ( )(ab)g(b)g (a)g ( )（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形g x) =x时，柯西(中值定理就是拉格朗日中值定理。 ）四 泰勒公式（估值 求极限（麦克劳林）P145 T10 ）定理 1 （皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式）设 f( x) 在0 x 处有 n 阶导数，则有公式，称为皮亚诺余项对常用的初等函数如ex ,sinx,cosx,ln(1+x) 和 (1x)（ 为实常数）等的n阶泰勒公式都要熟记。定理 2（拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式）设 f ( x)

15、 在包含 0 x 的区间 ( a, b) 内有 n +1阶导数，在 a, b 上有 n阶连续导数，则对 x a, b ， 有公式，, 称为拉格朗日余项上面展开式称为以 0 x 为中心的 n 阶泰勒公式。 当 x0 =0 时，也称为 n阶麦克劳林公式。导数的应用一 基本知识设函数 f( x) 在 x0 处可导，且 x0 为f( x) 的一个极值点，则f (x0 )0 。我们称 x 满足 f (x0 )0 的 x0 称为 f ( x) 的驻点，可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。极值点只能是驻点或不可导点， 所以只要从这两种点中进一步去判断。极值点判断方法第一充分条件f (x) 在 x0 的邻域

16、内可导，且f ( x0 ) 0 ，则若当 xx0 时 ,f ( x)0 ，当 xx0 时， f (x)0 ，则 x0 为极大值点；若当xx0 时， f(x)0 ，当xx0 时， f (x)0 ，则 x0 为极小值点； 若在 x0 的两侧f ( x) 不变号， 则 x0不是极值点 .第二充分条件f (x) 在 x0 处二阶可导， 且 f ( x0 ) 0 ， f ( x0 )0 ，则若 f( x0 )0 ，则 x0 为极大值点；若 f ( x0 )0 ，则 x0 为极小值点 .二 凹凸性与拐点1凹凸的定义设 f( x) 在区间 I上连续，若对任意不同的两点1 2x ,x ，恒有则称 f( x)

17、在 I上是凸（凹）的。在几何上，曲线 y = f ( x) 上任意两点的割线在曲线下（上）面，则 y = f ( x) 是凸（凹）的。如果曲线 y = f ( x) 有切线的话， 每一点的切线都在曲线之上 （下）则 y = f ( x) 是凸（凹）的。2 拐点的定义曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。3 凹凸性的判别和拐点的求法设函数 f( x) 在( a, b) 内具有二阶导数f ( x) ，如果在 ( a, b) 内的每一点 x，恒有 f ( x) 0，则曲线 y = f ( x) 在 ( a, b) 内是凹的；如果在 ( a, b) 内的每一点 x，恒有 f ( x) 0 ，则曲线 y

18、 = f( x) 在 ( a, b) 内是凸的。求曲线 y = f( x) 的拐点的方法步骤是：第一步：求出二阶导数f ( x) ；第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点x1, x2 ,.xk；第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标；第四步：求出拐点的纵坐标。四 渐近线的求法五 曲率第四章不定积分一基本积分表：tgxdxln cos xCctgxdxln sin xCsecxdxln secxtgxCcsc xdxln cscxctgx Cdx1 arctg x Ca2x2aadxa21 ln xaCx22axadxx21 ln ax

19、Ca22aaxdxarcsin xCa2x2adxsec2 xdxtgx Ccos2 xdxcsc2 xdxctgxCsin2 xsecx tgxdxsecxCcscx ctgxdxcscxCaxdxa xCln ashxdxchxCchxdxshxCdxln( xx2a2 )Cx 2a22sin n xdx2cosnI nxdx00x2a2 dxxx2a22x2a2 dxxx2a22a 2x2 dxxa2x22n 1 I n 2na 2ln( xx2a2 )C2a 2ln xx2a2C22ax2a二 换元积分法和分部积分法换元积分法（ 1）第一类换元法（凑微分） ： f ( x)(x)dxf

20、 (u)du u( x)（ 2）第二类换元法（变量代换） ：f ( x)dxf (t)(t) dt1(x)t分部积分法udvuvvdu使用分部积分法时被积函数中谁看作u( x) 谁看作 v ( x) 有一定规律。记住口诀，反对幂指三为u( x) ，靠前就为u(x) ，例如ex arcsin xdx ，应该是arcsin x 为 u( x) ，因为反三角函数排在指数函数之前，同理可以推出其他。三 有理函数积分有理函数： f ( x )P ( x )Q( x )其中 P( x )和 Q( x ) 是多项式。简单有理函数： f ( x )P( x ) ,f ( x )P ( x )1x1 x 2 f

21、 ( x )P( x )( xa)( xb)P( x ) f ( x )( xa)2 b1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.第五章定积分一概念与性质bn1、定义： af ( x) dx limf ( i ) xi0i 12、性质：（10条）（ 3）3 基本定理( x)x( x) f ( x) 推 广 ：变上限积分：设f (t )dt ， 则ad( x)( x) ( x)f ( x)( x)dxf (t )dt f (x )N L 公 式 ： 若 F ( x)为f ( x) 的 一 个 原 函 数 ， 则bf ( x) dx F (b)F ( a)a4 定积分的换元积分法和

22、分部积分法第六章定积分的应用（一）平面图形的面积b1、 直角坐标：A f 2 ( x ) f1 ( x) dxa2、 极坐标： A122( )12 ( ) d2（二）体积1 、 旋转体体积：a) 曲边梯形 yf ( x), xa, xb, x 轴，绕 x 轴旋转而成的旋转b体的体积： Vxf 2 ( x )dxab)曲边梯形 yf ( x), xa, xb, x 轴，绕 y 轴旋转而成的旋转b体的体积： V y2xf ( x) dx（柱壳法）ab2 、 平行截面面积已知的立体：VA( x ) dxa（三）弧长1 、 直角坐标：2 、 参数方程：sbf( x )2 dx1as( t )2( t ) 2 dt极坐标： s( ) 2( ) 2 d第七章微分方程（一） 概念1 、 微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程 . 阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 .2 、 解：使微分方程成为恒等式的函数 . 通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同 . 特解：确定了通解中的任意常数后得到的解 .（二） 变量可分离的方程g( y)dyf (x)dx ，两边