2020届合肥一模理数—试题含答案

1、合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟 满分：150分）第I卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的1.已知集合Ax x2A. 1,2 0 ,1 ,1 2z i （ i为虚数单位）, y x C. x 1 2“丝绸之路经济带”和“ 21B.2.设复数z满足z 1 A. y x3“. 带路B.是C.x 2x 10，则 AUB ().1 ,22D.-,2z在复平面内对应的点为（x ,2 2 y 11 D.1y)，则().世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与 沿线国家经济合作关

2、系，共同打造政治互信、经济 融合、文化包容的命运共同体.自2013年以来，“一 带一路”建设成果显著.右图是2013-2017年，我国 对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列 描述错误的是（）.A. 这五年，B. 这五年，C. 这五年，D. 这五年，2013年出口额最少 出口总额比进口总额多 出口增速前四年逐年下降2017年进口增速最快4. 下列不等关系，正确的是（）.A. log23 log3 4C. log23 log455. 已知等差数列ayng4log4 5log4 5log3 43，7.函数yB. log2 3D. log2 3log4 5log3 4 的前n项和为Sn, QB

3、.3C.4D.5xx22的图象大致为().x| cos x2a4 3a7 9，则S的值等于（）.A.21B.1C.-42D.06.若执行右图的程序框图，则输出i的值等于（）A.28.若函数f x sin2x的图象向右平移丄个单位得到的图象对应的函数为g x，则下列说法正确6的是（）.C. g x在区间_,丄 上单调递减 D. g x在 ，0上的值域为 3,036222笃1（ a 0, b 0）的左右焦点分别为F，F2，圆F2与双曲线C的渐近线相 buuuir LUULU、29.已知双曲线C: $a切，M是圆F2与双曲线C的一个交点.若RM F2M =0，则双曲线C的离心率等于（）.A. 5B.

4、2 C.,3 D. .210. 射线测厚技术原理公式为I le t，其中I。，I分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数，t为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241 Am）低能 射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，贝U这种 射线的吸收系数为（）.（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，In2 0.6931,结果精确到0.001） A. 0.110 B. 0.112 C. 0.114 D. 0.11611. 已知正方体ABCD A BQU，过对角线BD作平面 交棱AA于点E,交棱CC

5、于点F,则： 平面分正方体所得两部分的体积相等； 四边形BFDE 定是平行四边形； 平面 与平面DBB,不可能垂直； 四边形BF0E的面积有最大值.其中所有正确结论的序号为（）.A.B.12.已知函数f x C.e x,xxe xIn D.x 0，则函数F x f f x ef x的零点个数为（） 0x, x（e是自然对数的底数）.A.6B.5C.4D.3（90 分）第u卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、 第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.已知向

6、量a （1 , 1）, bm, 2，且a / a 2b，则m的值等于 .14. 直线I经过抛物线C : y212x的焦点F ,且与抛物线C交于A , B两点，弦AB的长为16,则直线I的倾斜角等于.15. “学习强国”是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台.该平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.假设在 这些栏目中，某时段更新了 2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这 2篇文章学习顺序不相邻的学法有种.16. 已知三棱锥A BCD的棱长均为6,其内有n个小球，球与三棱锥A BCD的四

7、个面都相切，球。2与三棱锥A BCD的三个面和球Q都相切，如此类推，球On与三棱锥A BCD的三个面和球 On 1都相切（n 2，且n N ），则球0的体积等于，球On的表面积等于.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在 ABC 中，内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c，若 a 2 , acosC ccosA . 2bcosB 0 .（1）求 B ；（2）若BC边的中线AM长为5，求 ABC的面积.18.(本小题满分12分)“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然

8、风 光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地.为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习 生，在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在 前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了 100所学校，统计如下：研学游类型科技体验游民俗人文游自然风光游学校数404020该实习生在明年省内有意向组织高一“研学游”学校中，随机抽取了 3所学校，并以统计的频率代替 学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果 的影响)：(1) 若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光

9、游”，求这两种类型都有学校选 择的概率；(2) 设这3所学校中选择“科技体验游”学校数为随机变量X求X的分布列与数学期望.19. (本小题满分12分) 如图，已知三棱柱 ABCAA AC，AC BC .(1) 证明：AC AB ；(2) 设 AC 2CB， A AC20. (本小题满分12分)ABC中，平面AAGC60o，求二面角G AB!2 2设椭圆C : X2 yr 1( a b 0)的左右顶点为A，A，上下顶点为B1, B2，菱形AB1A2B2的内切圆a bC的半径为2，椭圆的离心率为上.2(1) 求椭圆C的方程；(2) 设M , N是椭圆上关于原点对称的两点，椭圆上一点P满足PM |P

10、N，试判断直线PM，PN与圆C的位置关系，并证明你的结论21.(本小题满分12分)1 x2 L (e为自然对数的底数).e的零点xe，以及曲线y f x在x x处的切线方程;已知函数f x(1)求函数f x设方程f xm ( m 0)有两个实数根为，X2，求证：xx11 2e23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题请考生在第22、目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.x在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的方程为 4cos2( t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正厶26sin22.(本小题满分1

11、0分)选修4-4 :坐标系与参数方程(1) 求曲线C的直角坐标方程；(2) 设曲线C与直线I交于点M , N，点A的坐标为(3 , 1)，求AM| |AN .23.(本小题满分10 分)选修4-5 :不等式选讲已知函数f x x m x 2 ( m R)，不等式f x 20的解集为，4 .(1)求m的值；若a 0， b 0， c 3，且a 2b c 2m，求a 1 b 1 c 3的最大值.合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题（理科）参考答案及评分标准、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案ABCDDBABACCB、填空题：本大题共4小题

12、，每小题5分，共20分.13.-214.或15.7216.6 ，阳（第一空 2 分，第二空 3 分）334三、解答题：大题共6小题，满分70分.17.（本小题满分12分）2h解：（1）在 ABC 中，且 acosC ccosA . 2bcosB 0，sin A sinB sinC sinAcosC sinCcosA .2sinBcosB 0，二 sinB 1 、2cosB 0 ,又 t sin B 0 , cosB.2I B是三角形的内角， B 45分在 ABM 中，BM 1, AM,5, B , ABc ,4由余弦定理得AM 2 c2 BM 22c BM cosB ,c2,2c 40, c

13、0 , c 2.在 ABC 中，a 2 , c 2 , B ,41 ABC 的面积 S -acsinB 112分218.（本小题满分12 分）（1）依题意，学校选择“科技体验游”的概率为-，选择“自然风光游”的概率为1 ,55若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为:22 2 PC3 -1C22 132 185分5555125X可能取值为0,1,2, 3.则0332722354P X 0C3P X 1C1 -512555125P、，小2223363328X 2C3-,P X 3Cs551255125 X的分布列为X0123P275436812

14、51251251252754368612分 EX0 1 231251251251255或解：随机变量X服从XB3,2 EX2n p 3 -612 分55519.(本小题满分12分)(1)连结AC.T AA AC ,四边形AAC1C为菱形， AC AG .AACQ 平面ABC ,平面AAGCI平面平面ABC ACBC BC平面 ABC , BC AC , 平面AAC1C .又 BC/B1C1, B1C1 平面 AAGC , BG AC AG I BG G , AC 平面ARG，而AB,平面ARG ,- AC AB .(2)取AG的中点为M，连结CM . AA AC，四边形AAC1C为菱形， 又

15、CM BC,以 C 为原点，CA, CB, 设 CB 1, AC 2CB 2 , AA AC , C(0 , 0, 0), A1(1 , 0, 3), A (2 ,_ 十十iuv由知，平面GAB的一个法向量为CA设平面ABB的法向量为vuuv/ ABuv2, 1, 0 , AB!3, 1, . 3，得yCOSuuv vCA, n2, Z存nnv vCA ni uiu vCA n二面角 G AB5分A AC 60o, CM AO , CMCM为正方向建立空间直角坐标系,A AC 60o ,:0, 0) ,B(0 ,1 , 0 , 3 .1, 0),B(-1,1,2x3xuuv vAB, ny 0

16、y 3zuuuv AB1 ,v n v nuuv AB uuuAB1AC .如图.3).13.J4，1,2 ,22書B的余弦值为412分20.(本小题满分12分)(1)设椭圆的半焦距为c.由椭圆的离心率为一2知，b c, a 2b .2设圆C的半径为r ,则r a2 b2 ab ,- 2 3b2b2 ,解得 b 3 , a 6 ,2 2椭圆C的方程为碁1 63(2) T M, N关于原点对称，|PM| |卩叫，OP 设 M X1 , y1 , P X2 , y2 .当直线PM的斜率存在时，设直线PM的方程为y 由直线和椭圆方程联立得x2 2 kx m 26,即XiX21ULUUVOMx1,uu

17、v* ，OPX2， y2，LULLVOMuuvOPX1X2yyxm kx1k2X1X2km x2X?m2 m2k220，m22k22，X1X2m12k22 2m 6 2p1kx2k2圆C的圆心O到直线PM的距离为m2 m2 62k2, 4kmkm212k2 12 23 m 2k 22k2直线PM与圆C相切.当直线PM的斜率不存在时，依题意得N人， , P为， .2 2由 |PM| |PN| 得 |2xJ |2yJ , x； y：，结合 乂 乂 1 得 X 2 ,63直线PM到原点O的距离都是血,直线PM与圆C也相切.同理可得，直线PN与圆C也相切.曲线yf x在x1处的切线方程为y2x1.ex

18、2 2x1(2) f xe当X,12 U1 2，时，f x0 ;当x1.2,12 时，f x0.2直线PM、PN与圆C相切12分(1)由 fX1 x20，得 x 1， 函数的零点X0X e2X2x 1f XX?f 1 2e， f1 0.e曲线yfx在x1处的切线方程为y 2e x 1f 12，f 10，e21.（本小题满分12分）1 . f x的单调递增区间为 ，1 .2 , 1 2, ，单调递减区间为1 .2,1 由知，当x 1或x 1时，f x 0 ;当1 x 1时，f x 0.下面证明：当X1,1时，2e x 1 f x .当x1,1时，2e x 1fX2eX 1x2 10ex 1 x 10x0 e0e2易知，gXX 1 eX2在X1, 1上单调递增，而g 10: g xg10对X1, 1恒成立，当 X1,1时,2eX 1f X .由y 2ex 1得x卫1.记X1卫1. y m2e2e要证xX22m1丄，2e只要证x2m112 m 1 -2e即证x2又 m1X22只要证x1X221L，即X21eX2x210.Xc?e2e2 X21 2, 1，即证eX2