第11章稳恒电流磁场

1、11-1求图中各种情况下0点处的磁感应强度B。解：(a)连接A和D两点，电流a可以看成是由 直线电流和矩形电流合成的。直线电流在0点产生的磁感应强度011(2 (a/2)，方向垂直纸面向外。矩形电流由两条长度为a、两条长度为b的直线电流组成，在0点产生的磁感应强度为：16。14 (a/2)sin( / 2) sin(/2)oI4 (b/2)si n( /2) sin(/2)丄前(/2)罕sin( / 2) 2 ol 聲 aba ,a2b22_olab . a2b2一(-a) 方向垂直纸面向内。.a2 b2 a bO点的磁感应强度为：B一2ol (- a)卫2 ol . a2 b2 aJa2 b

2、2 a b a ab(b)电流b由两条直线电流和一个圆弧电流组成：ol 1352R 36o2(sin9o4 Rsin o)3 ol16Ro12 R0.35(c)电流c中两条直线电流的延长线都过圆心，由毕-萨定律知道在圆心处产生 的磁感应强度为0,圆弧产生的磁感应强度为o1 1l12R 2 R0丨2 丨22R 2 R由于两端的电压相同，有V知牛2带入上式得到B=o11-2.如图所示，一扇形薄片，半径为 R，张角为，其上均匀分布正电荷，电 荷密度为，薄片绕过角顶O点且垂直于薄片的轴转动，角速度为，求O点处的磁感应强度。解答1：将扇形薄片分割成半径为r的圆弧形面积元，电荷量为：dq r dr转动时相

3、当于园电流，对应的电流强度为:“ dq r dr dlT 2 /2rdr产生的磁场为 dBodl 2r 4dr圆心处的磁场为Bdro4解答2:以o为圆心，采用极坐标系将扇形薄片分割成小的面积元dq ds rd dr利用运动电荷产生磁场的公式dB0 dqv0 rd drrd dr对上式积分得：BdrRd dr0 011-3在半径R 1.0cm的无限长半圆柱形金属薄片中，自下而上地通有电流I 5.0A，求圆柱轴线上任一点P处的磁感应强度。（这 里把自上而下改为自下而上，求解时对应右图。如不改 时方向相反。）解：从电流的顶上看是个半圆形，在其上取一段圆弧（对 应于一无限长载流直导线），电流强度为：d

4、l JRRdId产生的磁场方向如图，由此可见合磁场方向沿水平向右为:dBx0dI2 Rld22 cos( / 22R)竺-sin2 R磁感应强度为:BBx0Id0 22Rsin0I2 2R眷6.37X 10-5t方向沿x轴正向。11-4图中所示为实验室中用来产生均匀磁场的亥姆霍兹圈。它由两个完全相同的匝数为N的共轴密绕短线圈组成（N匝线圈可近似视为在同一平面内）。两线圈中心Oi, O2间的距离等于线圈半径R，载有同向平行电流 J。以Oi, O2连线中点为坐标原点，求轴线上在01和02之间、坐标为x的任一点P处的磁感应强度B的大小，并算出B。、Bi、B02进行比较解：由圆电流在轴线上一点的磁感应

5、强度公式:oIR22(R2 x2)3/2线圈1产生的磁感应强度线圈2产生的磁感应强度oNIR2223/22(R2 (x R/2)2)20NIR22(R2 (x R/2)2)3/2Bo2Bi0NIR2(R2(R/2)2)3/2oNI(5/4)3/2R0.715oNIRBoiBo2oNIoNIR22R2(R2 R2)3/23/2R 22(2)o.678oNIR两个圆环之间的磁场变化缓慢11-5有一半径为R的半圆形电流，求在过圆心O垂直于圆 面的轴线上离圆心距离为x处P点的磁感应强度。解：如右图利用毕-萨定律分析可知z方向的B分量为o：dBoIRd4 r2x轴分量为:dBJRd4cos( /2 ro

6、IRd2 sin r/2Bx/24cos(4 r/2 )oIR .尹sin4r2oIR24r3y轴分量为:dBy哼sin( /24 r)cosoIRd2 cos cos4 roIRd xcos4 r r12By12IRd4 r2x cos roIRx4 r3/2cos d/2oIRx2PoIR24r3oIRx2 r3这里r 、R2 x2是圆环到轴线的距离11-6半径为R的均匀带电球面的电势为U，圆球绕其直径以角速度转动，求球心处的磁感应强度。解：由球面的电势表示式 uq4R得到球面电荷量q 40RU电荷面密度oUq4 R2 R取球坐标系，将圆球分割成圆环,圆环带电量为dq2 Rsin Rd圆环

7、转动产生的等效电流为 dIdq 2 Rsi n RdT2/R2 sin d利用圆电流轴线上一点的磁感应强度公式,得到分割出的圆环在圆心处产生的磁场的磁感应强度为dB 2(Rsin2 20( R sin d )(Rsin )2 (Rcos )23/20 Rsin3 d2（本题中圆环半径为Rsin ，待求点球心到圆环中心的距离为y R cos )B 0亦3 sin0(12 cos)dcos-(cos2-cos3 )3R2(1-)211-7地球上某处的磁感应强度水平分量为1.7 10 5T，试计算该处沿水平方向的磁场强度解:51.7 1041013.5A/m11-8螺线环中心周长I 10cm，环上线

8、圈匝数 N 200匝，线圈中通有电流I 100mA。(1)求管内的磁感应强度B，及磁场强度H ; (2)若管内充满相对磁导率r 4200的铁磁质时，管内的磁感应强度和磁场强度为多大 ？( 3)铁磁质内由传导电流I产生的磁场B，与由磁化电流产生的磁场 B各为多大?解：(1)由安培环路定律-H ?dl I ii选择螺线环中心为环路路径：H?dl HI NI得到磁场强度磁感应强度B0(2)管内充满相对磁导率NI200 0.10.1200A/mcNII744102002.5 10 T4200的铁磁质时磁场强度不变，磁感应强度为r oNIl44200 2.5 10 41.06T(3)传导电流I产生的磁场

9、B0为：B0 型 2.5 10 4T磁化电流产生的磁场B为：B B B01.06T11-9在半径为R的长圆柱导体内与轴线平行地挖去一个半径为 r的圆柱形空腔.两圆柱形轴线之间的距离为d(d r)。电流I在 截面内均匀分布，方向平行于轴线。求：(1)实心圆柱轴线上磁 感应强度的大小；(2)空心部分中任一点的磁感应强度。解：(1)这个电流可以看成是：在空腔内补上同样电流密度的电流，在于同一位 置再加上一条方向相反的电流，这时磁场是这两个电流各自产生的磁场的矢量 和。柱体的电流密度为j 2。在实心圆柱轴线上大圆柱产生的磁感应强(R2 r )度为0,小圆柱产生的磁感应强度由安培环路定律求解。2 2 B

10、?dl B 2 d 0j r2求得：BjrIr2d 2 d(R2 r2)(2)空心部分的磁感应强度由大圆柱与小圆柱各自产生的磁感应强度的矢量和大圆柱产生的磁感应强度由安培环路定律求解B ?dlB1 2 r10j r121得到 Bi2 ojri同样可得小圆柱的磁感应强度B2 1 0jD2如下图，合场强为：BBiB212 oj1 (sin icos j)0 j a (sincos j)2 ojr1(yi2r1xj)r1jold22 j2 (R r )11-10、半径为R的无限长半圆柱形金属棒中， 通有自下而上沿长度方向电流I，且横截面上 电流分布均匀。试求该半圆柱轴线上的磁感应 强度。解：电流密度

11、:_l_2IR2/2R212ojdj利用11-3的结果，磁感应强度在x轴方向，选择如右图所示的半圆弧电流元dl j rdr在圆心处产生的磁感应强度为:dBodl2r002 j rdr jdr rRB jdr00jR 2 0I2r11-11根据安培环路定理v v0 I，求得磁感应强度为:R)方向垂直纸面向里，取矩形法线方向为垂直纸面向里R)v vBgdSoFR2gjr2RRoI4In 211-12把圆盘割成许多圆环，其中对单个小圆环，设它的半径为dqdt电为dq，贝U dqrdr dIrdrdmr3dr则整个圆盘的磁矩为Rdm0r3drk r4drr，宽为dr，带5垂直纸面向5平行于纸面且垂直于

12、B向上外，所以M B511-13据霍尔效应VIBRh 1 IB2.53 10 5(V)bqn b电场强度E -2.531051.27 103(N.C 1)a2.010 211-14 Uaa，6.65 103V，说明A端电势比A电势高，A端积累正电荷、A端积累负电荷。根据洛仑兹力公式 F qV B，可以判断这块导体的载流子带负电荷，所以这块导体是n型又UaaRhIBb丄IB qn b0盘；，带入数据，得n 2.82 1020(m3)11-15 :由安培力公式可知，当两条导线电流方向相同时， 两导线相互吸引，如下图，导线2对导线1单位长度的引力的大小为：仏，导线3对导线1单位2 r 2 a长度的引

13、力f13o I2引力f13和f12正好在等边三角形的两条边上，它们之间的夹角为600，而且在数值上大小相等，所以合力的大小为f1 f13cos30 f12 cos30a0cos303.46 10 4 N / cm方向如图11-16.在线圈的上下两段弧da和be上，因长直电流I, 产生的磁场与和电流*方向平行，所以圆弧da和be 受力为零。长直电流I,在线圈的直线部ab和ed处产 生的磁场的方向另【J沿着y轴的正向和负向，磁感应强度的大小为B 旦。因此，作用在线圈上的合力为2 RF 21八山 9.33 10 4 N 沿着x轴负向2 R11-17.载流导线中两段直线部分所受安培力大小相等， 方向相

14、 反，两力平衡。整个载流导线受力就是半圆形导线所受的磁场 力。我们知道，载流导线在匀强磁场中受力，等于从起点到终 点连接的一根直导线通过相同电流时受到的磁场力。因此整个 载流导线受力的大小为F 2BIR,方向竖直朝上。11-18载流的半圆形铅丝环受到磁力的大小为：F IDB，沿着水平向右，用T表示圆弧两端a，b受到另外半圆弧的张力，在平衡时有：2T F 0T f BIR 7.0 .。5 35N相应的拉应力为:0.350.7 1065X X X X X105NgmX X X X X6)11.19矩形回路的上下两段导线所受安培力FnF2的矢量和为零，贝U回路所受的总安培力等于左右两段所受的安培力f

15、3,f4的矢量和，它的大小为F F3 F4 晋諾2冷册）128 10 3N方向水平向左。11-20金属圆环径向电阻rr2 drRi2 rd金属环受到的磁力矩，等于沿径向电 流所受的安培力的力矩之和。在d范围内 圆环上r到r dr处的小电流元为 dl I rd 丄d，该电流元所受的安2 r 2lnR2，径向电流I 2dR1R2 dIn R2 R1培力为Bdldr，对转轴的力矩为rBdldr，因此圆环所受安培力矩为rBdldrBdIn(R2 Ri)R2rdrRiidBR严2 r2)方向垂直纸面朝外。方向垂直纸面朝里，与B垂直。因此，线圈所受的磁力矩的大小为:BI R2M mB -27.85 10 Ngm磁力矩的方向为竖直向下。11-21线圈的磁矩为m ISIR211-22假设摩擦力足够大，圆柱不向下滑动。重力绕过切 点0的轴的力矩为：M g mgr sin绕组所受的磁力矩Mm mgRs inNIBg2Rls in磁力矩应大于或等于重力矩，圆柱才不至于沿斜面向下滚动，即Mm MgNIBg2Rlsi nmgRsin1 關 245A11-23因为d ? R,则通有电流I的长直导线在小线圈位置的磁感应强度近似为oI厂d方向垂直纸面朝外。线圈正法线方向与B的方向成 角时，线圈