数据拟合教学文档

1、第二章数据拟合 在实际问题中，我们经常会遇到一个变量与另一个或多个变量处在同一个过 程之中，它们互相联系、互相制约.在有的变量间存在完全确定的函数关系，例如 电压V、电阻R与电流强度I之间有关系式V=IR;圆面积S与半径R之间有关 系S2.但有一些变量，它们之间也有一定的关系，然而这种关系并不完全确 定，例如一个国家的人口数与时间的对应关系,它们之间就不可能用一个确定的函 数表达式.但为了深入了解事物的变化本质，往往也需要我们去寻求这些变量间的 函数关系式，从而对实际问题作出某些预测和推断.从搜集的原始数据中,选择一 个最能拟合的有关数据，确定最有可能反映实际问题的函数形式，这种方法就是数 据

2、拟合.利用数据拟合所得的函数称为拟合函数. 一数据拟合模型 2.1最小二乘法 设变量x、y的对应值表为： X x2 兀7 y 儿 儿 儿T 儿 设拟合函数为/,当误差的平方和儿-/*(“)+儿-/*() 十+儿-f(x”)简记为土 y厂fa)F)最小时，可求出函数/(X)的表达式，这 1=1 种求拟合函数的方法就是最小二乘法. 注释：厲”是求和符号，它表示心1,2,/时，所得值的和.即 r=l n 工陽=q+6+ % 1=1 1.直线拟合 设拟合函数为/(x) = a0 + aYx,要确定/(x)只需确定参数do和即可令 1=1 =儿一 （a。+ d 內）F + 儿一 （a。+ 勺 *2 ）F

3、 + + yn- （a。+ a 占） =fjao2 一 2a。X片一 2勺工兀开+ 2绻勺工兀+ Xx2 /=!r=li=l/=! =叫2 - 2（工 - 6工兀）。0 + （亦工兀？ 一 2血工兀） 1=11=1f=lf=l 将a,看成参数,0是a。的二次函数， nn 工）厂工兀 当兔=旦时,Q最小; n 将aQ看成参数,0是如的二次函数, 工兀必一 a工兀 当陽=-时,Q最小. ;=1 由此可得4。和勺满足方程组 叫+（工兀）勺=工片 J=1i=l 919191 （工兀）a。+ （工时）勺= f=lf=lf=l 由方程组确定的拟合函数/（切=绻+勺兀称为线性回归方程. 2.二次多项式拟合

4、设拟合函数（px） = a0 + aYx + a2x2最小二乘法可推出a。、a1、a?满足方 程组 i=li=li=l nnnn 兔工兀+E工审=工兀 i=li=li=li=l nnnn P2p3匸4p2 兀+勺1兀+冬1兀=Xxi yr .i=li=li=li=l 上面方程组可参考直线拟合的推导方法推出.下面我们应用最小二乘法求一 些简单的拟合函数. 例1己知变量X、y的对应值如下: X 1 2 3 4 y 1 3 4 6 用最小二乘法求拟合函数f(x) = a0 + x,并推测/(5)的值. 44 解:= Xl+X2+X3+X4 = 1Q,工开=儿 + 儿 +儿+ 儿=14, 1=11=1

5、 工X： = x/ + x22 + x32 + x42 = 30,工兀开=xlyl +x2y2 + x3y3 + R儿=43 . f=lf=l 则為和满足方程组 解得 40 +101 = 14 IO。+30珀=43. v/(X)= -| + |x,/(5) = y. 例2己知变量x、y的对应值如下: X -i 0 i 2 y -i i 3 2 用最小二乘法求拟合函数0(X)=心+6兀+2,. 解：列表计算 变虽 X x x3 X4 y x2y 对 -1 1 -1 1 -i i -1 应 0 0 0 0 i 0 0 值 1 1 1 1 3 3 3 2 4 8 2 4 8 2 6 8 18 5 8

6、 10 4a + 2q + 6a2 = 5 a。、ai满足方程组 20+6+8山=8 6a0 +8。 + 18a, = 10 解之得a。= 37 20,67： 拟合函数为(p(x) = + x-x2. 20 204 2.2插值法 设x、y的对应值表如下： a2 a “ y b2 则至多存在实数集上的一个次数不超过的多项式/(x)满足 fa)= bi，i = 1,2,/?+ 1.5. /(x) = Y吐-)(-心心-)(-仏)(x-%)这个公式叫做拉 (务一 a j(也一冬)a -)a - % j a - %) 格朗日插值公式.若从对应值表中选择两对值可得线性插值公式f(x) = ao+aix;

7、 若从对应值表中选择三对值可得二次插值公式0(x) = a。+冬亍. 例3求二次多项式函数f(x)，使/(I) = 1,/(-1) = 3(2) = 3. 解：由拉格朗日插值公式得 f(门=(x + l)(x-2) + 3(x-l)(x-2) * 3(x-1)(a + 1) (1 + 1)(1-2)(-1-1X-1-2)(2-1X2 + 1) =x2 -x + l. 例4己知函数/(x)的对应值表为: X 10 11 12 13 14 y 2.3036 2.3979 2.4849 2.5649 2.6371 试分别用线性插值和二次插值求/(11.75)的近似值. 解1(1)因为11.75介于1

8、1与12之间,故可取x = ll和12作线性插值得公式 0(兀)= 2.3979(12)2.4849(x_ll) 11-12-+ -12-11 = 0.087x4-1.4409 则 /(11.75) 久11.75) = 2.4632. 用二次插值可取X = 11,12,13靠近x = 11.75的点得插值公式 2.3979 (x-12Xx-13)2.4849 (x-ll)(x-13)2.5649 (x-ll)(x-12) (11 12)(11 13)*(12 11)(12 13)*(1311)(13 12) 则 /（11.75） 处 1.75） = 2.4638. 运用最小二乘法和插值法拟合函

9、数模型，计算量较大，一般可借助现代化计算 工具或应用软件进行拟合.在Microsoft Excel应用软件的分类函数中配置有计算 公式,可以进行数据拟合. 公式TREND满足线性拟合直线或多项式拟合曲线的一组己知y值； 公式LINEST:满足线性拟合直线或多项式拟合曲线的一组参数值（指系数和 常数）； 公式INTERCEPT:满足线性拟合直线的截距； 公式SLOPE满足线性拟合直线的斜率； 公式FORECAT通过一条线性拟合线返回一个预测值x值； 公式GROWTH满足指数回归拟合曲线y = bmx的一组己知的y值； 公式LOGEST:满足指数回归拟合曲线y = bmx的一组参数b,加. 如果是

10、直线拟合还可以选择“Microsoft Excel”中的“工具一数据分析一回 归”操作系统，可得各种统计结果.若“工具”中没有“数据分析”，可从“加载宏 一分析工具库”中调出. 二数据拟合在数学建模中的应用 2.3数据拟合在数学建模中的应用 例1 “人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我 们制定一系列相关政策的基础有人口统计年鉴,可查的我国从1949年至1994年 人口数据资料如下： 单位:百万 年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 人口 541.67 602.66 672.09 704.99 806.7

11、1 908.59 975.42 1034.75 1106.76 1176.74 试预测到2004年我国人口数量大约是多少？ 解:在直角坐标系中作出人口数的图像（散点图） 1400 1200 1000 800 600 400 200 0 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 由散点图观察可知，散点近似分布在一条直线上或一个指数函数图像上，因此 可釆用直线拟合或指数曲线拟合. 方法一I (直线拟合)设拟合函数为/(x) = a0 + aLx. (1)插值法：选择离2004年最近的两点x = 1989和1994可得 _ 1106.74(20041994)1176.4(

12、20041989) 八 一 1989-1994+1994-1989 = 1315.72. 最小二乘法：利用Microsoft Excel中的公式LINEST可得拟合函数 /(x) = 14.5lx-27753.55 .在公式 TREND 可求出 /(2004) = 1324.61. 方法二(指数拟合)设/(x) = amx，利用Microsoft Excel中的公式GROWTH可 得 /(2004) = 1462.84. 一般地，如果对精确度要求不高的情况下，可选择最有可能反映问题的点，用 插值法拟合函数;如果对精确度要求较高，可选择最小二乘法拟合函数. 在处理数据拟合与预测问题时，通常需要以

13、下几个步骤： (1)根据原始数据，描出散点图.描散点图可以通过Microsoft Excel中的插入 一图表一散点图操作而得； 通过考察散点图的变化趋势，选择数据拟合模型.如f(x) = ao + alX. f(x) = am* 等. (3) 利用数据拟合方法或数据拟合软件，求出拟合函数； (4) 利用拟合函数对所给问题进行预测和调控，以便为决策和管理提供依据； (5) 若存在几种拟合法，还需进行模型检测(如计算残差、截断误差估算等), 从中选择更好的拟合模型这一步这里不作介绍. 例2三水西南镇某企业2003年一2004年的生产总值表如下: 单位:万元 年/月 1 2 3 4 5 6 7 S

14、9 10 11 12 2003 42.6 71.9 90.0 120.6 164.6 200.0 234.9 269.4 307.3 343.1 378.9 421.0 2004 432.1 450.0 467.2 485.6 499.5 510.9 517.6 532.4 550.2 试对该企业的生产情况和其中的数量关系进行分析和预测. 解：设y是第x月份的生产总值.在直角坐标系中作出散点图 600 500 400 300 200 100 0 0 510152025 由图像可看出，它基本上是向上增长，而这些点近似地在一条直线上下波动, 所以选择直线拟合较好. 模型1由最小二乘法可得y = 2

15、6.77x4-43.19. 模型2再仔细观察可看出2003年图像上升趋势较快,2004年图像上升趋势 较缓慢，所以可用2004年一段来描述.由最小二乘法可得y = 14.lx + 254.3 综合以上二种模型，模型2总体拟合效果优于模型1.因此可估算出2004年10 、11、12月收入最有可能为564.4、578.5、592.6(万元). 例3某位同学研究媒体上刊登的上榜歌曲支持率(得票数)的升降过程，统计 出某首歌曲在流行音乐排行榜上的情况如下： 星期(W) 1 2 3 4 5 得票(N) 752 1511 2123 2359 2100 若得票数在500票以上的歌曲才可进入音乐排行榜.请你对

16、这首歌曲的上榜 情况作出预测. 解：作出散点图 6 观察散点近似的在一条抛物线上，于是选择二次多项式拟合可得拟合函数 N = -172W+1388W 500. 根据拟合函数可预测这首歌曲的得票数将在第七周后降至500票以下，即将 在第七周后挤出此音乐排行榜. 例4海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫做潮,一般地早潮叫 潮，晚潮叫汐在通常情况下船在涨潮时驶进航道，靠近船坞卸货后落潮时返回海 洋下面是某港口在某季节每天的时间t（时）与水深y（米）关系表： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1

17、 试求一个最能近似表示表中数据间对应关系的拟合函数. 解:描出散点图 20 15 - 10 . 5 0 1 0102030 观察散点图可知选择三角函数模型y = Asm（血+（p） + b拟合较好. 因波峰在3时和15时发生，分别为15.1和14.9,取其平均值15为拟合函数的 波峰;波谷在9时和21时发生，分别为9.1和8.9,取其平均值9为拟合函数的波谷. （A + b = l5 （A = 3 -A + b = 9 B = 12 因波峰到波谷需要经过二分之一个周期发生，所以7=12, = -. 又由 tyxO + 0 = 0,得0 = 0. 所以拟合函数为y = 12 + 3siii/. 6 应用此模型可以对该港口船只进出进行科学调度和管理. 习题 1. 己知函数y = /(x)的观察值为 X i 2 3 4 y 0 -5 -6 3 试用插值法，求出三次多项式函数,并预测/(2.5)的值. 2. 某地区近五年的财政可支出性收入的增长情况统计如下: 时间(年) 1 2 3 4 5 增长率() 2.2 3.8 5.5 6.5 7 试预测第6年的财政可支出性收入的增长率大约是多少? 3. 对我国1984年至1994年间国民生产总值统计如下： (单位:亿元) 年份 1984 1985 1986 1987 1988 1989