直线和椭圆圆锥曲线常考题型

1、直线和椭圆 （ 圆锥曲线 ） 常考题直线和圆锥曲线常考题型运用的知识：ax bx c 0(a 0) 有两个不同1、两条直线 l1: y k1x b1,l2: y k2x b2垂直：则 k1k2 1；两条直线 垂直，则直线所在的向量 vr1 gvr 2 0 2、韦达定理：若一元二次方程的根 x1,x2 ，则 x1 x2bc,x1x2。aa3、中点坐标公式：x x1 2x2 ,y y1 2y2 ，其中 x,y是点 A(x1,y1)，B(x2, y2)的中点坐标。4、弦长公式：若点 A(x1,y1)，B(x2, y2) 在直线 y kx b(k 0) 上， 则 y1 kx1 b，y2 kx2 b ，

2、这是同点纵横坐标变换，是两大坐标 变换技巧之一，AB(x1 x2) 2(y1y2) 2(x1x2)2(kx1kx2)2(1k2 )(x1x2)2(1k2)(x1x2)24x1x2或者 AB (x1 x2)2 (y1 y2)2 (1x1 1x2)2 (y1 y2)2 (1 12)(y1 y2)2 2 1 1 2 2kkk12 1 22(1 k12 )( y1 y2)2 4y1y2题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题 1、已知直线 l : y kx 1与椭圆2x C:4my 1 始终有交点，1 m且m 4 。m 的取值范围 解： 题型二：弦的垂直平分线问题 例题 2、过点 T(-1,0

3、)作直线 l与曲线 N ： y2 x交于 A、B 两点，在 x 轴上是否存在一点 E( x0,0)，使得 ABE是等边三角形，若存在，求出 x0 ；若不存在，请说明理由解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。设直线 l :y k(x 1)， k 0， A(x1,y1)， B(x2,y2)。 由 y2 k(x 1)消 y 整理，得 k2x2 (2k2 1)x k2 0 yx由直线和抛物线交于两点，得(2k2 1)2 4k4 4k2 1 0 即 0 k2 1 4由韦达定理，得：x1 x22k2 12 , x1x2 k1。则线段 AB 的中点为 (2k2 1 12k22k)。线段的垂直平分线方程为

4、：1y 2k1 1 2k2 k1(x 1 2k22k )令 y=0,得 x0 21k2 12，则 E(21k212,0)Q ABE 为正三角形，E(21k2 12,0) 到直线 AB 的距离 d 为 23 ABQ AB(x1 x2) (y1 y2)1 24k g 1 k2k1 k22k3 1 4k22k2g1k21 k22k解得 k 1339 满足式， 此时 x0 53题型三：动弦过定点的问题例题 3、已知椭圆 C：ax2 by2 1(a b 0)的离心率为 23 ，且在 a b 2x 轴上的顶点分别为 A1(-2,0),A2(2,0)。( I )求椭圆的方程；(II )若直线 l:x t(t

5、 2)与 x 轴交于点 T,点P 为直线 l上异于点 T 的任一点，直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于 M 、N 点，试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点？ 并证明你的结论解：(I )由已知椭圆 C 的离心率 e c 3 ，a 2,则得 c 3,b 1。 a2从而椭圆的方程为 x2 y2 14(II )设 M (x1,y1) ， N(x2,y2)， 方程为 y k1(x 2) ，由 xy2 k41(yx2直线 A1M 的斜率为 k1,则直线 A1M 的2) 消 y 整理得4(1 4k12)x2 16k2x 16k12 4 0Q 2和 x1是方程的两个根，16k12 4则 x1 2 8k1221

6、 1 4k122 8k12 4k12x11 4k12x1y14k1 ，1 4k12 ，即点 M 的坐标为 (1 4k12 ,1 4k12) ，x 4yk2，则得点 N 的坐标为同理，设直线 A2N 的斜率为(8k22 2, 4k2 )(1 4k22 ,1 4k22)Q yp k1(t 2), yp k2(t 2)k1 k22k1 k2tQ 直线 MN 的方程为：y y1 y2 y1 ，x x1 x2 x1令得：又Qt42， 0 4t 2Q 椭圆的焦点为( 3,0)即 t 433故当 t 433 时，MN 过椭圆的焦点。 四：过已知曲线上定点的弦的问题2 x2by22 1例题 4、已知点 A 、

7、B、C 是椭圆 E：(a b 0) 上的三点，其中点 A (2 3,0) 是椭圆的右顶点，直线 BC 过椭圆 的中心 O，且 uAuCurguBuCur 0， uBuCur 2 uAuCur ，如图。(I) 求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程；(II) 若椭圆 E 上存在两点 P、Q，使得直线 PC 与直线 QC 关于直线 x 3对称，求直线 PQ 的斜率。解：(I) Q uBuCuruuur2 AC，且 BC 过椭圆的中心y=0，得 x x2yy1 yx1y2 ，将点 M、N 的坐标代入，化简后 y1 y2uuuruuurOCACuuur uuurQ ACgBC 0 ACO2又Q A (2

8、3,0)点 C 的坐标为 ( 3, 3) 。Q A (2 3,0) 是椭圆的右顶点，22a 2 3 ，则椭圆方程为： 1x22 by22 1 将点 C ( 3, 3)代入方程，得 b2 4，22椭圆 E 的方程为 1x22 y42 1(II) Q 直线 PC 与直线 QC 关于直线 x 3 对称， 设直线 PC 的斜率为 k，则直线 QC 的斜率为 k ， 线 PC 的方程为： y 3 k(x 3) ，即 y kx 3(1 k)， 由 y2 kx 2 3(1 k)消 y，整理得： (1 3k2)x2 6 3k(1 k)x 9k2 18k 3 x2 3y2 12 0Q x 3 是方程的一个根，即

9、 xP从而直29k2 18k 3 xPg 321 3k229k2 18k 33(123k2)同理可得：29k2 18k 3xQ3(1 3k2)Q yP yQ kxP3(1k) kxQ3(1k) k(xP xQ) 2 3k 12k 2P Q 3(1 3k2 )29k2 18k 3 xP xQ23(1 3k2)29k2 18k 336k3(1 3k2)3(1 3k2)kPQyP yQxP xQ13则直线 PQ 的斜率为定值 31。33题型五：面积问题22例题 5、已知椭圆 C： x22 y22 1（ab0）的离心率为 ab短轴一个端点到右焦点的距离为 3 。）求椭圆 C 的方程；（）设直线 l 与

10、椭圆 C 交于 A 、B 两点，坐标原点 到直线 l 的距离为 23 ，求 AOB 面积的最大值。1，c6 解：（）设椭圆的半焦距为 c ，依题意 ca 36，a 3，2 求椭圆方程为 x32 y2 1。AB 3 。）设 A（ x1， y1） ， B（x2，y2） 。1）当 AB x轴时，2）当 AB与 x轴不垂直时，设直线AB的方程为kx m 。由已知 m 2 3 ，得m2 3(k2 1)。4把ykx m代入椭圆方程，整理得 （3k1)x2 6kmx 3m20，6km x1 x2 3k2 1，x1x223(m2 1) 2。3k2 1AB222 (1 k2)(x2x1)22236k2m2(1

11、k2) (3k2 1)2212(m2 1)3k2 112(k2 1)(3k2 1 m2) 3(k2 1)(9k2 1)(3k2 1)2(3k2 1)212k29k4 6k2 112(k9k2k2 60)3 2 132 6 4当且仅当 9k2 k12 ，即 k时等号成立。当 k 0时， AB 3 ，综上所述 AB max 2。 当 AB 最大时， AOB面积取最大值 S 12 AB max 23 23 问题六：范围问题（本质是函数问题）2例 6、设 F1、 F2分别是椭圆 x42 y2 1的左、右焦点4）若 P是该椭圆上的一个动点，求 PF1 PF2 的最大值和最小值；（）设过定点 M （0,2

12、）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B ， 且 AOB为锐角（其中 O为坐标原点），求直线 l的斜率 k的 取值范围。解：（）易知 a 2,b 1,c 3所以 F1 3,0 ,F2 3,0 ，设 P x, y ，uuur uuuurPF1 PF23 x, y , 3x, yx2 y2 3 x2 1 x4 3 14 3x2 8因为 x 2,2 ，故当 x 0，即点 P为椭圆短轴端点时， uPuFur1 uPuFuur2 有最小值 2当 x 2 ，即点 P 为椭圆长轴端点时，uuur uuuurPF1 PF2 有最大值 1）显然直线 x 0 不满足题设条件，可设直线l: y kx 2,A x1

13、,y2 ,B x2,y2 ，联立y2 x4kx2y221，消去 y，整理得：y，k2 142x2 4kx 3 0x1 x2k24k1,x1 x24k24k4k4k23 0 得： k23或k23 又00A0B 900cosA0B 0uuur uuurOA OB 0uuur uuur OA OBx1x2y1y2y1y2kx1 22kx2 2 k x1x2 2k x1x23k2148k2k2 14k2 1k2 14321k42k2 11 0，即 k2 k2 14k2故由、得 2 k 23 或 23实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角）题型七、 存在性问题：（存在点，存在直线 y=kx+m，存在

14、，四边形矩形、菱形、正方形） ，圆）例 7、设椭圆 E:22x22 y22 122 aba,b0）过 M（2， 2 ） ，N（ 6 ,1）两点， O 为坐标原点，（ I）求椭圆 E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OuuAur OuuBur 该圆的方程，并求| AB | 的取值范围，若不存在说明理 解 :（1）因为椭圆 E2x2a2by22 1？若存在，写出由。a,b0)过 M (2， 2），N( 6 ,1)两点 ,42 22 1a62 b12 1解得 a62 b12 1 ab12a1b2（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该

15、圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OuuAur OuuBur ,设该圆的切线所以118所以142 a b2228 椭圆 E 的方程为 x82 y424 8 4方程为 y kx m 解方程组y kx mx2 y2得 x2 2(kx m)2 88 4 1,即2 2 2(1 2k2 )x2 4kmx 2m2 8 0, 则 =16k2m2 4(1 2k2)(2m2 8)4kmx1 x2 21 21 2k2 ,2m2 8 ,1 2k2228(8k2 m2 4) 0,即228k2 m2 4 0x1x210,即2m2 8 m2 8k2 01 2k2 1 2k20所以 3m2 8k2 8 0,所以 k22 3m 8 080uuur uuur要使 OA OB, 需使 x1x2 y1y2 0的半径为 r222 mm 8r 2 2 ,r1 k23m2 8 318所求的圆为38 ,此时圆的切线3kx m都满足 m 236 或又 8k2 m2 4 0,所以 3mm22 28,即m 236 或m 236因为直线 y kx m为圆心在原点的圆的一条切线 ,所以圆m2263,263而当切线的斜率不存在时切线为236 与椭圆 x82 y的两个交点为(236, 236)或( 236 , 236)满足 OuuAuruuurOB,y2 38 ，使得该圆的任意一 条切线与椭圆 E 恒