高数答案第七章

1、高数答案第七章第七章 空间解析几何与向量代数7.1向量及其线性运算必作题： P300-301 ：1， 3，4，5，6，7，8，9，12，13，15，18，19. 必交题：1、求点(a,b,c)分别关于各坐标面； 各坐标轴；坐标原点的对称点的坐 标解：(1) xoy 面(a,b,-c ) ,yoz 面( -a,b,c ), xoz 面( a,-b,c ) ;(2) ox 轴 ( a,-b,-c ) , oy 轴( -a,b,-c ), oz 轴( -a,-b,c );(2 )关于原点( -a,-b,-c )。2、坐标面上的点与坐标轴上的点的坐标各有什么特征 , 指出下列各点的位置A(3,4,0)

2、, B(0,4,3),C(3,0,0),D(0, 1,0).解：xoy 面：z=0, yoz 面：x=0, xoz 面：y=0.ox 轴：y=0,z=0 , oy 轴：x=0,z=0 , oz 轴：x=0,y=0 ,A在xoy面上，B在yoz面上，C 在x轴上，D在y轴上。3、在z轴上求与点A( 4,1,7)和点B(3,5, 2)等 距离的点的坐标解：设 C (0, 0, z),有|AC|=|BC|，解得: z晋，所求点为(0,0,鲁).vvvvv vvvv v v -4、设 u a b 2c,v a 3b c,试用 a,b,c 表示v v2u 3v.r v v v v解：2u 3v 5a 1

3、1b 7c.5、 已知两点M/4八2,1)和M 2(3,0, 2),求向量MfM： 的模，方向余弦和方向角.解:JJJJUVM1M 21 cos2 ?cos1, 2,1 ,22 ，UJJULJVM1M 2cos2，方向余弦为1，方向角寻，cos0,cos1 ,cos2a的模*求a.2,方向余弦解:x, y,z ,1 y亦 所 2，2 T，所0，y7、设有向量1 , zUUJU unuPP2,则 o，丿2 ? 2晅，ao,1,V5PLP 2,它与X轴、y轴的夹角分别为-和-，如果已知34P(1,0,3),求 P2的坐标设P2的坐标为(x,y,z)， cos3 *，所以uuuv解:umvRP2y

4、,2，又 BP?1 2 (z 3)22，标为(2,迈2)x 2 ； y22,，所以解得z 2或zcos4X 1,y,z 3 ， 吕，所以4，所以P2的坐或者(2j2, 4).8、求平行于向量a 6,7, 6的单位向量. 解：a J36 49 36 11 ,与；平行的单位向量为1 6,7, 6,即为-,-,-，或者11八11111167611, 11,11 7.2数量积 向量积 混合积必作题：P309-310 : 1, 2, 3, 4? 6，7, 8, 9.必交题：1、已知向量a 1, 2,2与b 2,3,垂直，向量a 1,1, 2与d 2,2,平行，求和的值.解：a b , a t) 2 6

5、20 ,24.a Pb ,2、已知向量 a 2a 3a a,t a a 3a,a a 2a,分别 计算以下各式.mvvvvvvvvvv(ag)c (agb ；(a b) (b c)；(a b)gvvvvvv v v r r解：(age (aggb 8c 8b 8j 24kv v v v rrr rrrr r( (a b) (b e) (3i 4j 4k) (2i 3j 3k)j k231/Q v v v丿(a b)81132.1 2 03、已知OA v 3v,OUv v貳，求abo的面积. uuv uuv r v v解：OA OB3i 3j kABO的面积S 1|Oa OB|乎. 7.3曲面及

6、其方程必作题：P318-319 : 1、2、5、6、7、8、 9、10.必交题：1、一动点与两定点A 2,3,1和B 4,5,6等距离， 求该动点的轨迹方程.解：设动点P(x,y,z)，因为|PA |PB，所以 (x 2)2 (y 3)2 (z 1)2 (x 4)2 (y 5)2 (z 6)2，解得动 点的轨迹方程为2x 2y 5z 623.2、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形 y x 1 ；2 2x2 y2 4 ；x y 1 ； x2 2y ；x2y2 0.解：直线；平面圆；援助面双曲线；双曲柱面抛物线；抛物柱面原点；Oz坐标轴3、说明下列旋转曲面是怎样形成的(z

7、a)2 x2 y2 .解：xOy坐标面上椭圆兰工1绕Ox轴旋492 2转形成，或者xOz坐标面上椭圆亍扌1绕Ox轴旋转形成。（2）xOz坐标面上z a x绕Oz轴旋转形成, 或者yOz坐标面上z a y绕Oz轴旋转形成.4、指出下列方程表示什么曲面z342 x2 2x y 2z94 X2 y2 z2 ；2 2 2x y z 4.解：椭球面 椭圆抛物面 圆锥面 旋转双叶双曲面5、建立单叶双曲面兰匸艺i与平面1645X 2Z 3 0的交线关于xoy面的投影柱 面与投影曲线方程解：将曲面与平面方程联立，消去变量z得到 投影柱面暫手于1，投影曲线为2 2 2x y (x 3)116420z 06、画出

8、下列各曲面所围立体图形 z X2 y2， z 1 ；z 6 x2 y2，z 0 ； z J2 x2y2，z x2 y2.解：略 7.4 空间曲线及其方程6, 7,必作题：P324-325 : 3, 4, 5,8.必交题：1、下列方程组各表示什么曲线?5x 12x 32 2X-乞149z 34y2z6z ；1 ?y2 z2 4x 8y(x 1)2（y解：直线（4）抛物线X2 y2 z2362)2 (z 1)225椭圆圆2、求由上半球面z J2 x2 y2x2 y2 ax 0及平面z 0所围立体在 面和xoz坐标面的投影.解：在xOy平面投影（xi)2双曲线,柱面 xoy坐标z 0在xOz平面投影

9、z a2 x2 , y 0 , x 01、将曲线的一般方程2 2 2x y z 9化为y x参数方程.cost解:z 3sin t 7.5 平面及 其方程必作题：P329-330 : 2, 4, 6, 7, 8. 必交题： 1、求满足下面条件的平面方程过点3,0, 1且与向量 a 3, 7,5垂直； 过点1,0,1且与二向量a 2,1,1， V 1, 1,0 平行;过点5, 7,4且在三坐标轴上的截 距相等且不为零；过z轴，且与平面2x y丘0的夹角为亍解：(1)3(x 3) 7y 5(z 1) 0，即 3x 7y 5z 4v v a b2 1 11 1 0(x 1)y 3(z 1) 0 ，即

10、x y 3z 4设平面方程为x所以a 2，即x y z 2设平面方cos 2A B解得3Ja2 b2 后，r r r i j kr I 3k ,所以y z a，过点 5, 7,4 ,程为 Ax By 0,A 3B或B 3A ,所以方程为3BxBy 0，即 3x y 0，或者 Ax 3Ay0，即x 3y02、求两平行平面1 :x y z1 0与2:2x 2y 2z 3 0之间的距离解：在1上任取 点（0,0,1），距离2 3 7.6空间直线及其方程必作题：P335-336 : 1、2、8 11、13、15、16.必交题求过点（024）且与两平面3z 2平行的直线方程.方向向量1、2: y解：s

11、1,0,20,1, 33、2,3,14、7、2z 1和以直线方程为2、求直线L:y 3zy z0和平面0的夹角.解：s 1,1,31, 1, 1sin.4 16 4 1 1 12,4, 2 , n0，所以1, 1, 13、求点P(3, 1,2)到直线X y2x yZ 1 0的距离.z 4 0解：s 1,1, 12, 1,10, 3, 3在直线上任取一点uuuvM (1,0,2) , PM 2,1,0 ,uuuv rPM s 3, 6,6距离d第七章总复习必作题:P337-338:总习题七.必交题： 第七章模拟检测题1、填空题（1）设2a 5b与a b垂直，2a 3b与a 5b垂 直，贝y（a,

12、b）=（2）已知 a （2,2,1）, b （8,4,1），贝y a 在 b 的 投影为；与a同方向的单位向量 为； b的方向余弦为1 ；2 2 1 .8,；cos3 3 3 79 ?空间曲线zz 241cos, cos9 92 2 x 2y 2在xOy面上的(X y)投影曲线的方程为.x2 y21z 0x 1与两直线y 1 t及J山L都z 2 t121平行且过原点的平面方程为x y z 0(5) 点P(3,5,7)关于平面 2x 6y 3z 42 0的对称点的坐为./ 9 713 109、( )49 49 491、选择题（1）设ag） 3，a b （1,1,1），则向量 a与b的夹角为（D

13、）A-2C4(2)设两直线Li:则此两条直线(A );A.异面B.相交C.平行 D 重合(3) 通过x轴且垂直于平面 5x 4y 2z 3 0的平面方程为(B )；A z 2y 0B. y 2z 0C. x 2z 0 D z 2x 0(4) 平面 2x 4y 3z 3 0与平面 x y 2z 9 0 的夹角为(D );A.B . . C643D.(5)点W到直线Lt：3。的距离为(B )A.、.340 b11,34111.342113、计算题(1)求点 A(-1 ,2,0)在平面 x 2y z 1 0 上的投影.解：垂涎方程为宁字1 2x 1 y 2 z t1 2 1I，所以X代入平面方程解得

14、z |，即投影为5 2 2(品弓(2)设平面过点(0，1, 3)，且平行于直线y 2，又垂直于已知平面2 1 1x y 2z 1。，求此平面方程.解：法线向量n 2, 1,11,1,21,5,3 ,所求平面方程为(x 0) 5(y 1) 3(z 3)0，即 x 5y 3z 14(3)求直线宁 宁1绕z轴旋转一周 所成曲面方程 解：S 2,3,1，cot 1=1V49 辰曲面方程为z (x 1)2 (y 3)2cot ， 即 13z2 (x 1)2 (y 3)2(4) 求以点A(3, 2, 1)为球心，且 与平面x 2y 3z 18相切的球面方程解：点A到平面的距离d r吟3 18屈，V1 4 9球面方程为(x 3)2 (y 2)2 (z 1)2 14.(5) 求空间曲线x z2 11在三个坐标面x y 1上的投影曲线方程. 2 2 亠解：在xOy平面的投影X y 1 ,在yOz平面 z 02 2的投影(z 1) y 1x 0在xOz平面的投影4、证明题(1)r r r3i 12j 6k 共面