数列通项公式的求法13种和求和的七种方法

1、a +d +bq =4d =1nnn -1最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用 方法。一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999， （2）11 , 214 9 16 , 3 , 4 , k5 10 17（3）1,23,12,2 1 2 ,k （4） , - ,5 2 33 4, - , k4 5解：（1）变形为：1011，1021，1031，1

2、041， 通项公式为：a =10nn-1（2）a =n +nnn22+1;（3）a =n2n +1;（4）a =( -1) nn +1nn +1.点评：关键是找出各项与项数 n 的关系例 10：设数列求通项公式 cnc n的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若 c =2，c =4，c =7，c =12，1 2 3 4解：设c =a +( n -1) d +bq nn -1a +b =2 q =2 = c =n +2 a +2 d +bq 2 =7 b =1n -1a +3d +bq3=12a =1例 11. 已知数列cn中，c =1b b ， c =b c +1 +b 1 +b，nn

3、 -1n1nnn其中 b 是与 n 无关的常数，且b 1。求出用 n 和 b 表示的 a 的关系式。n解析：递推公式一定可表示为c -l=b(c nn -1-l)的形式。由待定系数法知：l=bl+b1 +bb 1, l=b b b , c - =b ( c - )1 -b 2 1 -b 2 1 -b 2故 数 列c -b1 -b2是 首 项 为b b2c - = 1-b2 b2 -1， 公 比 为b的 等 比 数 列 ， 故b b 2 b n +1 c - = b n -1 =1 -b 2 b 2 -1 b 2 -1 c =nb n +1 -b b 2 -1点评：用待定系数法解题时，常先假定通

4、项公式或前 n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列a n为等差数列：则a =bn +c n，s =bn 2 +cn n（ b、为常数），若数列a n为等比数列，则a = aqnn -1，s = aqnn-a ( aq 0, q 1)。二、公式法利用等差数列或等比数列的定义求通项 若 已 知 数 列 的 前 项 和sn与an的 关 系 ， 求 数 列an的 通 项an可 用 公 式a =s n=1 1s -s n2 n n -1求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例 1： 已知数列a 是公差为 d 的等差数列，数列b 是公比为 q 的(qr 且 q1)的等比数列，n n若函数 f (x)

5、= (x1)2，且 a = f (d1)，a = f (d+1)，b = f (q+1)，b = f (q1)，(1)求数1 3 1 3列 a 和 b 的通项公式；n n2n33 332解：(1)a =f (d1) = (d2)2，a = f (d+1)= d 2，a a =d2(d2)2=2d，1 3 3 1d=2，a =a +(n1)d = 2(n1)；又 b = f (q+1)= q2，b =f (q1)=(q2)2， n 1 1 3b ( q -2)3 = =q2，由 qr，且 q1，得 q=2，b =bqn1 b q 21=4(2)n1例 2.等差数列an是递减数列，且a a a 2

6、 34=48 ，a +a +a 2 34=12 ，则数列的通项公式是（ ）(a)a =2 n -12 n(b)a =2 n +4 n(c)a =-2n+12 (d) a =-2n+10 n n(a +d ) a (a +d ) =48解析：设等差数列的公差位 d，由已知 3a =123，a =4 解得 ，又d =2a是递减数列， nd =-2，a =81，a =8 +( n -1)( -2) =-2n +10 n，故选(d)。例 3.已知等比数列an的首项a =1 ，公比0 q 1 ，设数列b 1n的通项为b =ann +1+an +2，求数列b的通项公式。 n解析：由题意，bn +1=an

7、+2+an +3，又an是等比数列，公比为qb a +a n +1 = n+2 n +3 b a +an n+1 n+2=q， 故 数 列bn是 等 比 数 列 ，b =a +a =a q +a q 1 2 3 1 12=q(q +1)， b =q(q +1) qn-1 =q n (q +1)n点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项 及公差公比。例 4: 已知无穷数列an的前n项和为sn，并且a +s =1(n n * ) n n，求an的通项公式？【解析】：s =1 -a nn， an +1=sn +1-s =a -an nn +1， an +1

8、=12an，又a =112， a =n1 n.n*nnn -1*n -1n -1nnnnqnn111*n2反思：利用相关数列an与sn的关系：a =s1 1,a =s -s n nn -1( n 2)与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.跟踪训练 1.已知数列an的前 n 项和 s ，满足关系nlg(s+1)=n ( n =1,2 ).试证数列an是等比数列.例 5：已知数列a前n项的和为 s n n32a 3，求这个数列的通项公式。 n分析：用 a 替换 s -s n nn -1(n 2)得到数列项与项的递推关系来求。解：qa =132a -3,1a =61qsn32a 3 （n n

9、） nsn -132a 3 (n 2 且 n n *) n -1 得：a n3 3a a2 2n -1123 a a a ，即 n2 an -13(n2 且 nn )数列a是以a =6，公比 q 为 3 的等比数列. n 1a a q 6 3 2 3 。 n 1例 6：已知正项数列a中，s 1 （a + 1 ），求数列2 ana的通项公式. n分析：用 s -s nn -1(n2)替换 a 得到数列nsn与sn -1的递推关系来求较易。1 1 1 1 解 s （a + ）， a = ( a + ) a =12 a 2 an 1又 a s sn nn -1(n 2 且 n n )1s （s s

10、n n -11s -snn -1）2s s sn nn -11s -snn -1s snn -11s -snn -1sn2sn -121 (n2 且 nn *)数列s2是以a n21=1 为首项，公差为 1 的等差数列。sn21（n1） 1n，即 s nn，当 n2 时，s snn -1a nnn -1将 n1 代入上式得 a n n -1n练习：数列a n前 n 项和为 s ，已知 a 5 s 3（n n nn n *）,求 an例 2已知数列an的前n项和sn满足s =2a +( -1) n , n 1 n n求数列an的通项公式.已知数列an的前n项和sn满足sn=n2+n -1，求数列

11、a的通项公式. n已 知 等 比 数 列an的 首 项a =11， 公 比0 q 0，a nn +10。在an +1=2 3n a 5n式两边取常用对数得lg an +1=5lg a +n lg3 +lg 2 n设lg an +1+x ( n +1) +y =5(lg a +xn +y )n将式代11式，得5lg a +n lg 3 +lg 2 +x ( n +1) +y =5(lg a +xn +y ) n n，两边消去 5lg a 并整理，n得(lg3 +x ) n +x +y +lg 2 =5 xn +5 y，则lg3 +x =5 x x +y +lg 2 =5 y lg3x = 4，故

12、 lg3 lg 2y = + 16 4代 11式，得lg a +n +1lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2 ( n +1) + + =5(lg a + n + + )4 16 4 4 16 42n +1nn -1n -1n -15nn由lg a +1lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2 1+ + =lg 7 + 1+ + 04 16 4 4 16 412式，得lg a +nlg3 lg3 lg 2 n + + 04 16 4，则lg3 lg3 lg 2lg a + ( n +1) + +4 16 4lg3 lg3 lg 2 lg a + n + +4 16 4=5

13、，所以数列lg a +nlg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2 n + + 是以 lg 7 + + +4 16 4 4 16 4为首项，以 5 为公比的等比数列，则lg a +nlg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2 n + + =(lg 7 + + + )54 16 4 4 16 4n -1，因此lg a =(lg 7 + nlg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 + + )5n -1 - n - -4 16 4 4 6 41 1 1=(lg 7 +lg 34 +lg 3 6 +lg 2 4 )5n -1n 1-lg 3 4 -lg 316 -lg

14、 214=lg(7 3141316214)5n -1-lg(3n41316124 )=lg(7 3141316124 )5n -1-lg(3n41316124 )=lg(75 n -135 -n435 -11625 -14)=lg(75 n -135 n -4n -1 1625n -14-1)则a =7n5n -135 n -4n -1 162n -14-1。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an +1=2 3n a 5n转化为lg an +1+lg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2 ( n +1) + + =5(lg a + n + + )4 16 4 4 16 4，

15、从而可知数列lg a +nlg3 lg3 lg 2 lg3 lg3 lg 2 n + + 是等比数列，进而求出数列lg a + n + + 4 16 4 4 16 4的通项公式，最后再求出数列a n的通项公式。，nnb、数列有形如f ( a , a , a a ) =0 n n -1 n n -1的关系，可在等式两边同乘以1a ann -1,先求出1an, 再求得 a .n例 14： 已知数列an中a =11且an +1=ana +1n（n n），求数列的通项公式。解：an +1=a 1 a +1 1n = n = +1 ， 设 b = a +1 a a an n +1 n n1an，则b =

16、b +1 n +1 n故bn是以b =11a1=1为首项， 1 为公差的等差数列 b =1 +( n -1) =n n1 1a = =b nn点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式c、an +1=f ( n ) ang ( n ) a +h ( n )n解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为a = pa +q n +1 n。 1例题 6:已知数列an中满足a1=1 ， an +1a= n3a +1n，求数列的通项 a .n分析：可将形如一阶分式递推公式an +1=canaa +bn,(a、b、c 为满足条件的常数)，等式两边取倒数得：1 b 1 a= . +a

17、c a cn +1 n,又可利用求形如a =a a +b n +1 n(a、b为常数)的方法来求数列的通项。解：数列a中， na =11，an +1a= n3a +1n1 1 1 1 = +3 ，即 - =3a a a an +1 n n +1 n1 1 数列 是以a an 1=1,公差为 3 的等差数列.1 1 =1 +( n -1) 3,即 =3n -2 a an n a =n13n -2( n n +)变式练习：知数列an中满足a =1 ， a = 1 n +12 an3a +1n，求数列的通项.例题 7：已知数列an中满足a =1 ， a 1n +1=2 a +2 n ( n n ）,求数列 a的通项公式。 n + n分析：形如递推公式an +1=q.a +d n ( q、 d 为非零常数， q 1, d 1) n可转化为a q a 1 an +1 = . n + ，若令 b = n ，则转化为形如 d n +1 d d n d n d na =a.a +b ( a、b为常数）的方法来求数列 n +1 n的通项。(提示：将an +1=2 a +2 n ( n n ）转化为 n +a a 1 n +1 - n =2n +