等面四面体的内切球与外接球讲解

1、第六讲 等面四面体的内切球与外接球引理2任意四面体都有内切球及外接球。引理3任意四面体的内切球在四个面上的切点与各面顶点连线给出切点处的周角的一 个相同划分。证明 如图38，四面体ABCD的内切球在各面上的切点分别为Oi、。2、O3、O4.图3 8由于球外一点向球引的切线长相等，可得AO2=AO 3=AO 4,BOi=BO3=BO4,.于是 OiBC O4BC , O2CD O1CD，.可设/ COiD= / C02D= ：DOiB= / D03B= 一：，/ COiB= / C04B= ，/ A0 3B= / A0 4B= X ,/ A0 2C= / A04C= y，/ A0 2D= / A

2、0 3D= z.由周角 360 ,得5 m 360x y= 360y z- 360z 360四式相加，除以2，得二；亠亠亠x y z =720式减式，得 x y 360式分别与、式联立，可解得 x = ： y二： z =引理3得证。定理5等面四面体的各顶点到内切球的切线长相等。此定理的另一种叙述方式是：等面四面体内切球在各面上的切点是该面的外接圆圆心。证明 如图38,由于 ABC DCB ,可移动并翻转 ABC ,使其与 DCB重合（A、 B、C分别与D、C、B重合）.现考察04与0i的位置关系.假设04与0i不重合，则 04在厶BOiD、 BOiC、A COiD中的某一个内部或边上。不 失一

3、般性，不妨设 O4点在 BOi内或在BOi上，则/ B04D / BOiD, / B04D即是原 ABC 中的/ CO4A。由引理 3,得/ C04A= / BOiD，存在矛盾，因此 04必与 0i重合。于是 OiB=O4C=OiC，同理OiD=OiC,即0i是厶BCD的外心。同理可证 。2、O3、O4分别是各面 上的外心。定理6四面体的内切球球心与外接球球心重合的充要条件是该四面体是等面四面体。证明 先证充分性。设等面四面体 ABCD内切球球心为 0, 0点在各面上的射影为 0i、。2、。3、。4,这四点 分别是内切球与各面的切点。由定理5,这四点分别是各面三角形的外心，再由射影定理，得0A

4、=0B=0C=0D，即0是四面体ABCD的外接球球心.再证必要性。由0A=0B=0C=0D，可得01、。2、。3、04是各面三角形的外心。以下相当于证明定理5 的逆定理：由引理 3，得/ C0iD= / B04A，又 0iC=0iD=C04=B04=A0 4，所以 C0iD也 B04A，所以CD=AB。同理可得 BC=AD , BD=AC。由此，ABCD是等面四面体。定理7等面四面体的内切球球心、一面的重心及该面所对的顶点共线。证明作等面四面体ABCD的外接长方体 ABCD ABCD。由定理6，等面四面体的内 切球球心与外接球球心重合，且是外接长方体的 中心（长方体对角线的交点）。如图3 9,

5、取AC、BD的中点E、F, EF与AC交于0。连结CF, 交 AC 于 M。显然 0MFC MC ,所以 FM ;MC=0F: C C=1:2。M点是 BCD的重心，所以A、0、M三点共线，定理得证。说明 对于一般四面体，每一面的重心与该面所对顶点图39连线共四条，这四条线段交于一点（此点是该四面体外接平行六面体的中心）。该点称为四面体的重心。等面四面体的重心、内心（内切球球心）、外心（外接球球心）重合，此点称为等面四面体的中心。1 .等面四面体每一顶点所处的三个面角之和必为180。2. 等面四面体各个面都是锐角三角形。3. 已知四面体四个面都是边长为10, 17。. 261的三角形，求以它六

6、条棱中点为顶点的八面体的体积。4. 等面四面体的内切球球心到各面垂心的距离与到对顶点在该面上射影的距离相等。5. 等面四面体的四个旁切球球心都在其外接球上。练习答案或提示1.等面四面体 ABCD 各个面全等，得/ BAC= / CDB , / CAD= / DBC , / DAB= / BCD , 由/ CDB+ / DBC+ / BCD=180 ，得/ BAC+ / CAD+ / DAB=180 2利用三面角中任两个面角之和大于第三个面角及第1题的结论。3.先计算四面体外接长方体的各棱长，得6、& 15,内接八面体体积是该长方体体积1的一，为120。64. 如图3 10, H是厶BCD是垂心，0是A在BCD上射影，由 0作厶BCD各边垂线 OE, OG, OF 。：厶 ABC DCB , DBG ACG ，二 B