2021届高考数学一轮复习第八章立体几何第五节直线与平面垂直的判定及其性质学案理含解析

1、第五节第五节直线与平面垂直的判定及其性质直线与平面垂直的判定及其性质最新考纲考情分析核心素养1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理.2.能运用线面垂直、 面面垂直的判定定理及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.1.以空间几何体为载体，考查线线、线面、面面垂直的证明.2.利用垂直关系及垂直的性质进行适当的转化，处理综合问题.1.直观想象2.逻辑推理3.数学运算知识梳理1直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义直线 l 与平面内的1任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面互相垂直(2)直线与平面垂直的判

2、定定理及性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的2两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直3a，b4abo5la6lbl性质定理垂直于同一个平面的两条直线7平行8a9bab常用结论1直线与平面垂直的定义常常逆用，即 a，bab.2若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面3垂直于同一条直线的两个平面平行4过一点有且只有一条直线与已知平面垂直5过一点有且只有一个平面与已知直线垂直2平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的10垂线，则这两个平面垂直11l12l性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于13交线的直线与另一个

3、平面垂直1415l16a17lal基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线 l 与平面内无数条直线都垂直，则 l.()(2)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()答案：(1)(2)(3)二、走进教材2(必修 2p66练习改编)已知直线 a，b 和平面，且 ab，a，则 b 与的位置关系为()abbbcb或 bdb 与相交答案：c3(必修 2p67练习 2 改编)已知 p 为abc 所在平面外一点，且 pa，pb，pc 两两垂直，有下列结论：pabc；pbac；pcab；ab

4、bc其中正确的是()abcd答案：a三、易错自纠4.如图， 在 rtabc 中， abc90， p 为abc 所在平面外一点，pa平面 abc，则四面体 pabc 中共有直角三角形的个数为()a4b3c2d1解析：选 a由 pa平面 abc 可得，pac，pab 是直角三角形，且 pabc又abc90，即 abbc，所以abc 是直角三角形，且 bc平面 pab，所以 bcpb，即pbc 为直角三角形，故四面体 pabc 中共有 4 个直角三角形5 “直线 a 与平面 m 内的无数条直线都垂直”是“直线 a 与平面 m 垂直”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条

5、件解析：选 b根据直线与平面垂直的定义知由“直线 a 与平面 m 的无数条直线都垂直”不能推出“直线 a 与平面 m 垂直”，反之成立，所以是必要不充分条件6设 a，b 是夹角为 30的异面直线，则满足条件“a，b，且 ”的平面，()a不存在b有且只有一对c有且只有两对d有无数对解析：选 d过直线 a 的平面有无数个，当平面与直线 b 平行时，两直线的垂线与 b确定的平面，当平面与 b 相交时，过交点作平面的垂线与 b 确定的平面，故选 d考点一直线与平面垂直的判定与性质【例 1】如图，在四棱锥 pabcd 中，pa底面 abcd，abad，accd，abc60，paabbc，e 是 pc 的

6、中点求证：(1)cdae；(2)pd平面 abe.证明(1)因为 pa平面 abcd，cd平面 abcd，所以 pacd因为 accd，paaca，所以 cd平面 pac又 ae平面 pac，所以 cdae.(2)由 paabbc，abc60，可得 acpa.因为 e 是 pc 的中点，所以 aepc由(1)知，aecd，且 pccdc，所以 ae平面 pcd又 pd平面 pcd，所以 aepd因为 pa平面 abcd，ab平面 abcd，所以 paab又 abad，paada，所以 ab平面 pad，又 pd平面 pad，所以 abpd又 aeaba，所以 pd平面 abe.名师点津证明直线

7、与平面垂直与利用线面垂直的性质证明线线垂直的通法是线面垂直的判定定理的应用，其思维流程为第一步找相交直线|在一个平面内找到两条相交直线第二步证线线垂直|证明平面外的直线与这两条相交直线都垂直第三步证线面垂直|利用直线与平面垂直的判定定理证得线面垂直第四步证线线垂直|由线面垂直的性质得到线线垂直|跟踪训练|1s 是 rtabc 所在平面外一点，且 sasbsc，d 为斜边 ac 的中点(1)求证：sd面 abc；(2)若 abbc，求证：bd面 sac证明：(1)如图所示，取 ab 的中点 e，连接 se，de，在 rtabc 中，d，e 分别为 ac，ab 的中点，debc，又由题意知，abb

8、c，deabsasb，sab 为等腰三角形，seab又 sedee，ab面 sde.又 sd面 sde，absd在sac 中，sasc，d 为 ac 的中点，sdac又 acaba，sd面 abc(2)abbc，d 为 ac 的中点，bdac由(1)可知，sd面 abc，又 bd面 abc，sdbd，又 sdacd，bd面 sac考点二面面垂直的判定与性质【例 2】(2019 年北京卷)如图，在四棱锥 pabcd 中，pa平面 abcd，底面 abcd为菱形，e 为 cd 的中点(1)求证：bd平面 pac；(2)若abc60，求证：平面 pab平面 pae；(3)棱 pb 上是否存在点 f，

9、使得 cf平面 pae？说明理由解(1)证明：因为 pa平面 abcd，bd平面 abcd，所以pabd又因为底面 abcd 为菱形，所以 bdac因为 paaca，所以 bd平面 pac(2)证明：因为 pa平面 abcd，ae平面 abcd，所以 paae.因为底面 abcd 为菱形，abc60，且 e 为 cd 的中点，所以 aecd所以 abae.又 paaba，所以 ae平面 pab又 ae平面 pae，所以平面 pab平面 pae.(3)棱 pb 上存在点 f，使得 cf平面 pae.理由如下：如图所示，取 f 为 pb 的中点，取 g 为 pa 的中点，连接 cf，fg，eg，则

10、 fgab，且 fg12ab因为底面 abcd 为菱形，且 e 为 cd 的中点，所以 ceab，且 ce12ab所以 fgce，且 fgce.所以四边形 cegf 为平行四边形所以 cfeg.因为 cf平面 pae，eg平面 pae，所以 cf平面 pae.名师点津1面面垂直判定的 2 种方法与 1 个转化(1)2 种方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(，a)(2)1 个转化在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直2面面垂直性质的应用(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直

11、线”(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面|跟踪训练|2(2019 届成都模拟)如图，在四面体 pabc 中，papcabbc5，ac6，pb4 2，线段 ac，pa 的中点分别为 o，q.(1)求证：平面 pac平面 abc；(2)求四面体 pobq 的体积解：(1)证明：papc，o 是 ac 的中点，poac，oa12ac3.在 rtpao 中，pa5，oa3，由勾股定理，得 po4，abbc，o 是 ac 的中点，boac在 rtbao 中，ab5，oa3，由勾股定理，得 bo4.在pob 中，po4，bo4，pb4 2，po2bo2pb2，pobo.bo

12、aco，po平面 abcpo平面 pac，平面 pac平面 abc(2)由(1)，可知平面 pac平面 abc平面 abc平面 pacac，boac，bo平面 abc，bo平面 pac，vpobqvbpoq13spqobo1312spao413344，四面体 pobq 的体积为 4.考点三平行与垂直的综合问题多维探究命题角度一平行与垂直关系的证明【例 3】(2019 年江苏卷)如图，在直三棱柱 abca1b1c1中，d，e 分别为 bc，ac 的中点，abbc求证：(1)a1b1平面 dec1；(2)bec1e.证明(1)在abc 中，因为 d，e 分别为 bc，ac 的中点，所以 edab在

13、直三棱柱 abca1b1c1中，aba1b1，所以 a1b1ed又因为 ed平面 dec1，a1b1平面 dec1，所以 a1b1平面 dec1.(2)因为 abbc，e 为 ac 的中点，所以 beac因为三棱柱 abca1b1c1是直棱柱，所以 c1c平面 abc又因为 be平面 abc，所以 c1cbe.因为 c1c平面 a1acc1，ac平面 a1acc1，c1cacc，所以 be平面 a1acc1.因为 c1e平面 a1acc1，所以 bec1e.名师点津平行与垂直关系的证明最常用的方法是利用判定定理去证明，注意证题的规范化命题角度二折叠问题中的平行与垂直问题【例 4】如图，四边形

14、abcd 为平行四边形，沿 bd 将bcd 折起，使点 c 到达点 p的位置(1)若 bc2ab，bcd60，平面 pbd平面 abd求证：ab平面 pbd(2)点 m，n 分别在线段 pa，pb 上，ab平面 dmn，试确定 m，n 的位置，使平面 dmn将三棱锥 pabd 分成的两部分的体积比为 13.解(1)证明：设 abx，则 cdx，bc2x，又在bcd 中，bcd60，由余弦定理可得 bd 3x.又 adbc2x，ad2ab2bd2，abbd又平面 pbd平面 abd，平面 pbd平面 abdbd，ab平面 pbd(2)ab平面 dmn，平面 dmn平面 abpmn，abmn.要使

15、平面 dmn 将三棱锥 pabd 分成的两部分的体积比为 13，则 v三棱锥dpmn14v三棱锥dpab或 v三棱锥dpmn34v三棱锥dpab当 v三棱锥dpmn14v三棱锥dpab时，spmnspab14，即pm2pa2pn2pb214，即pmpapnpb12；当 v三棱锥dpmn34v三棱锥dpab时，spmnspab34，即pm2pa2pn2pb234，即pmpapnpb32.故当pmpapnpb12或pmpapnpb32时， 平面 dmn 将三棱锥 pabd 分成的两部分的体积比为 13.名师点津解决折叠类问题的步骤第一步确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量第二

16、步在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面第三步利用判定定理或性质定理进行证明|跟踪训练|3(2018 年全国卷)如图，在平行四边形 abcm 中，abac3，acm90.以 ac为折痕将acm 折起，使点 m 到达点 d 的位置，且 abda.(1)证明：平面 acd平面 abc；(2)q 为线段 ad 上一点，p 为线段 bc 上一点，且 bpdq23da，求三棱锥 qabp 的体积解：(1)证明：由已知可得，bac90，即 baac又因为 baad，acada，所以 ab平面 acd因为 ab平面 abc，所以平面 acd平面 abc(2)由已知可得，dccmab3，da

17、3 2.又 bpdq23da，所以 bp2 2.如图，过点 q 作 qeac，垂足为 e，则 qe13dc由已知及(1)可得，dc平面 abc，所以 qe平面 abc，qe1.因此，三棱锥 qabp 的体积为vqabp13sabpqe131232 2sin 4511.考点直线与平面垂直关系的创新应用【例】(2019 届湖南湘潭二模)如图，在长方体 abcda1b1c1d1中，ab1，bc 3，点 m 在棱 cc1上，当 md1ma 取得最小值时，md1ma，则棱 cc1的长为_解析把平面 dcc1d1展开到长方形 acc1a1所在平面，如图，当 a，m，d1在同一条直线上时，md1ma 取得最小值，此时mamd1acc1d121.令 ma2x，md1x，cc1h，则（2x）2x2h23，（3x）2h232，解得 h3 22.故棱 cc1的长为3 22.答案3 22名师点津把平面 dcc1d1展开到长方形 acc1a1所在平面，当 a，m，d1三点共线时，md1ma 取得最小值，从而得出点 m 的位置|跟踪训练|(2019 届郑州市第一次质量预测)已知直三棱柱 abca1b1c1的底面为等腰直角三角形，abac，点 m，n 分别是边 ab1，a1c 上的动点，若直线 mn平面 bcc1