电大微积分初步形成性考核册作业答案小抄参考资料精编版

1、微积分初步形成性考核作业(一)解答函数，极限和连续、填空题(每小题 2 分，共 20分)1函数 f (x)1 的定义域是 ln( x 2)解： ln(x 2) 0， xx 2 0 x3 所以函数 f ( x)2函数 f (x)1 的定义域是5x解： 5 x 0 ， x 5所以函数f ( x)1 的定义域是 ( ,5)5x3函数 f (x)1ln( x 2)的定义域是解：( x 2) 0 x 2 0 ， 4 x1 2 0x1x2所以函数 f (x)14 x 的定义域是 ( 2, 1) ( 1,22x2ln( x 2)24函数 f (x 1) xln( x 2) 2x 7 ，则 f ( x) 解：

2、 f ( x 1) x 2 2x 722x 2 2x 1 6 ( x 1) 2 6所以 f (x) x 2 65函数 f (x)，则 f (0) 解： f (0) 02 2 2 026函数 f(x 1) x2 2x，则 f (x)解： f ( x 1) x2 2x x2 2x 1 1 (x 1)2 1， f (x) x2 1x 2 2 x 37函数 y的间断点是x1解：因为当 x 1 0 ，x 2 2x 3即 x 1 时函数无意义所以函数 y 的间断点是 xx118 lim x sin解：xx1sin 1x lim x sin lim 1 x x x 19若lim sin 4x 2，则 k x

3、 0 sin kx所以 k 2所以 k 321设函数xx ee，则该函数是( )A 奇函数B偶函数C非奇非偶函数D既奇又偶函数解：因为 y( x)e ( x)2y所以函数 yxx ee是偶函数。故应选 B2sin4x解： 因为 lim sin4x 4lim 4x 4 2 x 0 sinkx k 4 0 x 4， ，所以应选 Dx 5 0x 5 0 sinkx k kx 10若 lim sin3x 2 ，则 k x 0 kxsim3x 3 sim3x 3 解：因为 lim lim 2 x 0 kx k x 0 3x k 二、单项选择题(每小题 2分，共 24 分)22设函数 y x2 sinx

4、，则该函数是()A 奇函数B 偶函数C非奇非偶函数D既奇又偶函数解：因为 y( x) ( x)2 sin( x)x2 sinx所以函数2x2 sinx 是奇函数。故应选 A2x 2 x3函数 f (x) x2 22 的图形是关于( )对称A y x B轴C轴 D坐标原点2解：因为 f ( x) ( x)x 2 ( x)x2x 2xf(x)所以函数 f (x) xxx2x 2 x是奇函数从而函数 f (x) xxx2x 2 x2 的图形是关于坐标原点对称的因此应选 D4下列函数中为奇函数是()22A xsinx B ln xC ln(x1 x )D x x解：应选 C15函数 yln(x 5)

5、的定义域为( )x4解：A x5 B x4C x5 且 x 0D x5 且 x 46函数f (x)1ln(x 1)的定义域是()A(1, )B (0,1) (1, )C(0,2) (2, )D(1,2) (2, )ln(x 1) 0 x 2 1解： ， ，函数 f (x) 的定义域是 (1,2) (2, ) ，故应选 x 1 0 x 1 ln(x 1)27设 f(x 1) x2 1 ，则 f (x) ( )Ax(x 1) BCx(x 2)D(x 2)(x 1)解： f(x 1) x2 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) 2 f(x) x(x 2) ，故应选 C 8下列各函数对中，

6、()中的两个函数相等22A f(x) ( x) ， g(x) x B f(x) x ， g(x) x23Cf (x) lnx2， g(x) 2ln xD f(x) ln x3，g(x) 3ln x解：两个函数相等必须满足定义域相同函数表达式相同，所以应选）.9当 x 0 时，下列变量中为无穷小量的是（1A Bxsinx Cln(1 x) D x2xx解：因为lim ln(1 x) 0 ，所以当 x 0时， x0ln（1 x） 为无穷小量，所以应选 C10当 k （ ）时，函数 f （x）x21,k,x 0，在 x 0处连续 . 0A0B1CD解：因为 lim f (x) lim(x2x 0 x

7、 01) 1，f (0) k若函数f (x)x2 1,k,x0，在 x 0处连续，则 f(0) lim f (x) ，因此 k 1。 x 0 x 0x0故应选 B11当 k）时，函数f (x)ex 2,k,x0在 x 0 处连续 .x0A0B1CD解： k f (0) lim f (x) lim (ex 2) 3 ，所以应选 Dx 0 x 0x312函数 f(x)2 的间断点是( )x2 3x 2A x 1,x 2 B x 3 C x 1,x 2,x 3 D 无间断点解：当 x 1,x 2时分母为零，因此 x 1,x 2 是间断点，故应选 A三、解答题（每小题 7 分，共 56分）计算极限 l

8、xim2x2 3x 2解：x2 3x 2 lim 2 x 2 x2 4(x 1)(x 2)(x 2)(x 2)x1x22计算极限lim x2 25x 6x 1 x2 1解：2x lim x15x 6x2 1lim (x 1)(x 6)x 1 ( x 1)( x 1)limx1x6x13解：lim 2x2 9x 3 x 2 2x 3lim (x 3)(x 3) x 3 ( x 1)(x 3)x3limx 3 x 1422x2 6 x 84计算极限 lim 2x 4 x 2 5 x 4解： lxim4 x2x 2 6x 8lim (x 2)( x 4) 5x 4 x 4 ( x 1)( x 4)l

9、im x 2x 4 x 15计算极限x 2 6x 8lim 2x 2 x 2 5x 6lim x 4x 2 x 32x解： lim 2x 2 x 2 5x 6lim (x 2)(x 4) x 2 (x 2)( x 3)解： lim 1 x 1 x0( 1 x 1)( 1 x 1) lim x0x( 1 x 1)limx 0 x( 1 x 1)limx 0 1 x 1 21x17计算极限 limx 0 sin 4 x解： lim 1 x 1x 0 sin 4 xlim ( 1 x 1)( 1 x 1) x0sin 4x( 1 x 1)11lim4 6计算极限 lim 1 x 1x0 0 sin

10、4 x( 1 x 1)4xsin 4 xx42sin 4x( x 4 2)8计算极限 lxim0 sin 4x解： lim sin4x limx 0 x 4 2 x 0 ( x 4 2)( x 4 2)sin4x( x 4 2) limx 0 xsim4x4 lim sim4x ( x 4 2) 16 x 0 4x微积分初步形成性考核作业(二)解答(除选择题)导数、微分及应用一、填空题(每小题 2 分，共 20分) 1曲线 f (x)x 1在 (1,2) 点的斜率是解：11 f (x) 2 x ，斜率 k f (1) 22曲线 f (x) ex在 (0,1)点的切线方程是 解： f (x) e

11、x ，斜率 k f (0) e0 1x1所以曲线 f(x) ex 在 (0,1)点的切线方程是：13曲线 y x 2 在点 (1, 1)处的切线方程是13解： y21x 2，斜率 k yx 11x 2x 12x11所以曲线 y x 2 在点 (1,1) 处的切线方程是：y1112(x 1)，即： x 2y 3 04(2 x) 解： (2 x) 2 x 1 ln2 2 ln 22 x 2 x5若 y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则(0) = 解： y (0) ( 1)( 2)( 3) 66已知 f(x) x3 3x，则 f (3)=解： f (x) 3x2 3x ln3， f (3)

12、 27 27ln3117已知 f (x) ln x ，则 f (x) =解： f (x) ， f (x) 2xx8若 f (x) xe x ，则 f (0) 解： f (x) e x xe x， f (x) e x (e x xe x) 2e x xe x， f (0) 9函数 y 3(x 1)2 的单调增加区间是2解： y 6(x 1) 0，x 1，所以函数 y 3(x 1)2 的单调增加区间是 1, ) 10函数 f(x) ax2 1在区间 (0, )内单调增加，则 a应满足解： f (x) 2ax 0 ，而 x 0，所以 a 0、单项选择题(每小题 2分，共 24 分)21函数 y (x

13、 1)2 在区间 ( 2,2)是( D )A 单调增加B单调减少 C先增后减D先减后增2满足方程f (x) 0 的点一定是函数y f (x) 的( C )A极值点B最值点C驻点D间断点3若 f(x)e x cosx ，则f (0)=(C )A. 2B. 1C.- 1 D.- 24设 y lg2 x ，则 dy ( B )5设 y f ( x)是可微函数，则 df (cos2x) ( D )A2f (cos2x)dxB f (cos 2 x) sin 2 xd2 x C2f (cos2x)sin 2xdx D f (cos2x)sin2xd2x2x6曲线 y e2x 1在 x 2 处切线的斜率是

14、( C )4A BC 2e4D 7若 f (x) xcosx ，则 f (x) ( C )Acosx x sin x B cosx xsinxC 2sinx xcosxD 2sinx xcosx8若 f(x) sinx a 3 ，其中是常数，则 f (x) ( C )2A cosx 3a B sinx 6aC sin xD cosx 9下列结论中( B )不正确A f (x)在 x x0处连续，则一定在处可微 .B f (x) 在 x x0 处不连续，则一定在处不可导 .C可导函数的极值点一定发生在其驻点上 .D若 f (x)在a，b内恒有 f (x) 0，则在 a， b内函数是单调下降的 .

15、10若函数 f (x)在点 x0 处可导，则 ( B )是错误的A函数 f (x)在点 x0处有定义Blim f (x) A，但 A f(x0)C函数 f (x)在点 x0处连续D函数 f (x)在点 x0处可微11下列函数在指定区间 ( , ) 上单调增加的是( B )x2AsinxBe CxD3 -x12. 下列结论正确的有( A )Ax0是 f (x)的极值点，且 (x0)存在，则必有 (x0) = 0Bx0是 f (x)的极值点，则 x0必是 f (x)的驻点C若(x0) = 0，则 x0必是 f (x)的极值点 D使 f ( x)不存在的点 x0，一定是 f (x)的极值点 三、解答

16、题(每小题 7 分，共 56分)1 设 y x2ex ，求1 1 1 1 1解：y 2xex x2ex( 2 ) 2xex ex (2x 1)ex x22设 y sin4x cos3 x ，求.解： y 4cos4x 3cos2 xsinx3设 y e x 1 1 ，求 . x解：4设 y x x lncosx，求 .3 sin x 3解： y x x tanx2cosx 2225设 y y(x) 是由方程 x2 y2 xy 4 确定的隐函数，求解：两边微分： 2xdx 2ydy (ydx xdy) 02ydy xdy ydx 2xdxdy y 2x dx2y x226设 y y(x) 是由方

17、程 x2 y2 2xy 1确定的隐函数，求 . 解：两边对 x2 y2 2xy 1求导，得： 2x 2yy 2(y xy ) 0x yy y xy 0 ， (x y)y (x y) ， y 1 dy y dx dx7设 y y(x) 是由方程 ex xey x2 4 确定的隐函数，求 . 解：两边微分，得： exdx eydx xeydy 2xdx 0y x yexey2xxeydy(exey2x) dx， dyee y2x dxxe8设 cos(x y) ey 1，求解：两边对 cos(x y) ey 1 求导，得：(1 y ) sin( x y) yey 0sin(x y) y sin(x

18、 y) yey 0ey sin(x y)y sin(x y)sin(x y)ey sin(x y)dy y dx eysins(ixn(xy)y)dx微积分初步形成性考核作业(三)解答(填空题除外)不定积分，极值应用问题一、填空题(每小题 2 分，共 20分)221若 f (x)的一个原函数为 ln x2，则 f(x) xln x2 2x c。2x 2x2若 f (x)的一个原函数为 x e 2x，则 f (x) 4e2x。3若 f (x)dx xex c，则 f (x) 1 x ex4若 f (x)dx sin2x c，则 f (x) 2cos 2x 15若 f (x)dx xln x c

19、，则 f (x) x6若 f (x)dx cos2x c，则 f (x) 4cos 2x x2x27 d e x dx e x dx 8 (sin x) dx sin x c19若 f(x)dx F(x) c，则 f (2x 3)dx F 2x 3 c2 1 210若 f ( x)dx F(x) c，则 xf (1 x2)dxF 1 x2 c二、单项选择题(每小题 2分，共 16 分)1下列等式成立的是()A d f (x)dx f(x)B f (x)dx f(x)Cd f(x)dx f (x)D df(x) f(x) dx解：应选 AA. x x c33B.x2 x cC.x2 3 x2 c

20、22若 f (x)dx x2e2x c，则 f (x) ( ).解：两边同时求导，得：f (x) 2xe2x 2x2e2x 2xe2x (1 x) ，所以应选 AA. 2xe2x (1 x)2 2x 2xB.2x e C.2xeD. xe2x3若 f (x) x x(x 0) ，则 f (x)dx ( )4以下计算正确的是（A3xdxd3x Bln3dx 2 d(1 x2)C dx d xDln xdx d( 1 )解：应选 A1 x x x5 xf (x)dx ( )12A. xf (x) f (x) c B. xf (x) c C. x f (x) c D. (x 1)f (x) c2解：

21、xf (x)dx xdf (x) xf (x) f (x)dx xf (x) f (x) c，所以应选 A6 d a 2xdx=()7如果等式f (x)e xdxe x C ，则 f (x) (1111A.B. 2C.D. 2xxxx11）解：两边求导，得：f(x)e x e x 12 ，所以 f(x)x212 ，故应选x三、计算题（每小题7 分，共 35 分）13 x3xsinxxdx解：3 x3 xsin x dx 3 1dx xdx sin xdxxx3223ln x x3cosx cAa 2xB 2a 2x ln adxC a 2xdxDa 2xdx c解：应选 C2 (2x 1)10

22、dx解： (2x 1)10dx 1 (2x 1)10d(2x 1) 1 1 (2x 1)10 1 c 2 2 10 11 11 (2x 1)11 c221 sin 32xdxx2sin 1d(1) cos1 x x x1 sin 解：2xdxx24 x sin 2xdx解：x sin 2xdx1 xdcos2x21(xcos2x cos2xdx)211xcos2x sin2x c245 xe xdx解： xe x dxxde( xe x e x dx)xxxe e c四、极值应用题（每小题1 设矩形的周长为 圆柱体的体积最大。解：设矩形的一边长为厘米，则另一边长为 60 x 厘米，以 60 x

23、 厘米的边为轴旋转一周得一圆柱体，则体积为：12 分，共 24 分）120 厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使2 2 3V x2 (60 x)，即： V 60 x2x32解：五、dV 120 x 3 x2 ，令 dV 0 ，得：dx dxx 0（不合题意，舍去） ， x 40 ，这时 60 x 20 由于根据实际问题，有最大体积，故当矩形的一边长为厘米、另一边长为厘米时，才能使圆柱体的体积最 大。欲用围墙围成面积为 216 平方米的一成矩形的土地， 并在正中用一堵墙将其隔成两块， 问这块土地的长 和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？216 设矩形的长

24、为米，则矩形的宽为 216 米，从而所用建筑材料为：x216 648L 2x 3 ，即： L 2 x xx dL 2 6428 ，令 dL 0得： x 18（取正值），这时 dxx 2dx由于根据实际问题，确实有最小值，故当矩形的长为米， 证明题（本题 5 分）216 12x宽为米时，才能使所用建筑材料最省函数 f （x） x ex在（ ,0） 是单调增加的证明：因为 f （x） 1 ex，当（,0） 时， f （x） 1所以函数 f （x） x ex 在（,0） 是单调增加的微积分初步形成性考核作业（四）解答（选择题除外）定积分及应用、微分方程1填空题（每小题 2 分，共 20分）12（si

25、n x cos2x x2 ）dx 解：1 2 1 1 2 1 2 (sin xcos 2x x 2)dxsin x cos 2 xdxx2dx2 x 2dx1 1 1 0252 ( x 4 x cosx)dx2解：2 (x5 4x cosx)dx 2 (x5 4x)dx 2 cosxdx 2 02 cos xdx 2 sin x02 23已知曲线 y f （ x）在任意点处切线的斜率为，且曲线过（4,5） ，则该曲线的方程是。33解：由 xdx 23 x2 c得所求的曲线方程由 y 32 x2 c确定因为曲线过 (4,5) ，所以 5 2 42 c ，解得：3322因此所求的曲线方程为 yx

26、23131 3 1 1(5x3 3x)dx 2dx 4 dx 44若 (5x3 3x 2)dx 13 解： (5x3 3x 2)dx5由定积分的几何意义知，a 2 2 a x dx= 。解：由定积分的几何意义知，a2 x2dx就等于圆 x2 y2a2 在第象限的面积，即6解：7解：圆 x2 y2 a2 面积的d e 2 ln(x 2 1)dx .dx 1d e 2 ln(x2 1)dx 0dx 10 2xe dx = e2 xdx lim be2xdx1，4因此 0a a2 x2dx 14 a21l2b01 lim e2xd(2x) lim e b b 22x1 lim (1 e2b ) 12

27、 b 28微分方程 y y,y(0) 1的特解为 .yxc解：由 y y 得 dy y ， dy dx ，两边同时积分，得 ln dx y因为 y(0) 1，所以 ln1 0 c，所以 c 0从而 ln y x ，因此微分方程 y y,y(0) 1 的特解为 y ex9微分方程 y 3y 0 的通解为 .解： y 3y 0， dy 3y 0， dy 3dx 0，ln y 3x c1 dx yc1 3xc13xln y c1 3x， y e 1 ，即 y e 1 e3x所以微分方程 y 3y 0 的通解为 y ce 3x10微分方程 (y )3 4xy(4) y7 sin x的阶数为解：微分方程

28、 (y )3 4xy( 4) y7 sin x的阶数为阶二、单项选择题(每小题 2分，共 20 分)1在切线斜率为 2x的积分曲线族中，通过点( 1, 4)的曲线为( A)2Ay = x + 3By =2x + 4C 2 yx2若1(2x k)dx= 2，则 k = (A )1A1B-1C 0D 23下列定积分中积分值为0 的是（ A）xx1 e exx1 e eA1 2 dxB1222D y x 1dx C (x3 cosx)dx D (x2 sin x)dx564设AAA89f （x） 是连续的奇函数，则定积分af (x)dx ( D ) -a02 f (x)dx B -a0f(x)dxC

29、-aaf (x)dxD02 sin xdx ( D)A 0B CD2列无穷积分收敛的是（B ）x x 10 exdxB 0 e xdxC 1 dxD 1dx7下列无穷积分收敛的是（B ）0 sinxdxB 0 e2xdxC 1 1 dx D1x1dx1x列微分方程中， （2A yx2 lny y Byy微分方程 y 0 的通解为（A y CxB y）是线性微分方程xy2 eCyy xy e D xy sinx y e ylnxC ）xCCyCDy010下列微分方程中为可分离变量方程的是（A. dy x y ；B. dy xy y ； dx dxC.B dy dxxy sin x ；D.dydxx(y x)三、计算题（每小题 7 分，共 56分）1ln2 x x 2ex(1 ex)2 dx解：ln2ln2ex (1 ex)