水中物体的视深度

1、水中物体的视深度在空气中观察放在水中的物体， 物体的视深比实深浅， 这是一个折射成像问 题，在一般教科书中给出了定性的解释，而未作定量分析，文献1 用分区域的方法讨论了虚像的直移和侧移的定量计算问题， 但所给直移和侧移的计算公式涉 及区域对应的两个入射角和两个折射角， 公式似乎过于复杂。 本文利用折射定律 的微分形式，导出了水面下实深为 h 的物体通过水面折射所成虚像点的位置坐标 是折射角（或入射角）的单值函数。1平面折射成像平面折射成像问题比较复杂， 我们知道， 水下点光源向不同方向发出的光线 经过水面折射， 其折射光线的反向方向延长线并不相交于一点， 即单心光束经折 射后将变成像散光束，

2、可见平面折射一般是不能理想成像的。 那么， 为什么我们 在水面上能观察到物体的比较清楚的像呢？这是因为人眼的瞳孔很小 （直径约为 3mm），只能有很小一部分折射光线进入眼睛，这些光线的反向延长线近似地相 交于一点，这是眼睛看到的物点的近似像。可见，当观察装置（包括人眼）的口 径足够小时，平面折射也能近似成像。如图 1 所示，当眼处于 E1 位置时，我们 观察到虚像位于 S1 ，当眼睛处于 E2位置时，虚像们于 S2 ，随着眼睛由垂直位置 向旁侧移动，虚像位置逐渐移近水面。2虚像位置的坐标表达式设物体 S的实深为 h，水的折射率为 n，空气的折射率 n0 1，SM1和 SM2为 S点发出的元光束

3、在其子午面 xoy上的两条边缘光线， 它们折射后成为光线 P1M1 和 P2M2 ，延长线的交点在 S1处，如图 2所示。由折射定律得(1)(2)nsini sin 将折射定律的数学表达 式 (1)微分,则有 n cosidi cos d由 SM1M 2和 S1M1M 2得SM1di M1M2 cosi(3)S1M1d M1M2 cos 由(3) (4) 式得(4)SM1 cos di S1M 2 cosid 由(2)(5) 式得22 SM1 cos2nS1M 2cos2 i又由 SOM1和 S1D1M1知hy cosi cosSM1S1M1(5)(6)即 SM1hS1M1 ySM1cos将

4、SM1 S1M 1 (6) 式得 hcos3y3ncos i(7)因为 cosi (1 sin2 i)1/2 (12sin)1/ 22)n2 2 1/ 2 (n2 sin2 )n3所以 y2hcos32 3/2所以 yn(n2 sin2 )3/2n3n23n2 hcos2 2 3/ 2 (n sin )(8)即 SM1 SM1S1M1cos将 SM1 S1M 1 (6) 式得hcos3yncos3 i(7)因为 cosi (1 sin2 i)1/2 (12sin)1/ 22 2 1/ 2(n2 sin2 )hcos3所以 yn(n2 sin2 )3/2n2 h cos32 2 3/ 2 (n

5、sin )(8)由图2知 x OM1 DM1 htani | y|tan(9)将 （7）式代入 （9）式得33 ncos i cossini hcos sin xhcosi22nh sin i cos i hsin cos3ncos i2 2 1/ 2将sinisin (n sin ), cosi 代入上式得 nh(n2 1) sin3x 2 2 3/2 (n sin )(10)8）式和9）式机为虚像位置的表达式，由此表达式可以方便地描绘出观察角由小到大时虚像点移动的轨迹。3讨论（1）在垂直方向观察水下物体时虚像的深度。人在物体 S 正上方垂直向下看时，由物点 S 发出进入瞳孔的光线的入射角 i 0 ，由折射定律知折射角 a=0。由（8）式和（ 10）式得虚像位置的坐标为x0hyn即此时物体的视深 | y| hn （2）入射角等于临界角时，物体的视深度。1 当物体 S 发出的光线的入射角 i 等于临界角 ic（ic arcsin 1 ） 时，折射角 na 900 。此时虚像点 S1的位置坐标由（ 8）式和（ 10）式求得1x h(n2 1) 2设水的折射率 n 4 ,则 x 3 7 h