线性代数第四章练习题答案.

1、第四章练习4、11、写出下列二次型的矩阵2 2(1) f (Xi, X2, X3) = 2xiX24X1X3 - 2X2X3 ；(2) f(Xl ,X2, X3, X4) = 2X1X2 2X1X3 2X1X4 2X3X4。解：（1）因为2-10X2lX3广2 0f(X1,X2,X3)=(X1,X2,X3)0-12 -1z2 0 2所以二次型f (x1,x2,x3)的矩阵为： 01-12 -1 0（2）因为0f (X1,X2,X3,X4)=(X1,X2,X3,X4)1001101，ZX1X2X31X4所以二次型f （x1,x2, X3,X4）的矩阵为:*011110 0 010 0 1J 01

2、0；2、写出下列对称矩阵所对应的二次型:(1)1212120222-1012-11212-1 01201212121解：（1）设 X =（X1,X2,X3）T，则f (Xi, X2, X3) =XTAX= (Xi, X2, X3 )1_ 20-21 2/x1-2x22 2=X1 2X3 - X1 xX1X3 - 4x? X3 o(2)设X二化也风必厂，则f (X1 , X2, X3, X4 ) =XTAX= ( X1,X2 ,X3, X4 )-1-11212-11212X1X2X3=-X； X： X1X -2x1X3 X2X3 X2X4 X3X4 o练习4、21、用正交替换法将下列二次型化为标

3、准形，并写出所作的线性替换。2 2(1) f (x-i ,x2, x3) = 2x1 x2 4X2 4x2x3 ；f (x-i ,x2, x3) = 2x1x2x2x3 ；2 2 2(3) f (Xi ,X2, X3) = Xi 2X2 3X3 -4XiX2 -4x2X3。解：(1 )二次型f(Xi,X2,X3)的矩阵2-2 0 、A= 2 1 2。0-2 0A的特征方程为扎22detQ-E-A)=2 人 T0202 =(九+ 2)(人2 5 扎+ 4)=0，由此得到A的特征值 = -2， ，2=1， ，3=4。对于1 =2，求其线性方程组(-2E -A)X =0，可解得基础解系为：1=(1,

4、2,2)丁 。对于.2 =1，求其线性方程组(E -A)X =0，可解得基础解系为:23%=(2,1,-2)丁 。对于3 =4，求其线性方程组(4E _A)X =0,可解得基础解系为:3=(2,-2,1)丁。：2(3s 32(2P=( 1, 2, 3)即得标准形：2y2 5yl yl。2、用配方法将下列二次型化为标准形：2 2 2(1) f (x-1 ,x2, x3) = X1 2x2 5x3 2X1X2 2X1X3 6X2X3 ；(2) f (x-i ,x2, x3) = 2x1 x2 4x-i x3 ；(3) f (x1 ,x2, x3) = - 4x1x2 2x1x3 2x2x3。解：(

5、1 )先将含有Xi的项配方。f(Xi,X2,X3)= Xi2 + 2Xi(X2 X3) +(X2 X3)2 (X2 X3)2 + 2x； + 6X2X3 + 5x3= (Xi X2 X3)2+x； + 4X2X3 + 4x3 ,再对后三项中含有X2的项配方，则有f (X1,X2,X3)= (xx2 x3)2 + x； + 4x2x3 + 4x3 = (x1 x2 x3)2 + (x2 2x3)2。，Z1 1 1 设Y=(y1,y2,y3)T, *(人公2必)丁, b= o 12 ,2 0 0令y=bx则可将原二次型化为标准形y2 + y2。(2)此二次型没有平方项，只有混合项。因此先作变换，使

6、其有平方项，然后按题(1)的方法进行配方。久=y1 + y2广 110、 X2 = y1 - y2，即X2=1 -1 0y2X3 = y30 b则原二次型化为f(Xi,X2,X3)= 2(yi 丫2)(力 一 y2)+ 4 yy2 2=2yi 2y2 + 4y3 + 4y2y32 2=2(yi y3) 2(y2 - y?),彳0 1 设 Y=(yi,y2,y3)T,丕乙厶厂,b= 0 1 -1e 0 o令Z=BY则可将原二次型化为标准形 2z -2zf o(3)类似题(2)的方法，可将原二次型化为标准形:-4才 4zf Z 3、用初等变换法将下列二次型化为标准形:(4) f (xi，X2，X3

7、)= x1 2x2 4xf 2X1X2 4X2X3 ；f(X1, X2, X3) = X1 - 3x?xf-2x1x22%3 6x2x3 ；(3) f (X1,X2,X3) = 4X1X2 2X1X3 6X2X3 (此题与课本貌似而已，注意哈)解：(1)二次型f (x1 ,x2, x3)的矩阵为1 1 0、A= 122 疋丿1001001_ 101-1201001001001-201丿001丿01丿001丿C=“-1 2 012卫01丿作可逆线性变换X=CY，原二次型可化为标准形：2 2 f(X!,X2,X3)= yiy2。(2) 类似题(1)的方法，原二次型可化为标准形：f(X!,X2,X3

8、)= y1 -4y； yl。(3) 类似题(1)的方法，原二次型可化为标准形：2 1 2 2f(Xi,X2,X3)= 2y12_ 6y3。4、已知二次型f (x1,x2, x3) = 5x； 5x； cx| -2x1x2 6x1x6x2x3的秩为2。求参数c的值，并将此二次型化为标准形。解：二次型f (x1,x2,x3)的矩阵为5-13A=-15-3即作正交变换X=CY，二次型f（X-X2，X2n）可化为标准型：2 2 2 2yi yn - yn 1 -y2n。6、已知二次型f（X4,x2,X3）= 2Xj2 3x| 3xf 2ax2x3（a0）通过正交变换化为标准2 2 2型f = yi 2

9、y2 5y3，求a的值及所作的正交替换矩阵。解：因为原二次型可化为 f2 22y2 5y3，可知原二次型的矩阵的特征值为1，2 和 5。而原二次型的矩阵为A=故A的特征方程为det( E - A)=0 -3=(-2)(，- 6 九9- a ) =0。因此将此特征方程的解 1, 2, 5代入得:a=2。对于1 -1，求其线性方程组（E - A）X-0，可解得基础解系为：1= (0,1,1)丁。对于2 =2，求其线性方程组（2E -A）X =0,可解得基础解系为:2 =（1,0,0）T。对于3 =5，求其线性方程组（5E -A）X =0，可解得基础解系为：3 = （0,1,t）t。将1, 2, 3

10、单位化，得1 11 1=(0,2,12/，= (1,0,0)T，NO,*,*)T，2 . 2故正交替换矩阵为:P=(1,2,3)=0121O1石1j练习4、31、判别下列二次型是否为正定二次型:(1)2 2 2f (x-1 ,x2, x3) = 5x1 6x2 4x3 -4x1x 4x2x3 ；f (x-i ,x2, x3) =10x2 2x； x3 8x_jX2 24x_jX3 -28x2x3 ；(3)22 2 2f (x-i ,x2, x3, x4) = X1X24x37x46X1X34X1X4-4X2X32x2x4 4x3x4。解：(1 )二次型f(X1,X2,X3)的矩阵为-2A=-2

11、-20，-26-2-26O-24-2由于50,=840,即A的一切顺序主子式都大于零，故此二次型为正定的。(2)二次型f (Xi, X2,X3)的矩阵为由于40412 A=42-1412-14110412|A|=42-14=-35880，12-141故此二次型不为正定的。(3)二次型 f (x1, x2 ,x3,x4)的矩阵为：广103 2、0 1-22 A=。3-2422 22 7由于10301 2 =-90 ,3-24故此二次型不为正定的。2、当t为何值时，下列二次型为正定二次型：(1) f (x-i ,x2, x3) = x； 4xf X； 2tx1x210x1x3 6x2x3 ；222

12、(2) f(X1，X2，X3)= X1X2 5X3 2tX1X22X1X3 4X2X3 ；2 2 2(3)f (x1,x2,x3) = 2x1x2 x3 2x1x2 tX2X3。解：(1)二次型f (x1 ,X2, X3)的矩阵为:1t5、A=t4300t2 +30t -105 a 0-无解，因此，不论t取何值，此二次型都不是正定的。(2) 二次型f(X“X2，X3)的矩阵为：5t-A=t12。!C125此二次型正定的充要条件为1 t2210,=1 t 0,|A|= 5t - 4t 0，t 14由此解得：t ： 0。5(3) 二次型f(XX2,X3)的矩阵为：210tA=11 。2t002J由

13、21t220,0, IA|=10112解得：-.2 ；： t ：、一 2。3、设A、B为n阶正定矩阵，证明 BAB也是正定矩阵。 证明：由于A、B是正定矩阵，故 A及B为实对称矩阵。所以(BAB)t=BtatBt=BAB，即BAB也为实对称矩阵。由于A、B为正定矩阵，则存在可逆矩阵C1, C2，有A= C1TC1，B= C2TC2，所以 BAB= C 2TC2C1TC1C2TC2= (C1C2TC2)T(C1C2TC2)，即BAB也是正定矩阵。4、如果A，B为n阶正定矩阵，则 A+B也为正定矩阵。证明：由于A、B是正定矩阵，故 A及B为实对称矩阵。从而 A+B也为实对称矩阵, 而且f =XTA

14、X，g =X TBX，为正定二次型。于是对不全为零的实数X1,X2/ ,Xn，有XtAX 0，XtBX 0。h=X t(A B)X = XTAX+ XtBX 0,即二次型h= X t(A - B)X为正定的，故A+B为正定矩阵。5、设A为正定矩阵，则 A-1和A*也是正定矩阵。其中 A*为A的伴随矩阵。 证明：因为A为正定矩阵，故 A为实对称矩阵。1 tT 1ii从而(A )=(A ) A 即A也为对称矩阵，(A )-(at)二a即a也为对称矩阵。由已知条件可知，存在可逆矩阵C，使得A = C TC。于是A=(CTC) 二C(C)T = QTQ，1_J J T 1 A其中 Q=(C J)T，C

15、t = ptp，A =| A| a =| A|C (C )=C故a-1和a*都为正定矩阵。6、设A为nxm实矩阵，且r(A)=nn,求证:(1) ATA为m阶正定矩阵；(2) AAt为n阶半正定矩阵。证明(1)因为A为nxm实矩阵，所以 AT为mx n矩阵，又r(A) =n 0。因此，at a为正定矩阵。(2)因为A为nxm实矩阵，所以 At为mx n矩阵，又r(A)=nn，因此，方程组ATX= O ,有非零解。即存在Xo -O ,有 AXo = O。于是对于任意的X = 0,有XT ( aat ) X=( a t X) T ( a t X)兰 0。 因此，aat为半正定矩阵。7、试证实二次型

16、f(X1,X2，,Xn)是半正定的充分必要条件是f的正惯性指数等于它的秩。证明：充分性。设f的正惯性指数等于它的秩，都是r,则负惯性指数为零。 于是f可经过线性变换X=CY变成f(X1,X2，,Xn) = y；科；y2。从而对任一组实数 Xi,X2，Xn ,由X=CY可得Y=C-1X ,即有相应的实数yi,dr；, yn ,222使 f(xi，x2， ,Xn)= yi y?y -0.即f为半正定的。必要性。设f为半正定的，则f的负惯性指数必为零。 否则，f可经过线性变换 X=CY 化为2 2 2 2f(Xi , X2 , , Xn ) =Ys ys 1 _ - Yr ， Sr。于是当yr= 1，其余yi=0时，由X=CY可得相应的值X1, x2 /