2019年全国I卷理科数学高考真题(2)

1、2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：i 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。1 .已知集合 M x 4 x 2, N xx2 x 6 0，则 M”N =A. x 4 x 3 B. x 4 x 2 C. x 2 x 2 D. x

2、2 x 32.设复数z满足z i =1, z在复平面内对应的点为(x, y),则2 2A . (x+1) y 1B .(x1)2y212 2C . x (y 1)1 D .2 2x (y+1)13.已知 a log 2 0.2, b20.2,c 0.20.3，则A . a b cB .ac bC . cabD .b c a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5 1(5 1 7618,22称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 壬.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm,头顶

3、至脖子下端的长2度为26 cm,则其身高可能是A.165 cmB.175 cmC.185 cmD . 190 cm1151611B.32C.32D.11167.已知非零向量a, b满足 |a| 2|b|，且(a b)b，贝U a与b的夹角为8.如图是求的程序框图，图中空白框中应填入A. A=A=2 A1 2AD . A=12AA .rv-7T0卄6个爻组成，爻分为3个阳爻5 .函数f(x)= sinxX2在,的图像大致为 cosx x6 .我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一 “重卦”由从下到上排列的阳爻“一一”和阴爻“一 一”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有的

4、概率是9.记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4 0, a5 5，则A. an 2n 5B. an 3n 102C . Sn 2n 8nD.Sn 切2 2n10已知椭圆 C的焦点为R( 1,0) , F2(1,0)，过F2的直线与 C交于A, B两点若IAF2I 2IF2BI,|AB| | BF1 |,贝U C的方程为2x A .2y2 12xB .32xC.4D.x211.关于函数f(x) sin|x| |sin x|有下述四个结论:f(x)是偶函数f(x)在区间(一)单调递增f(x)在,有4个零点f(x)的最大值为其中所有正确结论的编号是A .B .C .D.12 .已知三棱锥 P-AB

5、C的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC， ABC是边长为2的正三角形，E, F分别是PA, AB的中点，/ CEF=90，则球O的体积为A.8.6C. 26二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。213.曲线 y 3(xxx)e在点(0,0)处的切线方程为14.记Sn为等比数列1 an的前n项和.若a13a6 ,则 S5=15甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为 0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4： 1获胜的概率是2 216

6、.已知双曲线 C: 二芯 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1, F2,过F1的直线与C的两条渐近线a b分别交于A, B两点.若K AB, FB FB0，贝y C的离心率为1721题为必考题，每个试题考生三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共 60分。DiCi(2)若AP3PB，求 AB|.17.(12 分)2 2 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b,c,设(sinBsinC)sin Asin BsinC .(1)求 A;(2)若 2a b 2c ,求 sinC.18.

7、(12 分)如图，直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4 , AB=2, / BAD =60 , E, M , N分别是BC,BB1, A1D的中点.(1)证明：MN /平面 C1DE;(2)求二面角A-MA 1-N的正弦值.19.(12 分)3已知抛物线C: y2=3x的焦点为F，斜率为一的直线I与C的交点为A, B，与x轴的交点为P.2(1)若 |AF|+|BF|=4,求 l 的方程;20.( 12 分)已知函数f (x) sinx ln(1 x), f (x)为f (x)的导数.证明:(1)f (x)在区间(1-)存在唯一极大值点；2(2)f (x)有且仅有2个零点

8、.21 .( 12 分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案 如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以 乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠 多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验,2(1)(2) (a b)3 (b c)3 (c a)324 .在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为以坐标原点 O为极点，x轴的若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 1分；若施以乙药的白鼠

9、治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分甲、乙两种药的治愈率分别记为a和轮试验中甲药的得分记为 X (1)求X的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，口0 0,1,川,8)表示甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效 的概率，贝U p0 0 , p8 1 , pi api 1 bp cpi 1 (i 1,2,|,7)，其中a P(X 1) , b P(X 0) , c P(X 1) 假设 0.5,0.8 (i)证明： Pi 1 Pi (i 0,1,2j|,7)为等比数列；(ii)求P4，并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.(

10、二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修4 4:坐标系与参数方程(10分)1 t22，1 t(t为参数)4t1 t2正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为2 cossin 11 0 .(1)求C和I的直角坐标方程；(2)求C上的点到I距离的最小值.23.选修4 5 :不等式选讲(10分)已知a, b, c为正数，且满足 abc=1 .证明:C12. D4. B 5. D 6.2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学？参考答案A 7. B 8. A 9. A 10. B 11.二、填空题三、解答题、选择题13. y=3x

11、12114.315. 0.1816. 2.2 -17.解：（1）由已知得sin Bsin2C2sin A sinBsinC，故由正弦定理得b2be.b2由余弦定理得cos A 2 2c a2bc因为0A 180 ,所以60 .(2)由(1)知 B120，由题设及正弦定理得.2sinA sin 1202sin C即空23 cosC21 .sin22sin C，可得 cos C 60由于0C 120 ,所以 sin60-，故2sin Csin C 6060sin C 60 cos60 cos60 sin 60C12. D18解：(1)连结 BQ, ME .因为M, E分别为BB1, BC的中点,1

12、所以 ME / B1C,且 ME = B1C.21又因为N为A1D的中点，所以ND=A1D .20.0,由题设知AiBi DC,可得BiC AiD，故ME “ ND , 因此四边形MNDE为平行四边形， MN / ED.又MN 平面EDCi，所以MN /平面CiDE.(2)由已知可得DE丄DA.!以D为坐标原点， DA的方向为X轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D- xyz，则m(x,y,z)为平面AiMA的法向量，则m“、n MN；(p,q,r)为平面AIMN的法向量，贝Un ANNAA(2,0,0) , Ai(2 , 0 , 4), M(1,、.3,2), N(1,0,2),(0,0,

13、 4),(1-3, 2)，(i,0, 2)，MN (0,3,0).所以x . 3y4z 0.2z 0,可取 m (、3,1,0).所以0.232 ；5-i55 ，m n cos m, nI mil n |爲0,可取n p 2r 0.(2,0,1).4，。所以二面角A MA1N的正弦值为-2 .519 .解：设直线I :t, A Xi, yi , B X2, y2 .(1)由题设得，故|AF| |BF|XiX2-，由题设可得Xi2X23 x23xt,可得9x212(t 1)x 4t2则 x1 x212(t 1)93x2AP 3PB可得所以I的方程为y(2)由3x23xyi3y2.所以yiy2t2

14、，可得y2 2y2 .从而 3y2代入C的方程得xi3，X2 12ty21, yi3.故 | AB|20解:(i)设 g(x)f(x)，则 g(x)cosx -11，g(x) Xsin x12(1 x)12时g(x)单调递减，而g(o)0, g() 0,可得g(x)在 1,有唯一零点,2 2设为则当 X ( 1,)时，g(x)0 ；当 x时，g(x) 0.4，。f20 所以存在,2 使得 f()0,且当 x (0,)时，f(x)0 ；当 x,单调递减.2所以g(x)在(1,)单调递增，在，单调递减，故g(x)在1-存在唯一极大值点，2 2即f (x)在1,存在唯一极大值点.2(2) f(x)的

15、定义域为(1,).(i) 当x ( 1,0时，由(1)知，f(x)在(1,0)单调递增，而f(0)0,所以当x ( 1,0)时，f(x)0,故f(x)在(1,0)单调递减，又f(0)=0，从而x 0是f(x)在(1,0的唯一零点.(ii)当x 0,时，由(1)知，f(x)在(0,)单调递增，在，单调递减，而f(0)=02 2 ，时，f(x)0 .故 f(x)在(0,)单调递增，在又f(0)=0，f 1 ln 1 20，所以当 x % 时，f(x) 0.从而，f(x)在 0,2没有零点.(iii )当 x ,时，f(x) 0，所以 f(x)在，单调递减.而 f -0，f( ) 0，2 2 2所以

16、f(x)在，有唯一零点.2(iv)当x (,)时，ln(x 1) 1，所以f (x) 0，从而f (x)在(，)没有零点.综上，f(x)有且仅有2个零点.21 解：X的所有可能取值为1,0,1.P(X 1) (1)，P(X 0)(1)(1)，P(X 1)(1)，所以X的分布列为(2)因此pi 1(i)由(1)得 a 0.4, b 0.5,pi =0.4 pj 1 +0.5 Pi+0.1 p ，故 0.1Pi 4 Pi Pi又因为PiP0P1(ii)P8由于P4所以Pi由（i）可得P8P7P8=1，故P4 P3P7P6III P1P134-，所以1P3P2P2妙+ （1-勿（1一0） 呗历Pi 11 Pi (iPoPoP1P1Pi0.4 p p 1，即0,1,2,为公比为4,首项为P1的等比数列.P8P7P7P6IIIP1 Po481丁 P1 .P4表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为常小，说明这种试验方案合理.解：（1）因为 111，且1 t21257在甲药治愈率为0.5,乙药治0.0039，此时得出错误结论的概率非1 t21 t24t21 t2 21，所以C的直角坐标方程为2x2 y 1(x1).4l的直角坐标方程为2x . 3y 110.x cos（2）由（1）可设C的参数方程为y 2sin为参数,n).12cos