矩阵分析报告课后习题解答(整理版)

1、实用标准文案文档大全第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的， 答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不 得擅自上传）例1 试证】所有垃阶对称矩阵组成也严堆线性空値n 所有阶反对称距阵组成丛苛山维线性空间证明、用&表禾乳阶矩阵中除第，行第列的元索为】外. 其余元素全为0的矩阵用=表示&阶年阵中除第行第J列元索与第j行第”列元素为I外其于元索全为0的矩阵噩然母心都是对称矩阵盛有幷个，乩有丛；个*不难 证明E ESiSi, , F/M线性无关的*且任何一个对称矩阵都可用这n n + + -D + l）个矩阵钱性表示*此即对隸矩阵组成彎卫

2、 维线性空间同样可证所有N阶反对称矩阵1H成的线性空间的维数为 丹（川T）评注：欲证一个集合在加法与数集两种运算下是一个 乜严堆线性空间，只需找出也尹2个向线性无关，井且集 合中任何一个向量都可用这总5 + 1）入宀皿士二貯”1 rri inI r1 0 E严LE4 =-1】Li o-0 00 0-在基E =下的坐10上个向量线性表示即可*实用标准文案文档大全方并一 设“=釦品+去艮+心场十菇&1 21211 11叮丄1 rri o-=JTB丄珀4小+小Lo 3：1-1 1-.1 0-0 0-0 0-故*1 21 才I +孔 + 小 + 比 工】+ % + x/Lo 3L 工|+业JTI 于是

3、X| 十為 + 叭十匕=L x( + xa + x3 = 2+ x2 = 0#= 3解之得工i q 3. J = 3* % 亠 2* 斗三一1即人在EEEE.EEEE.下的坐标为(33i2t-l)T-方廉二应用同梅的概念，肿是一个四嫌空闻并且可将矩阵 &看作(b20f3)Sufvtv4 可看作O)Tp(l,fO,0)7,(lOtO.O) 于是有41 . r10 0 0；31i1 1 1 o U一0 1 0 0 31 1 o o U0010? 2k4 0 0 0 3-0 0 01 L因此*衽&民冷斷T的坐标为3i-3t2.-13T. 评注苍只需按照向H坐标定义计算.例R6试证：在中矩阵-i r

4、r1 Ct*11心=110 i i -lo1-10-11-线性无关M!设為6+上阿+焦禹+人皿=0 即ri r+叩q+ *3ri r+pi rh JLo i J-0-l u为+心+觥+人仇+乱+ k/k/=0 * +胳+打 打十麦筈+忍实用标准文案文档大全于是厶+ b +爲+札工0 b十班+处=Qk k、斗+ 匕 x O初 +冷孑+= 0解之得怡A（ = ）w At 0故6心心心线性无关9191 1 10已知用中的两组基s = 1. IOQT 6 =如，一uo7*CTj = OtOrl, 1T cxcx4 4 = 1 00.1P!A = 2 1, 1 jTp ft h D,3*l,o丫.A =

5、 5.3U1S 久=66U.3T.jjt： 1）由基6、6,6心百到基的过厦矩阵（2）求向畳g0丁在基A下的坐标*Mi a3,at,aJP将6g心a与A A*A代入式得2056r I00 1113 36-1 0 0s=-112 10 I10L10 13-00 I 】故过攪矩阵实用标准文案文档大全 100r 1-205_ 110013360一 11Q一 1121 00-11-1013-丄1T-2-2 =Ba _0-2_32213,.TTa *01(A, A A * A)2将3 3血為点坐标代人上式后整理得_百T-2056T8T13 3 60_ 27-112 1I1貢.1013-0_o2 227

6、J评注土只需将5出代入过渡矩阵的定义屁爼卜5 aiTaacrJ计算岀只fl 1 12 巳知6 = U2dfOT. a, = 一 l,bllT,A = E2 1 0 l fitfit = = El * 137 J7_579Tn2实用标准文案文档大全求吕pan6，q与心nA屁的和与交的茶和维数：因为Spana 皿 + spanA*ft = spang,耳.久如由:f”秩a* AA ? = 3i且6 *x“已是向量。”耳单，昌的一个极大线性无关组,所以和空间的维数是3,基为方床设f 导“门他心门紳如爲，3 于是由交空间定 义可知* =人。+ *曲2 = /禹 + 1A此即rrrr 2* 21十11+

7、 k、一 10+ E_ 13=0e_.1-1JL 1.解之得 = 一右,為=4耳t（i =鸥（厶为任意数）于是 =就6 + g -址一 5厶3,4T（很显然f = AA +妇角） 所以交空间的维数为1基为一5吃“皿方法二不难知spanfatf, = span a, span （ft 禺 = span A i 其中竝=2, 201,0；=-曽，2丄0二又 Kpan（CTi，c I 也是线性方程组4 三二一 24jrz 2TJ 一 直*的解空间.spanft1p；M线性方程组实用标准文案文档大全的解空间所以所求的交空闾就是线性方程组4 =孔=2仏眄=-*学吧十2g工2 =23 -r4的解空间*容易

8、求岀其基础解系为一5,鮎3,4丁,所以交空间的维 数为 1、基为-523,4T.评2L本题有几个知识点是很貫要的.(1)的基底就是6心门的极大线性无关组维数等于秩6； a“ g 就是求向It e .BE可由线性表示.又可由A，ft线住衰示的那部分向量.(4)方法二是借用两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联 立方程组的解空间J将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求 Hr9il9il 7 7设ROl堆所有伙数小于4的实系数多项式组成的 线性空间求多项武p(z) = 1 + 2”在基1“一1,(胃一 1儿 (x-1)3下的坐标.解丰方法一(用线性空间理论计算T0/(T) =1 + 2肝=1*才，0

9、0-2-= 1 (文1)S(= 一初又由于1，丁 一 1 （.T.T 】）?*（* I）3J _ 11 一 r0 1-23 3=1,工,尹，分；001- 3实用标准文案文档大全.0 00 1-于是护(Q在基11心一 1严心一I尸下的坐标为11一 11_1Xz01一 23063001一 306g001-N2方法二 将/ + (jr - 1 尸 + PP(Jr(Jr 一 1=3 + 6(J - 1) + 6(x - l2 + 2(x 一 i)a曲此 pQ)在基 l.x-iar-Dtx-l)1 T的坐标为3,6*6.评注*按照向ift坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更 简草一些例L23设是线性空

10、间疋上的线性变换它在用中基 Cfj .6,6下的矩阵表示是(1)求/在基厲=切，氏=6卄口八3=6+弧+6下的矩阵 表示(2)求 3 在基ffi心6下的核与值域解:(1)由麵意知11rA * A * AJ =oii-00E设鼻在基B下的矩阵表示是3,则1 1 r一_123 1 1 rB B = = P P FP =0 1 1*10 30 1 1实用标准文案文档大全_0 0 L215-9 0 L444=3 4 6_23乱(2)由于MIM0,故AJTN0只有零解所以3的檢是零空 间由维数定理可知“的值域是线性空间从1 12 设践性变换i*在墓毎=1.1*10*-1丁皿严卬丄1丁下的矩阵表示为1 o

11、 - rA =110一一 1 23一求E在基町二10*0T隔三0丄叮。产0闪，1下 的矩阵表禾*(2)求、妁核与値戦.1-12. Sr 由題裁知攻*6*务內超 A 于是!0野/汕書訂二6 .or”otjI01L1 11-F-11-rnJ01一 i10i.=L 1 ri口 Ju其中- 11一 rP =01_ 1_ 101.即为所求过渡矩阵懺是线性变換-莎在葛粕気禺下的矩阵表示，即*电並归心禺月于拦实用标准文案文档大全3J 0_B = FlAP =220_30 2J(2)由于方程 AX = 0的基岀的系是X- I a?.所以3的核子空佃N(A)=事pafHcfi 0 十 q n span! f 2

12、 t2,31r3的值I*K(/i) =： span(CT),(0),(cr3)=span(ai 4 or； 耳心】+ 26： q + 3ar3=span0,0. 一 1T.1.2,17*111.2.2 span(OtOtlTf 1 210)(此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别)19利用子空间定义，R(A)是Cm的非空子集，即验证R(A)对Cm满足加实用标准文案文档大全法和数乘的封闭性。1.10证明同1.9。l.ll.dim R(A)二 rankA,dim N(A)二 n 一 rankA (解空间的维数)例L21求矩阵A的列空间与核空间11 A= 04h 解：A的列空慣1用(盘)为A(A

13、) =5jMinliOflTl4tir*2*6T=span(Cl ,OUT*CL 4,1 T 1apanl iO, lr, 0,1,0jl又由于A的核空间为A* = 0的解空周，其基础解系为U，1,亠灯所以N(4) = span(l 1, l 2T(2) A的列空何尺(A)为A) =3pan(0+ 1 *3 OT *2t 一 4i 5Ti C 4*5.71Tspan 0v 113 j02*4 115TA的核空间为AX = 0的辭空间*其基础解系为(一3d)丁所以N(A) = span任一 3.2AT)1.13.提示：设 A =(aj)n n(i, j = n)，分别令 X 二 Xi = (0,

14、0, 1,0,0，)T (其中 1 位于Xi的第i行)，代入XTAX =0 ，得aH =0 ；令 X =Xj =(0,0,1,0,01,0,0)T (其中1位于Xj的第i行和第j 行)，代入 XrAX -0，得 aii aij aji ajj = 0，由于 aii 二 a” = 0，则 aij 码=0，故 AT rA，即A为反对称阵。若 X是n维复列向量，同样有 aii = 0,实用标准文案文档大全Faj a” =0,再令X二Xj =(0,0，i,0,0，1,0，)T(其中i位于Xj的第i行，1 位于Xj的第j行)，代入 XHAX =0，得aii a” i(a - a = 0，由于 aii =

15、 a =0 , aji = 一aj，贝S aj = aji =0，故 A = 01.14. AB 是 Hermite矩阵，贝U (AB)H =BHAH 二 BA = ABHH5.存在性：令-TC*-TC* , ABC,其中A为任意复矩阵，可验证BH二B,CH二一C唯一性：假设 ArBG， B，且 B广 B,C广 C， 由HHAH = B/ GH 二 B“ -G，得 B- A BQ 二 A C （矛盾）22冷久型浣就勺入I-如”4闵2刎rr!才（训诃I山3制诃十岫 曲心叱今二冰凱实用标准文案文档大全例127求矩阵A的转征值与特征向量_ 0 1 0o 1 r4 =-440& =1 o tT 12

16、2- -4 10一(1)A的轄征多项式X 1( ( AA 4 A 40= (A 2)32 1 A ZA A的特征值召二加=人亠厶当A-2时特征矩阵IF一 102一 1AE A =4-200002_ I0.00(L4= 2JT对应于特征值A = 2的线性无关转征向董为=中不全为零*2) A A的特征多项式； -1 1IAE - A| = -1 X X 一 1-1 一 I 人4的特征值H 1#石=211当=一时特征矩阵，一 1一 1一 V Vn 1rA A A -1_ 1_ I000十I_ 1L.00d工i =些一矶对应于粹征值人三一】的线性无关特征向量为6二一ioT干是属于待征值人-一1的全部待

17、征向量为 氏6十其中岛呢 0,0,于是属于特征值4-2的全部特征向【为乩6十釈or”其实用标准文案文档大全不全为零*实用标准文案文档大全当A2时*特征矩阵 2一 1一 r0_ rAEAE A A 12一 101* 1.1_ 12J0a a=才3 * 丁2 =工$对应于特征值久=2的线性无关特征向为于是属于特征值A-2的全部特征向量为乂qlt中h h不为零*实用标准文案文档大全第二章酉空间和酉变换实用标准文案文档大全2 】一1 1 -31例3, 已知 ；求LI 1 -1 0】交基*：根据樓空间的定义可知N (4 )是方程姐心口0的解空闻，得它的基鞘解来为 务=o * 1，1, o *。丁 = E

18、 * 1 OOtlT从而 N(4)spanffi .or2 rCrL首先应用Schmidt正交化方怯得列A =6 = bld-0,03T,ft _ (6 *)a _ 1 /A f _ ?OJA = 6 _ gA=一 i 寺* 一 * J r*(為 坷 A J Q貳而属(丽尹然后再将A屆 A A单位化后，可得-个标准正交基人冃奇5佚佚O0Nv ft r TTo /To 用皿小人=TXT - c 丁审，_ 丽丁卫，y A r 766135 yrZj TOT =気侖淸越為 所以儿人，人即为NGO的标權正交基P1-11_341-10K-尹+76V 一百实用标准文案文档大全_ _ -/岸伫伫隊;2020

19、丿S保狗M（Z叫 2&vyAvyA A A 51-r-勺帯箱匕力丿小 0 0勻好；】务邈% ：实用标准文案文档大全/ 二了（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设 e =（2,en）（0,0，1,0，0）T 巩和仓,en） X （ 1 在第 i 行）； ej =（8,2,en）（0,0, T,0,0）丁 =（e,e2,s）Y （ 1 在第 j 行） H Ci _ 根据此题内积定义（ei,q）=Y X=i jj0 j故0,仓,en是V的一个标准正交基。母剛冷E如 鬲咽讐驚怎;:二如 鳥臨:務加砌肿胁2盼心如曲伽号扑，餌 血灯仏）X严广厂加任必竝虬 小沖几曲厂丫 X J J f V I

20、1 X *y | 4 x z飞迪4 T恥/Pt Jli t 0实用标准文案文档大全(注意，在无特别定义的情况下，内积的定义默认为(X,Y)=YHX )例氛21求正交矩PtG，J 0A0为対角矩薛已知110一 r1 11_ 10A A = =0一 111101UM首先求出矩阵山的特征多项式M君一“m)5-3(AFD-半入=3时求得矩阵A的属于特征值山3的单位特征向*? 0(显 $：W住%0和“卩-.Jp|i - M款爲创2T山聊窗躲厂p 4忙,sHA- “埶為3心磐裁如】 并x 4 9 0曲“ 心旳企习鬥oCoC订 I 打If辺皿巧泌曲 烦喘#0 马打旳邛 肿列。丿| f f严IM，片实用标准文

21、案文档大全当人=一1时求得矩薛鼻的属于特征1KA-1的单位特征 向輦为1* W 当4=1时求関矩眸A的JK于特征值A=i的单位特征向議300 00-000 0 10-0001-3-18已知下列正规矩阵求西矩阵,使得UHAU为对角 矩阵.0T i-4 + 3i4i一 6矿(1) A =10 0A=一4i43i2 6ii0 oj.6+2i26i0 J0 一 flBf (1) I 0 0J 00.首先求出矩阵A A的伸征多頊式为iAE 4|所以A A的特征侑为為=i *入n /瓦i為=0+对于特征值/Ti朋得一个待征向为二青 j取 171Q =21一 1L 2于是有e eJ Jee = =07T.实

22、用标准文案文档大全对 询正值一/T i求得一个特征向X产了匚一 i J 丁. 对于特证值0,求得一个待征向量組=01卩 由于4为正规矩阵所以是彼就正交的.只需分 则将底必必单位化即可于是取/y!*u u = =中6 = 一 2 -2而且有/Tio6 6UAU =o 0-0 00.4 + 3i4i6 2ig_4i4 3i 12 6i.6+21-2& 0 一;首先求出矩阵A的特征多项式为|-A|-（r+8I） 。一9人所以A的特征值为入=一94也=9匚电=乩对于特征值 7求得一个特征向量拓=一討1 iT对于特征值亦求得一个特征向产对干特征值9求fl|个待征向董當尸卜X 专/T丁I/To1；2Z2实

23、用标准文案文档大全由于4为正規矩阵.所以是彼此正交的，只需分 别将拓注“心单位化即可于是取T3_A3J从而有一 9i 0 0 9i 0 02.15 先求得 C 使 CHAC ,假设 P 二CB，使 PHAP 二 I ,则有（BBH）-., 依次式求得B，进而求得P。（此方法不一定正确）2.16将（冷，2， 3）进行列变换化为阶梯型知可取：1， 2为其中两个 基，另两个基可取：3（001,0）1 4 =（0,0,0,1）T，化标准正交基略。2.17 略2iy272TUAUUAU w w实用标准文案文档大全第二章矩阵的分解例二9求下列矩阵的Jordan标慮形及其相似变換矩阵只210一 V2_1J0

24、201(1)2-1-2002112-,000(1)记 2 - 1 _A =2-1 2.1 1 2首先求出A的Jordan标准形T 211 p- 4 =2人+ 12 A - 11 亠1A- 2“L(人一 1)那么“的初等因子为故A A的Jordan标准形为 ri 1J J = =1.1 1-1再设由P P APJAPJ得肛*，关/订=iXiXL L,X,Xt tMJMJ实用标准文案文档大全由此可碍方程组（ 一 A A）X Xt t n 0- - AXAX2 2 如 _ X X、l（ 一 A A）XjXj = 0 首先解第一亍方程可得基础解系为ft-ciu.oy.rhoar， 不妨迭取拓=1丿卫下

25、.但是不能简单选取x,=ri.odjT.R为 兀还要保证非齐次线性方程組（E-A）XQ有又由于第1 BI _ %三个方程与第一个方程是同解方程组所以其的任意解具有形式 X】总f |*Cjf/j =Tj +，*羊 1 门门）为了使第二个方穆有解.可选GZ的值使下面的两个矩阵的 秩相等一_ 1 )1_一 111 G + _E A =-2 22t一 222 .1 一 1一 1J-1一 1 1门-只萎选取G = 2,门=一1即可.于是2就12T 丁 将其代人第二个方程，并解之得禺=口J“r容易验证m局线性无关，所以取11 rp p = =1 2 1_0- 1 L且有p认尸=儿(2)记7 10-_320

26、1A A = =0 0 21.0 0 02-首先求出A A的Jordan标准形$ 2-101 =0A 20-1XEXE A =00人2 ! 000A Z1fA- 2实用标准文案文档大全_人一2)1那么4的初等因于为A2(A-2)从而4的Jordan标准形为_2 1 0 0_0 2 10J J U U0 0 2 0.0 0 0 2-再求相变换矩阵P设P=匕*?点厂儿且有P FP口丿*即2 10CT0 0 2 olLO 0 0 2_于是阿得方程组AXAX =-=- ZXZXf f AX.AX. = = 这是同解线性方程 组，可得其全部解为妇口 40,0了 +牖001*0T“八爲不金为 零为使 AX

27、XAXX + + ZX,ZX,有解，取 ! = 1.0.0,0V,求出A-A-2)X X、= X X、的全部解为拆、1厶,0丁，为了使AX = XX + + 有解取 血=0准士再求解(A - 2E)益=辰=0, ll,o3r,其全部解为 0 I、0*ZMJl于是取 =0,0,0丁*舄=0，40丁兀=0】41：!Xi-Co.oa.oy.从而40 0 0_ 0 110p p M M0 10 1L0 010-且有实用标准文案文档大全11注：例2.9 (1)中的Jordan标准型有误，J=11 , Jordan标准1 一型不唯一，各Jordan块之间可以互换，互换的原则是：同一特征值 对应的Jorda

28、n块之间可以互换；不同特征值对应的Jordan块整体可以互换。例2d 求下列人-矩阵W Smith标雀形.-A+12人1】A -r-io 1A护十1护+入一4A一_0(A-1)*.A： (1)用初等变怏方法求無*100 100 n0A0A护1A2 -；川+ L.0A*+001100 0A00A0严+人一卅一_00A+丸1和一1入 + 11 2A - 1 一入 +0A30”AJ n 1A1 + 1 J卫沪一人+ A _- 2 + 1 2久一11A0 fA* + 1 以十人一 1 L实用标准文案文档大全d）利用行列武因子方洙求解甘先求岀P3（A） 入一 4 0（=（丄 一 !）*（A 十）于是乩（

29、才）二 A 1, J；从而其Smith标准形为人一 10 1L 0(A 一 1 )3 (A 4- 1)-评注求人-矩阵的Smith标准影常用的方注有两种*初零变 换法与行列式说子不变因子法根据所结题目不同.第一个题目 采用初等变换搖较好歩而后两个題目用行列式因子法求解更方3.7、3.8 同 3.1心 xztxzt 7SI7SIT T* *7h h ) )f)f)2-2- X X ? ? ftft 1 1 44 0-40-4 11 HeHe - - - - I?I? I I inin brlr-brlr- 44 V V T T - - J J / / 7171 I I 的 U1AU1A 刖 0

30、0 77 t/t/4 41717 -L7-L7 .国 i i L L3ffr I0 p二AA J J* *0 0二rjrj 1J1Jo o 0 0 o o 八OOOO I I 77 0/00/0 、灼-J JJIJI 7 7芦 ? Jr*J7J7 M Mirk 十Q o o 0 o o o J (?妇/JhK才ILffr人H i hwvVIhKO OT7T7KbKb5-5-TJTJ=7 7ZJ/ZJ/fferfferc co o二JLV$E E # # FF右ZI1XZI1X 为O 0实用标准文案文档大全例2 2 11试写出Jordan标准形均为*1007=02I_00 2J的两个矩阵右丘解；

31、用阴种方法求解此勰.方法一相似变換矩阵的方裱*对干任意一个可逆拒阵几 矩阵尸丿P均与矩阵/相似，从而其Jordan标准形必为几于是f壬 取两个不同的可逆矩阵P*即可得到两个矩阵A.ffA.ffr r方廉二 矩阵秩的方法.设从或血的Jordan标雇昭为13L0 2 1L.0 Q 2J从而从或Q的Smith标稚形为_1 1iI,-（A 一 2）;CA 一 门由此可tei 4（或町的行列式因子为D）U） 土 D.（A） = h D3（A） = （A - IXA - 2）: 这样的矩暉或有很多，取表达式较为閒单的矩阵，下列任何 种矩阵都可以20 (T_1 0 012 OS*10f* 2 04* 2 0

32、.* Z.* 2-_ * L2 1* r2 -01*t2*02_002_002-.001 -下面分析H处元素取何值时才能保证以1为垄对角元的北皿块只有一个.以2为主对角元的Jordan块也只有一* 据求Jordan标准形的第二种方法（矩阵秩的方法几只要使 r（4 一 2感）=2 或 r（B 一 2E） = 2实用标准文案文档大全20 (T7 o - r9 2 10 1 00 lJ.0 0 2_2 0 0_卩_】00 2 0 2 1_0 5 1J_0 0 2用矩阵的Jordan标准形求解线性傲分方程组dTdT = 一才十兀dxdxt t= 4T| +3= H-T| + 8工那么原.0 0 一 1

33、A 2 1J方程组可化成即可.例如dz37心LdT F -1 y i= =J Jy-=L WS:-儿 M -实用标准文案文档大全可或得小=屿*+林*头=赶*护时.于是 ,(/) n w + *je*y jfjh) *= ?jtTe* + 4；(2f + 1)* Xj(J = 4&L衬+趾(4f十2)P十花匕其中Anit.il为任意常数3.11方法同上 3.12 由 Ak =0 知 A 的特征值全为 0( - x =0,Ax - X= Akx - kx )，则 AT的特征值全为1,根据行列式与特征值的关系，则 A+I =13-26设A为冃阶正规矩阵仏热人为A的待征值，试 证：从4特征值为|召厲*

34、宀，人儿证朗：由正规矩阵结构定理(即教材定理3- 6*3)可知，存在酉 矩阵。使得V Vn nMJMJ = ii幅(心 昇人于是A AH H =/ding（入，Ajj/x这样有川M =心曲叱（入召，焉人严s入入I*I II91 3 24 设A为正定Hcrwhe矩萍为反Hermite 试证M与BABA的特征值实部为零.证崛，设2为人B的任意一个擀征值卡于是|A-4tf|-D,II曲于A为JE定的Hermite矩阵，所以存在可逆茹阵使得4 =0Q将此式代人UE-4BI-0中可得0 =丨巫一 0QK| = |2H（CH） - Q QH HQbQb | |T0 | 如0| 1（0）7从而wueBeHi

35、=o-ii*明入也&QS&QS&1 1的特征值.注倉到 QBfQBf是一个反矩阵“iffi反Hermite矩阵的箱征值为零或 纯虚数所以2为零或纯虛散何样也可以证明血I的特征值实 部为事实用标准文案文档大全-tMiagU為叫I4F严|入卩*1.E1.证明*由于A是一个半正定的Hermite矩阵，所以A的耳个 特征值和G人均为非负实数，只心 . . . .全为零挪么A + B的特征值为右+ 1內+ 1小人+1 是大于等于1的散，且至少有一个大于1 故M + 剧=g + 1XA, + I)(无 + 1) I例326 设A层半正定Hermite矩阵是正定 Hermite 矩阵F试证f |4+tf|f

36、lb因为为正定的Hermite矩阵所以存在可逆矩阵 使碍于昂M + 釧冃 IA + QH0 = |0H(0Mg-* +EII0I= |H(C 户町 + | =油liorw旷 + | 由A是一个半正定的Hermite 56阵可知 W泸AQ 也是一个半 正定的Hermire矩阵由上题J+ | 1,故|占+釦3-16 设川均是H纹miw矩阵且A正定试证ME与 的轄怔值郝是实数.实用标准文案文档大全lh3-19 设A是正定Hmi忆矩阵且AeUAeUn n 则A = E.3-19证覘1由千人为Hermite矩阵所以存在酉矩肾， 使得人* -VAUVAU = =“*U其中=又A为聲矩阵于基11 = 1.送

37、样有& = 1,上式即为UAUE.UAUE.3-20 试证Ml)两个半正定Hermite矩阵之和是半正定 的心 半正定Hermite 阵与正定Hrmire矩碎之和是正定的*3-20 (I)还明：设均为半正定的Hermite矩阵那 么对于任意一组不全为零的复数RM”山.都有Hermite 次 齐次式/(X) = X XM MAXAX Q.f(X)Q.f(X) = = X XH HBXBX 0其中X = 2,皿”于是有/(X) = XHX0.a表明 A + 8也是一个半JE定的Herniite矩阵-(2)设4是一个半正定的Hermite矩阵/为正定的Hermite 矩阵*那么对于任意-组不全为零的

38、复数心5严皿那有HX)HX) = = X Xn nAXAX 上 O./(X) = X Xn nBXBX 0于是有八*)=则41)龙这表明4 + B是一个正定的Hermite矩晖 *1H3* 27 设A是正定Hwmi怔矩阵/是反Hermite矩阵. 试证sA-bff为可逆矩阵证駅*由于A是一个正定的Hermire矩阵，所以A可逆于是|A + | = AA AAAAL LBB = = AA |E + A A l lBB其中| A | H0=又&r也是正定的Hermite矩阵/是反Hermite矩阵*由例3鳶4结论可知4吻的待征值实部为0于是+4*1 的待征值皆不为寒所以旧十叭#0*进而M + FI

39、H0，这表明A + 可逆矩阵.例317设A胡均为正規矩阵，且有恥=血证明： 实用标准文案文档大全(】)至少有一个公共的待征向(2)可同时酉相似于上三角矩阵.即存在酉矩阵评，使 得WAWWAW以及肿JW均为上三角阵丰(3人可同时西相似于对角矩阵，(4)山 与(M均为正规矩阵.证駅】(1)设匕是矩阵A鸽属于特征值丄的特征子空间.若 aeVnW 4a = r，则區3 =迪6 由于 A8=BA.A8=BA.所以有 A(Ba)A(Ba) = = AOfcr).这表期orVif从而匕是B的不变子空间故在匕中存 在B B的待征向量它也是A A的特征向赶(2)对A.BA.B的阶数用归纳挂证明当札&的阶数均为】

40、时. 结论显燃成立.没单位向*6是的一个公共特征向GU冉 适当送取应一1亍单位向気，Gi使得心心，*6,为标權 正交基于是U=aU=at t ,a3,a3为酉矩阵且有BaBax x = = babat t, , ffUffU p b Q 进一步可得BU*BU*巩o =臥这里0是1 Xf/J-I)矩阵是LO i 算 n一个用一1阶矩阵.另外也有UW=UW=札这里0是IX 0 用(H-1)矩阵蹇一亍就一1阶矩阵”由 ABBAABBA 又有UAUUAUh h) ) - -= (/*) - (U4卯.于是可轉片B二盈血由此可推得儿酚=故由归纳空假设，存在拦一 1阶酉矩阵叫，使得 叭民匕=4这里心为一个

41、上三角矩阵，记ri o 1亠V- n _. t tw=uv.w=uv.于是有 U F J -W Wl1l1BWBW =VW/HM7)VJ p q卩 =rA 的Lo vvJiLQ AJLO V,J LO A显然则1mv是一个上三角矩PT容SttiEw是酉矩阵.同样可得.WAW.WAW也是一个上三角矩眸(3)由(2町设WHAW = JT这垂R是一牛上三角矩阵，那么 WHAHWH,从而可得 AAWRWAAWRW * WHfFH=W(i?AK)WH.AAH 叱 WRWWRWH H trjTWH =用JMfH)肿AKA = w*HwH * WRW = w(aw(atltlx)wx)w实用标准文案文档大全

42、又A4h = AK4,W以可得= 从而知R R为一个对角矩阵 同样可HWHRW也是一个对角矩阵.(4)由(的可设入卜,W WH HAWAW = =. WHBW = .匚入L于是有WABWWABW = =r r5由正規矩阵结构定理(即教材定理3. 63可知A8A8为正規矩阵*那 么乩4也为IE規矩阵.3 25 设-/ 试证：URAURA十医是酉矩阵.3 25 II明i由已知条件可得旷=(_ 人 一 E)7( A + ) = (A + E)_,(A 一 E) 于昱叨=(A(A + )(4 一 )(4 + EXA 一 ) * =(A + E)E) J容易证明AHA和AXH邵是Hermite 矩阵.任取OHX那么有AK = O或于是对于Hermite 二次型/(X) = XHAH4X AXAXAXAX总有明AHA是半正定的Hermite矩外同样可以 证明A4M也是一个半正定的Hermite矩阵*(2)设矩阵A的秩为rA是#AH的特征值也是A的特征 值那么它们均为实数由“)可设入孑初二 A人鼻入=4十=心n 0Ml A 冷鼻 * 玄叫 A i n j+i * = % = 0下面证明入=wr 0(/