复数和数列的几个知识点

1、精品文档你我共享 4n+3 1、i的周期性: 4. uLiF 4n+i 4n+2.,4n+3 4n ._ i =i,所以，i =i, i =-i, i =-i, i =tf n 亡 Z .4n .4nHi.4n*.4n*、 _. i +i +i +i =0(n匸 Z ) 2、复数的代数形式：a+ bi(a,b迂R ), a叫实部，b叫虚部，实部和虚部都是实数。 C =a +bi |a,b壬R叫做复数集。肩率笑医c. 3、复数相等：a+ bi =c +di=a=c且b=d ; a+ bi=0=a=0且b=0 实数(b=0) 4、复数的分类： 复数Z =a+bi 十”一般虚数(b H0,aH0)

2、I虚数(b工0)i 1 M虚数(bH0,a=0) a + bi |= Ja2 +匕2 ； 虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是 3 + i,6 +2i也没有大小。 5、复数的模：若向量OZ表示复数 乙则称OZ的模r为复数Z的模，IZ =| 积或商的模可利用模的性质(1) W 4|Zn =|勾jZ川忆| , (2) (Z2 Z2 Z2 H0) 6、复数的几何意义: 复数z = a + bi (a,b忘R )复平面内的点Z(a,b) 一一对应 复数Z =a+bi(a,b亡R) 平面向量OZ, 7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面, y轴叫做虚轴*,实轴上的点都表示实数；

3、 除了原点外， 8、复数代数形式的加减运算 其中x轴叫做实轴, 虚轴上的点都表示纯虚数 复数 Zi与 Z2的和：zi+Z2=(a+bi)+( c+di )=( a+c)+( b+d) i . (a, b,c, d 迂 R) 复数 zi与 Z2的差：zi-Z2=(a+bi)-( c+di )=( a-c)+( b-d) i . (a,b,c, d 亡 R) 复数的加法运算满足交换律和结合律 数加法的几何意义：复数乙=a+bi, Z2=c+di (a,b,c,d 忘 R ); OZ = O乙 +OZ2 =(a, b)+( c, d)=( a+c，b+d) = (a+c)+( b+d) i TT I

4、 I 复数减法的几何意义：复数 Z1-Z2的差(a-c)+( b-d)i对应由于Z2ZOZOZ2，两个 复数的差z-Zi与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 9. 特别地，ZaB = Z b ZA., %| =|ab| =|zb Za|为两点间的距离。 AAAAAA I Z-z, F|z-Z2 |z对应的点的轨迹是线段 Z1Z2的垂直平分线；|z-z0|=r , z对应的点的 轨迹是一个圆; I z Zi I+| z-Z2 F2a(ZiZ2 2az对应的点的轨迹是双曲线。 11、复数的乘除法运算: 复数的乘法：Z1Z2= ( a+bi)( c+di )=( ac- bd)+( bc+ad

5、) i.(a,b,c,d R) 实数集R中正整数指数的运算律 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。 ,在复数集C中仍然成立.即对Z ,z 2，z 3 C及m,n N有: m n m+n Z Z =Z , m n mn (z ) =z , (z n n n 1Z2) =Z1 Z2 . 复数的除法: Z=(a+bi) +(c+di)= Z2 a+bi ac + bd be-ad. 八宀 =+ i (a,b,c,d R分母头 c+di c+d c+d 数化是常规方法 12、共轭复数：若两个复数的实部相等， 而虚部是互为相反数时， 这两个复数叫互为共轭复 数；特别地，虚部不为 0的两个共轭复数也

6、叫做共轭虚数； Z =a+bi, Z =a bi(a,b R )，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。 =|z|= Ja2 +b2 Z ”Z =a2 +b2 迂 R, Z 2 ”z = z z 2 一 ,Z1Z2 =Z1Z2,Z1z =Z1z , lZ2 丿 Z2 (1+i)2=2i , (1-i)2 1 13、 熟记常用算式：-i , i 14、复数的代数式运算技巧： = -2i , 4 = i , O i 1-i 1+i (1-i)2 1+i . =i 1-i 1-i 1 +i =-i o (2) “ 1”的立方根 i 22的性质: 2 1+01 = 0 +丄一 1 15、实系数一元二

7、次方程的根问题: (1)当也=b2 -4ac3 0时，方程有两个实根X1 ,X2。 (2)当也=b2 -4ac2). (2) 证明数列an是等比数列的两种基本方法 d n 十 I* 利用定义，证明 二一(n N )为常数； 2 an= an-1an+1(n 2) an+1 an 利用等比中项，即证明 3. 常用性质 nn n=p+q,贝Uam+an=ap+aq；等比数列an中，若mi+n (1) 等差数列an中，若 =P+ q,贝U aman = apaq； S, San S, Sn S2n,，Qn S(k - 1)n，成等差数列，其中 (2) 在等差数列an中， S为前n项的和，且 0(n N*)；在等比数列a n中，S, S2n S, Sn d,，Sn S(k- 1)n，成等比数列，其中Sn为前n项的和，且 S丰0(n N*) 沁园春雪 北国风光，千里冰封, 里雪飘。 望长城内外， 下，顿失滔滔。 惟余莽莽; 大河 山舞银