(完整版)有理数知识点梳理归纳和习题练习,推荐文档

1、有理数知识点梳理一、正数和负数1 数和负数的概念负数：比 0 小的数正数：比 0 大的数0 既不是正数，也不是负数注意：字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；当 a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表示 0 时，-a 仍是 0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a 就不能做出简单判断）正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上 8表示为：+8；零下 8表示为：-83.0 表示的意义0

2、表示“ 没有”，如教室里有 0 个人，就是说教室里没有人；0 是正数和负数的分界线，0 既不是正数，也不是负数。如：整数。二、有理数1. 有理数的概念正整数、0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数）正分数和负分数统称为分数正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。 是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8也是偶数，-1,-3,-5也是奇数。2. 有理数的分类按有理数的意义分类按正、负来分正整数

3、正整数整数0正有理数负整数正分数有理数有理数0 （0 不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数）负整数、0 统称为非正整数正有理数、0 统称为非负有理数负有理数、0 统称为非正有理数三、数轴1 轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；同一数轴上的单位长度要统一；数轴的三要素都是根据实际需要规定的。2. 数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点来表示：正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0 用原点表示。所有的

4、有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说， 有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点 不是有理数）3. 利用数轴表示两数大小在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数；两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。4. 数轴上特殊的最大（小）数最小的自然数是 0，无最大的自然数；最小的正整数是 1，无最大的正整数；最大的负整数是-1，无最小的负整数5.a 可以表示什么数a0 表示 a 是正数；反之，a 是正数，则 a0；a0 表示 a 是负数；反之，a 是负数，则 a0 时，-a0（正数的相反数是负数）

5、当 a0（负数的相反数是正数） 当 a=0 时，-a=0，（0 的相反数是 0）6. 多重符号的化简多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。五、绝对值 绝对值的几何定义一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作|a|。2.绝对值的代数定义绝对值的代数定义可用字母表示为(1)正数的绝对值是它本身；(1)如果 a0，那么|a|=a；(2)一个负数的绝对值是它的相反数；(2)如果 a0，那么|a|=-a；(3)0 的绝对值是 0.(3)如果 a=0，那

6、么|a|=0。可归纳为：a0， |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）a0， |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）3. 绝对值的性质任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a 取任何有理数，都有|a|0。即 0 的绝对值是 0；绝对值是 0 的数是 0.即：a=0 |a|=0；一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是 0.即：|a|0；任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|a；绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a0），则 x=a；互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a

7、|=|a|或若 a+b=0，则|a|=|b|；绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则 a=b 或 a=-b；若几个数的绝对值的和等于 0，则这几个数就同时为 0。即|a|+|b|=0，则 a=0 且 b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为 0，则有且只有这几个非负数同时为0）4. 有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。5. 绝对值的化简当 a0 时， |a|=a ；当 a0 时， |a|=-a6. 已知一个数的绝对值，求这个数

8、一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为 0 的数是 0，没有绝对值为负数的数。六、有理数的加减法1. 有理数的加法法则同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加，和为零；一个数与零相加，仍得这个数。2. 有理数加法的运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法

9、”；符号相同的两个数先相加“同号结合法”；分母相同的数先相加“同分母结合法”；几个数相加得到整数，先相加“凑整法”；整数与整数、小数与小数相加“同形结合法”。3. 加法性质加法性质可用字母表示为(1)一个数加正数后的和比原数大当 b0 时，a+ba(2)加负数后的和比原数小当 b0 时，a+ba(3)加 0 后的和等于原数当 b=0 时，a+b=a4. 有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。5. 有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。在算式里，通常把各个加数的括号

10、和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.算式的读法：按这个式子表示的意义读作“负 8、负 7、负 6、正 5 的和”按运算意义读作“负 8 减 7 减 6 加 5”6. 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：.把符号相同的加数相结合（同号结合法）(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)解：原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)（将减法转换成加法）=-33+18-15-1+23（省略加号和括号）=(-33-15-1)+(18+23)（把符号相同的加数相结合）=-49+41（运用加法法则

11、一进行运算）=-8（运用加法法则二进行运算）.把和为整数的加数相结合 （凑整法）(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)解：原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)（将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加号和括号）=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8（把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8（运用加法法则进行运算）=7.8-10（把符号相同的加数相结合，并进行运算）=-2.2（得出结论）.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）313217- - + - + -5245283211

12、37解：原式=(- - )+(- + )+(+ - )55=-1+0- 122488=-1 18.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）312(+0.125)-(-3 )+(-3 )-(-10 )-(+1.25)1 43 813a解：原式=(+ )+(+3 )+(-3 )+(+10 )+(-1 )848b13121= +3 -3 +10 (3 -1 )+( -3 )+104488312=2 -3+1023=-3+13 16=10 16.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）1617-3 +10 -12 +4 51122151761解 ： 原 式 =(-3+

13、10-12+4)+(- + )+( - )5 151122=-1+ 4 + 1115=-1+ 83022+ 1530- 730.分组结合2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69解：原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+(66-67-68+69)=0.先拆项后结合（1+3+5+7+99）-（2+4+6+8+100）七、有理数的乘除法1. 有理数的乘法法则法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负” 专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）法则二：任何数同 0 相乘，都得 0；法则三：几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是

14、偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；法则四：几个数相乘，如果其中有因数为 0,则积等于 0.2. 倒数乘积是 1 的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为1111a =1（a0），就是说 a 和 互为倒数，即 a 是 的倒数， 是 a 的倒数。aaaa注意：0 没有倒数；求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可； 求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；倒数等于它本身的数是 1 或-1,不包括0。3.有理数的乘法运算律乘法交换律：一般地，

15、有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即 ab=ba乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即(ab) c=a(bc).乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘， 在把积相加。即 a(b+c)=ab+ac4. 有理数的除法法则（1） 除以一个不等 0 的数，等于乘以这个数的倒数。（2） 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何一个不等于 0 的数， 都得 05. 有理数的乘除混合运算（1） 乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。（2） 有理数的加减乘除混合运算，如无括号指

16、出先做什么运算，则按照先乘除，后加减的顺序进行。八、有理数的乘方1. 乘方的概念求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an 中，a 叫做底数，n 叫做指数。2. 乘方的性质（1） 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。（2） 正数的任何次幂都是正数，0 的任何正整数次幂都是 0。九、有理数的混合运算做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：1. 先乘方，再乘除，最后加减；2. 同级运算，从左到右进行；3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。十、科学记数法把一个大于 10 的数表示成科学记数法。一填空题a 10n 的形式（其中1 a 0b. a

17、 0，b0ba0cab0d以上均不对bo a（）下列交换加数位置的变形中，正确的是（）（a）1-4+5-4=1-4+4-5（b）1-2+3-4=2-1+4-3（c）4.5- 1.7- 2.5+1.8=4.5- 2.5+1.8-1.713111311（d）- + -=+- -34644436（）近似数 2.30104 的有效数字有（）（a）5 个（b）3 个（c）2 个（d）以上都不对）若-a 不是负数，那么 a 一定是（）。（a）负数（b）正数（c）正数和零（d）负数和零（）如图，在数轴上有 a、b 两个有理数，则下列结论中，不正确的是（）3（a）a+b0（b）a-b0a（c） ab0b2个有

18、理数相加，若和为负数，则加数中负数的个数（）(a) 有2个(b)只有1个(c) 至少1个(d) 也 可 能 是 0 个若三个有理数的和为0，则下列结论正确的是（）(a)这三个数都是0(b)最少有两个数是负数(c)最多有两个正数(d)这三个数是互为相反数两个数的差是负数,则这两个数一定是()(a) 被减数是正数,减数是负数(b) 被减数是负数,减数是正数(c) 被减数是负数,减数也是负数下列四个式子：(1) , - -1为 1 的有()(a) 1 个(b) 2 个, (1)3 , (1)8.其中计算结果(c) 3 个(d)4 个2007 年中国月球探测工程的“嫦娥一号”卫星将发射升空飞向月球。已

19、知地球距离月球表面约为 384000 千米，那么这个距离用科学记数法（保留三个有效数字）表示应为（ ）（a）3.84104 千米（b）3.84105 千米（c）3.84106 千米（d）38.4104 千米 计算(1- 1 + 1 + 1 ) (-12) ，运用哪种运算律可避免通分（）23(a) 加法交换律4(b) 加法结合律(c)乘法交换律(d) 分配律数a四舍五入后的近似值为3.1, 则a的取值范围是() (a) 3.05a3.15(b) 3.14a3.15(c) 3.144a3.149(d) 3.0a3.2一个数的立方就是它本身,则这个数是() (a) 1(b) 0(c) 1(d) 1

20、或 0 或1三计算题（能用简便算法的用简便算法）（1）8( 1 )5(0.25)（2）82+72364（3）7 1 1 3 (919)（4）25 3 +(25) 1 25(24421 )4（5）(79)2 1 4 (29)（6）(1)3(1 1 )33(3)4922（7）2(x-3)-3(-x+1)(8) a+2(a-1)-(3a+5)11211（）（4 -3 ）（-2）-2（-）15( )15(0.25)3232424411313（）（- ） （-） （-1） -（1 +1 -2 ）2442834) (-5) + (-2) + (+9) - (-8)() 0.85 + (+0.75) - (

21、+2 3 ) + (-1.85) + (+3)()()-15 + (+3) - (-15) + (+7) - (+2) + (-8) 2 - (-5 2 ) - (- 1)433 () 1- (- 1 ) + (- 1) - 3()5 1 - 3 4 + 4 4 - 1234111717 11（） (-81) 9 4 (-32) ;（）29 23 (-12)4924（）25 3 (25) 1 25( 1 )424）3-(+63)-(-259)-(-41)；）2 1 )-(+10 1 )+(-8 1 )-(+3 2 )；3355）598-12 4 - 313 -84；）-8721+53 19 -

22、1279+43 2552121(- 3 - 5 + 7 )1| - 7 |( 2 - 1) - 1 (-4)24912 36 ;9 3531- 12 -3 2+ (-12) 6 (- 33) 74四、比较下列各对数的大小（1） - 4 与- 3（2） - 4 + 5 与 - 4 + 5（3） 52 与25 （4） 2 32 与(2 3)254、, 0,1 ,五在数轴上表示数：， 22 , - 1122-1.5 按从小到大的顺序用连接起来六、（4 分）（1）将下列各数填入相应的圈内： 2 12，5 ， 0，1.5 ，2，3。正数集合整数集合（2 ）说出这两个圈的重叠部分表示的是什么数的集合：。七

23、、已知： x + 1 = 4,( y + 2)2 = 4 ，求 x + y 的值.（5 分）八(8 分)数轴上 a, b, c, d 四点表示的有理数分别为 1, 3,5, 8 (1). 计算以下各点之间的距离： a、b 两点, b、c 两点,c、d 两点,九、画一条数轴，并在数轴上表示：3.5 和它的相反数，2 1 和它的倒数，绝对值等于 3的数，最大的负整数和它的平方，并把这些数由小到大用“0x，y0，求 x - y + 2 -强化训练y - x - 3 的值。. (10 分)某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走 100 米到聪聪家,再向西走 150 米到

24、青青家,再向西走 200 米到刚刚家,请问:(1) 聪聪家与刚刚家相距多远?(2) 如果把这条人民路看作一条数轴,以向东为正方向,以校门口为原点,请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置(数轴上一格表示 50 米).(3) 聪聪家向西 210 米是体育场，体育场所在点所表示的数是多少? (4)你认为可用什么办法求数轴上两点之间的距离? 学校组织同学到博物馆参观，小明因事没有和同学同时出发，于是准备在学校门口搭乘出租车赶去与同学们会合，出租车的收费标准是：起步价为 6 元，3 千米后每千米收1.2 元，不足 1 千米的按 1 千米计算。请你回答下列问题：（1）小明乘车 3.8 千米，应付费元

25、。（3） 小明乘车 x（x 是大于 3 的整数）千米，应付费多少钱？（4） 小明身上仅有 10 元钱，乘出租车到距学校 7 千米远的博物馆的车费够不够？请说明理由。、一天小明和冬冬利用温差来测量山峰的高度。冬冬在山脚测得的温度是4，小明此时在山顶测得的温度是2，已知该地区高度每升高100 米，气温下降0.8，问这个山峰有多高？(5 分)、下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京的时间早的时数）。现在的北京时间是上午 800（1） 求现在纽约时间是多少？（2） 斌斌现在想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？3 分城市时差/ 时纽约13巴黎7（4 分）某商店营业员每月的基

26、本工资为 300 元，奖金制度是：每月完成规定指标10000 元营业额的，发奖金 300 元；若营业额超过规定指标，另奖超额部分营业额的 5%， 该商店的一名营业员九月份完成营业额 13200 元，问他九月份的收入为多少元？、淮海商场经理对今年上半年每月的利润作了如下记录：1、2、5、6 月盈利分别是 33 万元、32 万元、52.5 万元、28 万元，3、4 月亏损分别是 17.7 万元和 17.8 万元。试用正、负数表示各月的利润，并算出该商场上半年的总利润额。 (6 分)日期1 日2 日3 日4 日5 日6 日7 日人数变化单位：万人1.60.80.4-0.4-0.80.2-1.2、（请你帮忙算一算）在“十一”黄金周期间，淮北市风景区在 7 天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）： 请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？(2) 若 9 月 30 日的游客人数为 2 万人，求这 7 天的游客总人数是多少万人？ 8 分十三拓展题ab1如果规定符号“”的意义是a b = a + b ，求 2 (-3) 4 的值。2已知| x +1|= 4， ( y + 2)2 = 4 ，求 x + y 的值。、小虫从某点 o 出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬