小学奥数最大与最小教师版

1、 模块一、数论中的极端思想 【例1】18这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四 位数各是多少？ 【解析】8531和7642。高位数字越大，乘积越大，所以它们的千位分别是8，7,百位分别是6, 5。两数 和一定时，这两数越接近乘积越大，所以一个数的前两位是85,另一个数的前两位是76。同理 可确定十位和个位数 【巩固】两个自然数的和是15,要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？ 【解析】将两个自然数的和为 15的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面7种情 况： 15=1+14, 1X14=14; 15=2+13, 2X13=26;

2、15=3+12, 3X12=36; 15=4+11, 4X11=44; 15=5+10, 5X10=50; 15=6+9, 6X 9=54; 15=7+8, 7X 8=56。 由此可知把15分成7与8之和，这两数的乘积最大。 结论：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个 数相等时，他们的乘积最大 【巩固】两个自然数的积是 48,这两个自然数是什么值时，它们的和最小？ 【解析】48的约数从小到大依次是1, 2, 3,4,6,8,12,16,24,48。 所以，两个自然数的乘积是 48 ,共有以下5种情况： 48=1X 48, 1+48=49; 48=2X2

3、4, 2+24=26; 48=3X16, 3+16=19; 48=4X12, 4+12=16; 48=6X 8, 6+8=14。 两个因数之和最小的是 6+8=14。 结论：两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。 【例2】 有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为 止，如257 , 1459等等，这类数中最大的自然数是多少？ 【解析】要想使自然数尽量大， 数位就要尽量多，所以数位高的数值应尽量小，故10112358满足条件.如 果最前面的两个数字越大，则按规则构造的数的位数较少，所以最前面两个数字尽可能地小，取 1与0.

4、【例3】 有一类自然数，它的各个数位上的数字之和为2003，那么这类自然数中最小的是几？ 【解析】一个自然数的值要最小，首先要求它的数位最小，其次要求高位的数值尽可能地小由于各数位上 的和固定为2003，要想数位最少，各位数上的和就要尽可能多地取9,而2003- 9=2225,所 以满足条件的最小自然数为： .9 2 个 9 【例4】 将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 129899100 从中划去 1 00个数字，那么剩下的 92 位数最大是多少？最小是多少？ 【解析】要得到最大的数，左边应尽量多地保留9。因为159中有109个数

5、码，其中有 6个9，要想左 边保留6个9，必须划掉159中的109-6 = 103 （个）数码，剩下的数码只有192 103=89 （个）， 不合题意， 所以左边只能保留 5个 9，即保留 149中的 5个 9，划掉 149中其余的 84个数码。 然后，在后面再划掉 16个数码，尽量保留大数（见下图） ： 所求最大数是 999997859606199100。 同理，要得到最小的数，左边第一个数是 1，之后应尽量保留 0。 250中有 90个数码，其中有 5个 0，划掉其余 90-5=85（个）数码，然后在后面再划掉 15个数码，尽量保留小数（见下图） 所求最小数是116299100。 例 5】

6、 把 17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？ 【解析】 假设分成的自然数中有 1, a是分成的另一个自然数，因为1X av 1+a，也就是说，将1+a作为分 成的一个自然数要比分成1和a两个自然数好，所以分成的自然数中不应该有1。如果分成的自 然数中有大于 4的数，那么将这个数分成两个最接近的整数， 这两个数的乘积大于原来的自然数。 例如，5=2+3v2X 3, 8=3+5v 3X 5。也就是说，只要有大于 4的数，这个数就可以再分，所以分 成的自然数中不应该有大于4的数。如果分成的自然数中有4，因为4=2+2=2X 2,所以可以将4 分成两个2。由上面的分析得到，分成的自然数中

7、只有 2和3两种。因为2+2+2=6, 2 X 2X 2=8, 3+3=6, 3 X 3=9，说明虽然三个2与两个3的和都是6，但两个3的乘积大于三个 2的乘积，所以 分成的自然数中最多有两个 2,其余都是 3。由此得到,将 17分为五个 3与一个 2时乘积最大, 为3X 3 X 3X 3X 3X 2=486。结论：整数分拆的原则：不拆1,少拆2,多拆3。 【巩固】 把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？ 【解析】14拆成3、3、3、3、2时，积为3 X 3 X 3 X 3 X 2=1最大. 【例6】 某国家的货币中有1元、3元、5元、7元、9元五种，为了能支付1

8、元、2元100元的钱数 （整数元），那么至少需要准备货币多少张？ 【解析】为了使货币越少越好，那么9元的货币应该尽量多才行。当有10张9元时，容易看出1、1、3、 5这四张加上后就可以满足条件。当9元的货币超过11张时，找不到比14张更少的方案。当 9 元的货币少于10张时，至少有19元需要由5元以下的货币构成，且 1元的货币至少2张，这样 也找不到比14张更少的方案。综上分析可以知道，最少需要10张9元的、2张1元的、1张3 元的、1张5元的，共14张货币。 【例7】 在五位数22576的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的六位数中最大的是几？ 【解析】225776 【巩固】 在六位数8

9、65473的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的七位数中最小的是几？ 【解析】8654473. 【例8 设自然数n有下列性质：从1、2 n中任取50个不同的数，其中必有两数之差等于7,这样 的n最大不能超过多少？ 【解析当n=98时，将1、298按每组中两数的差为 7的规则分组：1 , 8、2、9、7 , 14、 15 , 2290 , 97、91、98。一共有49组，所以当任取 50个数时，必有两个数在同一组， 他们的差等于 7。当n=99时，取上面每组中的前一个数，即1、27、1521、2935、 4349、5763、7177、8591和99 一共是50个数，而它们中任 2个的差不为

10、7。 因此n最大不能超过98。 【例9 在10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号， 组成一个算式。要求：（1 ）算式的结果等于 37; （2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的 数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？ 【解析把10个数都添上加号，它们的和是55，如果把其中一个数的前面的加号换成减号，使这个数成 为减数，那么和数将要减少这个数的2倍。因为55-37 = 18,所以我们变成减数的这些数之和是 18十2=9。对于大于2的数来说，两数之和总是比两数乘积小，为了使这些减数的乘积尽可能大， 减数越多越

11、好（不包括1）。9最多可拆成三数之和 2+ 3 + 4=9,因此这些减数的最大乘积是 2X 3X4 =24，添上加、减号的算式是：10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5- 4- 3- 2+ 1 = 37。 模块二、智巧趣题中的极端思想 【例10 99个苹果要分给一群小朋友，每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样，且每位小朋友至少要 有一个苹果问：这群小朋友最多有几位？ 【解析1+2+3+1=91 99，说明若13位各分得1, 2, 3，13个苹果，未 分完99个，若14位各分得1, 2, 3,，14个苹果，则超出99个因91+8=99，在13位上述 分法中若把剩下的 8个苹果分别加到后 8

12、位人上，就可得合题意的一个分法：13人依次分1 , 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 1O , 11, 12, 13, 14个.所以最多有 13位小朋友.（注：13人的分法不唯 一） 【例11（第四届希望杯1试）一位工人要将一批货物运上山，假定运了5次，每次的搬运量相同，运 33 到的货物比这批货物的-多一些，比3少一些。按这样的运法，他运完这批货物最少共要运 54 次，最多共要运次。 【解析这道题目用到了极值判断法，体会极值判断法: 33331 假定5次运的恰好等于 3，则每一次最少运 3十5=2，所以最多运1十=8- - 9次； 5525253 3 3332 假定5次运的恰好等于

13、-，则每一次最多运 -十5=丄，所以最少运1十=62 - 7次. 4 420203 【例12】 某学校，星期一有15名学生迟到，星期二有12名学生迟到，星期三有 9名学生迟到，如果有 22名学生在这三天中至少迟到过一次，则这三天都迟到的学生最多有多少人？ 【解析】 三天都迟到的要尽量多，则将迟到的22人次分为仅迟到一次和三天都迟到的可求出三天都迟 到的学生最多有（15+12+9-22）吃=7（人） 【巩固】 某次数学、英语测试，所有参加测试者的得分都是自然数，最高得分198，最低得分169，没有 得193分、185分和177分，并且至少有 6人得同一分数，参加测试的至少多少人？ 【解析】得分数

14、共有 198-169+1-3=27（种），当只有 6个人得分相同时，参加测试的人最少，共有 27+6-仁32（人） 【例13】149位议员中选举一位议长，每人可投一票候选人是A, B, C三人开票中途，A已得45票, B已得20票，C已得35票.如果票数最多者当选，那么A至少再有多少票才能一定当选？ 【解析】45+20+35=100,还有149-100=49（票） 45-35=10，如果49票中有10票都给 C, 49-10=39，那么 A至少还要有20票才能当选. 【例14】 【解析】 【例15】 【解析】 如图，司机开车按顺序到五个车站接学生到学校，每个站都有学生上车.第 一站上了一批学生

15、，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半车 到学校时，车上最少有多少学生？ 因为每个站都有学生上车，所以第五站至少有1个学生上车.假如第五站只 有一个学生上车，那么第四、三、二、一站上车的人数分别是2, 4, 8, 16 个因此五个站上车的人数共有1+2+4+8+16=31（人），很明显，如果第五站 有不止一个学生上车，那么上车的总人数一定多于31个所以，最少有 31个学生. 某公共汽车从起点开往终点站，中途共有15个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终 点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位 乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？

16、 （法1）:只需求车上最多有多少人。依题意列表如下： 由上表可见，车上最多有 56人，这就是说至少应有 56个座位。本题问句出现了“至少”二字是 就座位而言的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客中每人都有座位， 应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以，我们不能只看表面现象，误认为有了“至 少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。 （法2）:因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（每站1人），这一人数也和本站上车的人数一样多， 因此：车开出时人数=（以前的站数+1） x以后站数=站号X （ 15- 站号）。因此只要比较下列数的大小：1X 1

17、4, 2X 13, 3X 12, 4 X 11, 5X 10, 6X 9, 7X 8, 8X 7, 9X 6, 10X 5, 11X 4, 12X 3, 13X 2, 14X1 . 由这些数，得知 7X8 和 8X7 是最 大值，也就是车上乘客最多时的人数是 56人，所以它应有56个座位. 此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。这种方法的大意是： 将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值； 或者将与问题相关的各种情况逐一考察， 最后归纳出需要的结论。 【例16】 某班学生50人，年龄均为整数，年龄的平均值为12.2，已知班上任意两人的年龄差都不超过3 .那

18、 么这班学生中年龄最大的能是多少岁？如果有一个学生的年龄达到这个值，那么这个班里年龄既 不是最大也不是最小的学生最多有多少人？ 【解析】因为全班50人的年龄总和比平均 12岁的年龄总和多（12.2-12） X 50=10（岁），所以年龄最大的能 是12+3=15（岁）.如果有人年龄达到 15岁，那么剩下的 49人的年龄和比平均 12岁的年龄和多 10 3=7（岁），所以最多有7人的年龄大于12岁，小于15岁. 【例17】若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知 家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老 师，那

19、么在这22人中，爸爸有多少人？ 【解析】家长比老师多，所以老师少于22十2=11人，即不超过10人；相应的，家长就不少于12人。在 至少12个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12十2=6人，即不少于7人。因为女老师比 妈妈多2人，所以女老师不少于 9人。但老师最多就10个，并且还至少有1个男老师，所以老 师必定是9个女老师和1个男老师，共10个。那么，在12个家长中，就有7个是妈妈。所以， 爸爸有12-7=5人。 【例18】现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多，第二堆苹果个数比第三堆多。如果从每堆苹 果中各取出一个，那么在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍。如果从每堆苹果中各取

20、出同样多个，使得第一堆还剩 34个，则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍。问原来三堆苹 果数之和的最大值是多少？ 1 1 1 【解析】 第一堆 第二堆 第二堆 先每堆拿出一个，这样第一堆就是第 二堆的3倍：“如果从每堆苹果中各 取出同样多个，使得第一堆还剩34 个，则第二堆所剩下的苹果数是第三 堆的2倍”，第三堆最少剩一个，那 么第一堆的每一份就是：（34-2 ） + 2=16，即三堆分别有：16X 3+仁49, 16+1=17和16个，总数：49+17+16=82个；如果第三堆剩 2个，那么第一堆的每一份为：（34-4 ） 十2=15，各堆分别为: 15X 3+1=46, 15+1=16和1

21、4个，总数减少.显然第三堆留下的越多，第一 堆的每一份就越少，总数越少.所以原来三堆苹果之和的最大值是82. 【例19】如图，小明要从 A走到B,每段路上的数字是小王走这段路 所需的分钟数.请问小明最快需几分钟？ 【解析】 从A到B要想最快，肯定不能走回头路，路线分为过C点和不 过C点两类.不过C点有两条路：第一条是15+7+9+18=49（分 钟）；第二条是 14+6+17+12=49（分钟）；两条路所用时间相 同经过C点的路线分为两段，At C S B.同上面一样： At C: 14+13=27（分钟）: 15+1 仁26（分钟）. S B: 10+12=22（分钟）；5+18=23（分钟

22、）.在 分析已知条件时。很可能会出现不同情况和不同结果，而且不好推理说明谁是极端情形，那就应 该列举比较.所以从 At CtB最少用48分钟，比前面不过 C的少用1分钟. 【例20】阶梯教室座位有10 排,每排有16个座位，当有150个人就座，某些排坐着的人数就一样多.我 们希望人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？ 【解析】 至少有4 排.如果10排人数各不相同，那么最多坐：16+15+14+13+12+11 + 10+9+8+7=115（人）； 如果最多有2排人数一样，那么最多坐：（16+15+14+13+12）X2 =140（人）；如果最多有 3排人数一样，那么最多坐：（16+

23、15+14） X 3+13 =148（人）；如果最多有 4排人数一样，那么至多坐： （16+15） X4+14X2 =152（人）.148150b 测试2、将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 129899100 从中划去170个数字，剩下的数字形成一个22位数，这个22位数最大是多少？最小是多少？ 99100( 【解析】在前100个自然数中，共有 20个9,再保留后面的“10 ”，即得到最大数：9999920 个9）;最小数的第一位是“ 1”，再保留1090中的9个“0”，再在91100中留下12个尽量 小的数，即得最小数： 100

24、00089100 . 测试 3、（第一届希望杯 1 试）一艘轮船往返于 A、B 码头之间 ，它在静水中船速不变，当河水流速增加 时，该船往返一次所有时间比河水流速增加前所用时间 （ 填“多”或“少” ） 【解析】 极限判断，当水速为10,船速是20时，我们可以往来 A, B两地，当河水速度增加时，比如增加 到20，这样逆水时，船速=水速，永远到不了 B地，所以时间变多了。 测试4冬季运动会共有 58面金牌，至今 A队已得10面，B队已得11面，C队已得13面如果A队要想 金牌数居第一位, A 队至少还要得多少面金牌 ? 【解析】10+11+13=34 .还有58-34=24（面）可争夺.A队要再得4面，才超过 C队.在余下的奖牌中不能 少于一半，即再得 4+（24- 4） +2 =14（面），才能确保金牌数居第一位. 测试 5、某班有 50名学生, 参加语文竞赛的有 28人, 参加数学竞赛的有 23人, 参加英语竞赛的有 20 人, 每人最多参加两科,那么参加两科的最多有多少人？ 【解析】