专题18几何变式探究和类比变换综合类问题解析版苏科版

1、2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】专题18几何变式探究和类比变换综合类问题【方法指导】图形的类比变换是近年来中考的常考点，常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形全等或相似的性质与判定，难度较大此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行类比解答根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等解决此类问题要善于将复杂图象分解为几个基本图形，通过添加副主席补全或构造基本图形，借助转化、方程、数形结合、分类讨论等数学思想解决几何证明问题，计算则把几何与代数知识综合起来，渗透数形结合思想，考查学生分析问题的能力、逻辑思维和推理能力.【题型

2、剖析】【类型1】几何类比变换综合题【例1】（2018秋盐都区期中）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题（1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，探索线段、之间的数量关系解题思路：延长到点，使，连接，根据，可证易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、之间的数量关系根据上述解题思路，请直接写出、之间的数量关系是；【拓展延伸】（2）如图2，在中，若点是边下方一点，探索线段、之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为的三角板，把斜边重叠摆

3、放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离的长分别为【分析】（1）由等边三角形知，结合知，由知，证得，再证是等边三角形得（2）延长到点，使，连接，先证得，据此可得，由勾股定理知，继而可得；（3）由直角三角形的性质知，利用（2）中的结论知，据此可得答案【解析】（1）如图1，延长到点，使，连接，是等边三角形，又，即，即，是等边三角形，即，故答案为：；（2），如图2，延长到点，使，连接，；（3）如图3，连接，由（2）知，故答案为：【点评】此题是三角形的综合题，主要考查了考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键【变式1-1】（2

4、019亭湖区二模）【阅读材料】小明遇到这样一个问题：如图1，点在等边三角形内，且，求的长小明发现，以为边作等边三角形，连接，得到；由等边三角形的性质，可证，得；由已知，可知的大小，进而可求得的长（1）请回答：在图1中，【问题解决】（2）参考小明思考问题的方法，解决下面问题：如图2，中，点在内，且，求的长【灵活运用】（3）如图3，在中，且，点在外，且，直接写出长的最大值【分析】（1）由，得，因为为等边三角形，所以，可得，在中，用勾股定理可求得的长；（2）如图2中，把绕点逆时针旋转得到首先证明，再证明，共线，利用勾股定理即可解决问题（3）如图3中，作，使得，则，利用相似三角形的性质求出，即可解决问

5、题【解析】（1）如图1中，为等边三角形，故答案为：，5；（2）如图2中，把绕点逆时针旋转得到由旋转性质可知；，是等腰直角三角形，共线，在中，（3）如图3中，作，使得，则，的最大值为【变式1-2】（2018亭湖区二模）如图，在等腰与等腰中，（1）连接，（如图，请直接写出线段，的数量关系；（2）在（1）的基础上，延长交于点，连接（如图，试探究线段，的数量关系，并证明你的结论；（3）连接，取的中点，连接（如图，若，求的长【分析】（1）结论：只要证明即可解决问题；（2）结论：如图中，作交于想办法证明，是等腰直角三角形即可解决问题；（3）如图中，作交的延长线于，作交的延长线于，作于想办法求出，即可解决问

6、题；【解析】（1）结论：理由：如图中，故答案为（2）结论：理由：如图中，作交于，是等腰直角三角形，（3）如图中，作交的延长线于，作交的延长线于，作于在中，设，则有，解得，由，可得，在中，设，解得，在中，【类型2】几何旋转变换综合题【例2】（2019海州区一模）如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，（1）操作发现：如图2，固定，使绕点旋转，当点恰好落在边上时，填空：线段与的位置关系是；设的面积为，的面积为，则与的数量关系是（2）猜想论证：当绕点旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中、边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知，点是角

7、平分线上一点，交于点（如图，若在射线上存在点，使，请求出相应的的长【分析】（1）证明即可判断首先证明，推出与的面积相等，再证明与的面积相等即可（2）作交的延长线于，于，证明即可解决问题（3）分两种情形分别求解即可解决问题【解析】（1）如图1中，由旋转可知：，是等边三角形，故答案为：，（2）如图3中，是由绕点旋转得到，在和中，（3）如图4中，作交于延长交于，四边形是平行四边形，平分，四边形是菱形，作点关于的对称点，连接，易知，在中，综上所述，满足条件的的值为或【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添

8、加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴【变式2-1】（2019辽阳模拟）旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题已知，中，点、在边上，且（1）如图1，当时，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，求的度数；求证：；（2）如图2，当时，猜想、的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当，时，请直接写出的长为【分析】（1）利用旋转的性质得出，再用角的和即可得出结论；利用判断出，即可得出结论；（2）先判断出，再判断出，即可得出结论；（3）同（2）的方法判断出，再用含30度角的直角三角形求出，最后用勾股定理即可得出结论【解析】（1）由旋转得，

9、；由旋转知，在和中，；（2），理由：如图2，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，由（1）知，根据勾股定理得，即：；（3）如图3，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，由（1）知，过点作于，在中，根据勾股定理得，故答案为【变式2-2】（2019宜兴市二模）【问题提出】如图1，四边形中，求四边形的面积【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题（1）如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是 （2）在（1）的基础上，求四边形的面积类比应用如图3，四边形中，求四边形的面积【分析】（1）易证，则，所以是等边三角形；（2）知等边三角形的边长为3，求

10、出即可；【类比应用】类比（1），连接，由于，所以可将绕点逆时针方向旋转，得到，连接，延长，作；易证是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用勾股定理计算，求和的面积和即可【解析】（1）如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，是等边三角形；（2）由（1）知，四边形的面积等边三角形的面积，；【类比应用】如图3，连接，由于，所以可将绕点逆时针方向旋转，得到，连接，延长，作；，【类型3】几何翻折变换综合题【例3】（2019江都区三模）如图1，有一张矩形纸片，已知，现将纸片进行如下操作：首先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次

11、的折痕上的点处，点在上（如图（1）如图2，判断四边形的形状，并说明理由；（2）如图3，求的长【分析】（1）由折叠可得：，且，即可得出结论；（2）过点作，交、于点、，由四边形为正方形，可求得的长，得出和为等腰直角三角形，设，则可表示出、，利用折叠的性质可得到，在中，利用勾股定理可求得，即可得出结果【解析】（1）四边形是正方形，理由如下：四边形为矩形，由折叠可得：，且，四边形为正方形；（2）过点作，分别交、于点、，如图3所示：四边形是正方形，和为等腰直角三角形，且，设，则，又由折叠的性质可知：，在中，由勾股定理可得，即，解得：，【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、正方形的判定和性质、等腰

12、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，由勾股定理得出方程是解题的关键【变式3-1】（2019广陵区校级二模）如图，将矩形先过点的直线翻折，点的对应点刚好落在边上，直线交于点；再将矩形沿过点的直线翻折，使点的对应点落在上，的延长线交于点（1）当四边形是平行四边形时，求的度数（2）当点与点刚好重合时，试判断的形状，并说明理由【分析】（1）如图1中，在中，由推出，再证明四边形是菱形即可解决问题（2）如图2中，先证明得出，发现、都是等腰直角三角形，再证明即可解决问题【解析】（1）如图1中，四边形是平行四边形，四边形是菱形，是由翻折得到，四边形是矩形，（2）结论：是等腰直角三角形

13、理由：如图2中，连接四边形是矩形，在 和中，在和中，是等腰直角三角形【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定等知识，第一问的关键是菱形性质的应用，第二个问题的关键是正确寻找全等三角形，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型【变式3-2】（2018深圳模拟）已知矩形纸片中，操作：将矩形纸片沿折叠，使点落在边上探究：（1）如图1，若点与点重合，你认为和全等吗？如果全等，请给出证明，如果不全等，请说明理由；（2）如图2，若点与的中点重合，请你判断、和之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果和相应的相似比；（3）如图2，请你

14、探索，当点落在边上何处，即的长度为多少时，与全等【分析】（1）由四边形是矩形，可得，由折叠的性质可得：，然后利用同角的余角相等，可证得，则可利用证得和全等；（2）易得和全等，与相似，然后设，由勾股定理可得方程，解此方程即可求得答案；（3）设，则有，在直角中，可得，解此方程即可求得答案【解析】（1）全等证明：四边形是矩形，由题意知：，在和中，；（2）和全等，与相似，设，则，与相似，相似比为（3）与全等设，则有，在直角中，可得，整理得，解得：（另一解舍去），当时，与全等【达标检测】1如图1，在rtabc中，abac，d、e是斜边bc上两动点，且dae45，将abe绕点a逆时针旋转90后，得到afc

15、，连接df（1）试说明：aedafd；（2）当be3，ce9时，求bcf的度数和de的长；（3）如图2，abc和ade都是等腰直角三角形，bacdae90，d是斜边bc所在直线上一点，bd3，bc8，求de2的长【分析】（1）想办法证明daedaf，由dada，aeaf，即可证明；（2）如图1中，设dex，则cd9x在rtdcf中，由df2cd2+cf2，cfbe3，推出x2（9x）2+32，解方程即可；（3）分两种情形当点e在线段bc上时，如图2中，连接be由eadadc，推出abecabc45，ebcd5，推出ebd90，推出de2be2+bd252+3234；当点d在cb的延长线上时，如

16、图3中，同法可得de2130；【解析】（1）如图1中，baecaf，aeaf，baecaf，bac90，ead45，cad+baecad+caf45，daedaf，dada，aeaf，aedafd；（2）如图1中，设dex，则cd9xabac，bac90，bacb45，abeacf45，dcf90，aedafd，dedfx，在rtdcf中，df2cd2+cf2，cfbe3，x2（9x）2+32，x5，de5（3）当点e在线段bc上时，如图2中，连接bebacead90，eabdac，aead，abac，eadadc，abecabc45，ebcd5，ebd90，de2be2+bd252+3234

17、，当点d在cb的延长线上时，如图3中，连接be同法可证dbe是直角三角形，ebcd11，db3，de2eb2+bd2121+9130，综上所述，de2的值为34或1302如图，在等腰abc和ade中，abac，adae，且bacdae120（1）求证：abdace；（2）把ade绕点a逆时针方向旋转到图的位置，连接cd，点m、p、n分别为de、dc、bc的中点，连接mn、pn、pm，判断pmn的形状，并说明理由；（3）在（2）中，把ade绕点a在平面内自由旋转，若ad4，ab6，请分别求出pmn周长的最小值与最大值【分析】（1）根据全等三角形的判定证明即可；（2）根据平行线的性质和等边三角形的

18、判定解答即可；（3）根据点d在ab上时，bd最小和点d在ba延长线上时，bd最大矩形分析解答即可【解答】证明：（1）bacdae120，badcae，又abac，adae，abdade；（2）pmn是等边三角形理由：点p，m分别是cd，de的中点，pm=12ce，pmce，点n，m分别是bc，de的中点，pn=12bd，pnbd，同理可得bdce，pmpn，pmn是等腰三角形，pmce，dpmdce，pnbd，pncdbc，dpndcb+pncdcb+dbc，mpndpm+dpndce+dcb+dbcbce+dbcacb+ace+dbcacb+abd+dbcacb+abc，bac120，acb

19、+abc60，mpn60，pmn是等边三角形（3）由（2）知，pmn是等边三角形，pmpn=12bd，pm最大时，pmn面积最大，点d在ab上时，bd最小，bdabad2，pmn周长的最小值为3；点d在ba延长线上时，bd最大，bdab+ad10，pmn周长的最大值为15故答案为：pmn周长的最小值为3，最大值为153如图，在平面直角坐标系xoy中，点a（0，42），b（42，0），c（42，0），d（0，42），连接ab，ac，bd，点p是线段ab上的一个动点，连接pd，过点p作pepd，交线段ac于点e，将线段ep绕点e逆时针旋转90至ef（1）过点p的横坐标为-2，则ae1.5；（2）当

20、点p在线段ab上运动到何处时，线段ae最长？求出此时点p的坐标；（3）连接of当点p在线段ab上运动时，线段of的长度随之变化，求线段of长度的最小值【分析】（1）先判断出ap2，bp826，进而判断出bdpape，即可得出结论；（2）设apx，则bp8x，由bdpape，得出ae8-x=x8，即可得出结论；（3）先判断出pegefh，得出fhge，表示出bp8+2m，由bdpape，得出ae=-14m2-2m，即：gegm+me=-28m2-2m=-28（m+42）2+42，即可得出结论【解析】（1）由题可得，aoboco42，aob、aoc都是等腰直角三角形，ab8，点p的横坐标为-2，a

21、p2，bp826，dbpeapdpe90，bdp+bpdape+bpd90，bdpape，bdpape，aebp=apbd，即ae6=28，解得ae1.5，故答案为：1.5；（2）设apx，则bp8x，由（1）可得bdpape，aebp=apbd，即ae8-x=x8，ae=x(8-x)8=-(x-4)2+168，当x4时，ae有最大值，此时ap4，即p为ab的中点，p（22，22）；（3）如图，过e作x轴的平行线，交y轴于m，过点p作pgme于g，过点f作fhme于h，由pegefh，pghehf90，peef可得，pegefh，fhge，设p的横坐标为m，则g的横坐标为m，ap=-2m，bp

22、8+2m，bdpape，aebp=apbd，即ae8+2m=-2m8，ae=-14m2-2m，me=-28m2-m，gegm+me=-28m2-2m=-28（m+42）2+42，当m42时，de的最大值为42，即：f点到过点e平行于x轴的直线的最大距离为424如图1，rtabc中，c90，ab15，bc9，点d，e分别在ac，bc上，cd4x，ce3x，其中0x3（1）求证：deab；（2）当x1时，求点e到ab的距离； （3）将dce绕点e逆时针方向旋转，使得点d落在ab边上的d处在旋转的过程中，若点d的位置有且只有一个，求x的取值范围【分析】（1）欲证明deab，利用相似三角形的性质只要证

23、明cedcba即可；（2）过点e作ehab于点h由behbac，可得ehca=beab，由此构建方程即可解决问题；（3）当edab于点d，ed5x，eb93x，可得5x9-3x=1215，推出x=3637，当d与点b重合时，ed+ec9，可得3x+5x9，推出x=98，由此即可判断；【解答】（1）解：c90，ab15，bc9，ac12cd4x，ce3x，cdce=acbc，c90，cdecabcedcba，deab（2）过点e作ehab于点hx1，ce3，be6，cehb90，bb，behbac，ehca=beab，eh12=615，eh=245（3）当edab于点d，ed5x，eb93x，5

24、x9-3x=1215，x=3637，当d与点b重合时，ed+ec9，3x+5x9，x=98，98x3综上：x=3637或98x35在abc中，b45，c30，作apab，交bc于p点（1）如图1，若ab32，求bc的长；（2）点d是bc边上一点，连接ad，将线段ad绕点a逆时针旋转90，得到线段ae如图2，当点e落在ac边上时，求证：ce2bd；如图3，当adbc时，直接写出ce2ab2的值【分析】（1）利用锐角三角函数求出bh，ah，进而求出ac，ch，即可得出结论；（2）先判断出bdpe，进而判断出epb90，即可得出结论；先判断出adbddp，进而判断出四边形adpe是正方形，再设出ad

25、，进而表示出ab，进而得出pc，最后用勾股定理得出ce的平方，即可得出结论【解答】（1）如图1，过点a作ahbc于hahbahc90，在rtahb中，ab32，b45，bhabcosb3，ahabsinb3，在rtahc中，c30，ac2ah6，chaccosc33，bcbh+ch3+33（2）如图2，连接pe，易知，abdape，bdpe，bape45，epbepc90，c30，ce2pe，ce2bd，如图3，连接pe，adbc，b45，bdad，pab90，pad45，addp，adbddp，由旋转知，dae90adp，aead，aedp，四边形adpe是正方形，cpe90，pedpbd，

26、设adx，bddppex，在rtabd中，b45，ab22x2，在rtadc中，acb30，cd=3ad=3x，cpcddp（3-1）x，在rtpec中，根据勾股定理得，ce2pe2+pc2x2+（3-1）x2523，ce2ab2=5-2326【操作发现】如图1，abc为等边三角形，点d为ab边上的一点，dce30，将线段cd绕点c顺时针旋转60得到线段cf，连接af、ef，请直接写出下列结果：eaf的度数为 ；de与ef之间的数量关系为 ；【类比探究】如图2，abc为等腰直角三角形，acb90，点d为ab边上的一点，dce45，将线段cd绕点c顺时针旋转90得到线段cf，连接af、ef则ea

27、f的度数为 ；线段ae，ed，db之间有什么数量关系？请说明理由；【实际应用】如图3，abc是一个三角形的余料，小张同学量得acb120，acbc，他在边bc上取了d、e两点，并量得bcd15、dce60，这样cd、ce将abc分成三个小三角形，请求bcd、dce、ace这三个三角形的面积之比【分析】操作发现：由等边三角形的性质得出acbc，bacb60，求出acfbcd，证明acfbcd，得出cafb60，求出eafbac+caf120；证出dcefce，由sas证明dcefce，得出deef即可；类比探究：由等腰直角三角形的性质得出acbc，bacb45，证出acfbcd，由sas证明ac

28、fbcd，得出cafb45，afdb，求出eafbac+caf90；证出dcefce，由sas证明dcefce，得出deef；在rtaef中，由勾股定理得出ae2+af2ef2，即可得出结论；实际应用：同类比探究的方法：判断出eaf60，aef是直角三角形，即可得出bd，de，ae的关系，最后用同高的三角形的面积比等于底的比即可得出结论【解析】操作发现：abc是等边三角形，acbc，bacb60，由旋转知，cdcf，dcf60，acfbcd，在acf和bcd中，ac=bcacf=bcdcf=cd，acfbcd（sas），cafb60，eafbac+caf120；deef；理由如下：dcf60，

29、dce30，fce603030，dcefce，在dce和fce中，cd=cfdcf=fcece=ce，dcefce（sas），deef；类比探究：abc是等腰直角三角形，acb90，acbc，bacb45，由旋转知，cdcf，dcf90，acfbcd，在acf和bcd中，ac=bcacf=bcdcf=cd，acfbcd（sas），cafb45，afdb，eafbac+caf90；ae2+db2de2，理由如下：dcf90，dce45，fce904545，dcefce，在dce和fce中，cd=cfdce=fcece=ce，dcefce（sas），deef，在rtaef中，ae2+af2ef2，

30、又afdb，ae2+db2de2实际应用：如图3，将bcd绕点c顺时针旋转120，连接af，ef，abc是等腰三角形，acb120，acbc，bacb30，由旋转知，cdcf，dcf120，acfbcd，在acf和bcd中，ac=bcacf=bcdcf=cd，acfbcd（sas），cafb30，afdb，afcbdc180bbcd135eafbac+caf60，dcf120，dce60，fce1206060，dcefce，在dce和fce中，cd=cfdce=fcece=ce，dcefce（sas），deef，cfeadeb+bcd45，afe90，在rtaef中，eaf60，aef30，e

31、f=3af，ae2af，deef=3af，bdafsbcd：scde：sacebd：de：aeaf：3af：2af1：3：2故答案为：120，deef，907综合与实践：如图1，已知abc为等边三角形，点d，e分别在边ab、ac上，adae，连接dc，点m，p，n分别为de，dc，bc的中点（1）观察猜想在图1中，线段pm与pn的数量关系是pmpn，mpn的度数是120；（2）探究证明把ade绕点a逆时针方向旋转到图2的位置，判断pmn的形状，并说明理由；求mpn的度数；（3）拓展延伸若abc为直角三角形，bac90，abac10，点de分别在边ab，ac上，adae4，连接dc，点m，p，n

32、分别为de，dc，bc的中点把ade绕点a在平面内自由旋转，如图3，请直接写出pmn面积的最大值【分析】（1）根据三角形中位线定理可知pmpn，mpn120；（2）结论：pmn是等腰三角形只要证明badcae，推出bdce，再利用三角形中位线定理即可解决问题；利用三角形的外角，三角形内角和定理即可解决问题；（3）首先证明pmn是等腰直角三角形，先判断出bd最大时，pmn的面积最大，而bd最大是ab+ad14，即可【解析】（1）如图1中，abacbc，adae，bdce，bacb60，点m，p，n分别为de，dc，bc的中点，pnbd，pmec，pn=12bd，pm=12ce，pnpm，pncb

33、，dpmacd，mpnmpd+dpnacd+pnc+dcbacd+dcb+bacb+b120，故答案为pmpn，120（2）如图2中，连接bd、ecbacdae60，badcae，baca，daea，badcae，bdce，abdace，点m，p，n分别为de，dc，bc的中点，pnbd，pmec，pn=12bd，pm=12ce，pnpm，pmn是等腰三角形pnbd，pmecpncdbc，dpmaecd，mpnmpd+dpnecd+pnc+dcbecd+dcb+dbcace+acd+dcb+dbcabd+acb+dbcacb+abc120（3）如图3中，由旋转知，badcae，abac，ada

34、e，abdace（sas），abdace，bdce，同（2）的方法，利用三角形的中位线得，pn=12bd，pm=12ce，pmpn，pmn是等腰三角形，同（2）的方法得，pmce，dpmdce，同（2）的方法得，pnbd，pncdbcdpndcb+pncdcb+dbc，mpndpm+dpndce+dcb+dbcbce+dbcacb+ace+dbcacb+abd+dbcacb+abc，bac90，acb+abc90，mpn90，pmn是等腰直角三角形，pmpn=12bd，bd最大时，pm最大，pmn面积最大，点d在ba的延长线上，bdab+ad14，pm7，spmn最大=12pm2=1272=4

35、928【问题提出】在abc中，abacbc，点d和点a在直线bc的同侧，bdbc，bac，dbc，且+120，连接ad，求adb的度数（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当90，30时，利用轴对称知识，以ab为对称轴构造abd的轴对称图形abd，连接cd（如图2），然后利用90，30以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：dbc的形状是等边三角形；adb的度数为 【问题解决】在原问题中，当dbcabc（如图1）时，请计算adb的度数；【拓展应用】在原问题中，过点a作直线aebd，交直线bd于e，其他条件不变若bc7，ad2请直

36、接写出线段be的长为 【分析】【特例探究】如图2中，作abdabd，bdbd，连接cd，ad，由abdabd，推出dbc是等边三角形；借助的结论，再判断出adbadc，得adbadc，由此即可解决问题【问题解决】当60120时，如图3中，作ab dabd，b dbd，连接cd，ad，证明方法类似（1）【拓展应用】第种情况：当60120时，如图3中，作ab dabd，b dbd，连接cd，ad，证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形求出de，即可得出结论；第种情况：当060时，如图4中，作abdabd，bdbd，连接cd，ad证明方法类似（1），最后利用含30度角的直角三角形的性质即

37、可得出结论【解析】【特例探究】如图2中，作abdabd，bdbd，连接cd，ad，abac，bac90，abc45，dbc30，abdabcdbc15，在abd和abd中，ab=ababd=abdbd=bdabdabd，abdabd15，adbadb，dbcabd+abc60，bdbd，bdbc，bdbc，dbc是等边三角形，dbc是等边三角形，dbdc，bdc60，在adb和adc中，ad=addb=dcab=acadbadc，adbadc，adb=12bdc30，adb30故答案为：等边，30；【问题解决】解：dbcabc，60120，如图3中，作abdabd，bdbd，连接cd，ad，a

38、bac，abcacb，bac，abc=12（180）90-12，abdabcdbc90-12，同（1）可证abdabd，abdabd90-12，bdbd，adbadbdbcabd+abc90-12+90-12180（+），+120，dbc60，由（1）可知，adbadc，adbadc，adb=12bdc30，adb30【拓展应用】第情况：当60120时，如图31，由（2）知，adb30，作aebd，在rtade中，adb30，ad2，de=3，bcd是等边三角形，bdbc7，bdbd7，bebdde7-3；第情况：当060时，如图4中，作abdabd，bdbd，连接cd，ad同理可得：abc=

39、12（180）90-12，abddbcabc（90-12），同（1）可证abdabd，abdabd（90-12），bdbd，adbadb，dbcabcabd90-12（90-12）180（+），dbdc，bdc60同（1）可证adbadc，adbadc，adb+adc+bdc360，adbadb150，在rtade中，ade30，ad2，de=3，bebd+de7+3，故答案为：7+3或7-39点d为abc外一点，acb90，acbc（1）如图1，dce90，cdce，求证：adcbec；（2）如图2，若cdb45，aebd，cecd，求证：aebd；（3）如图3，若adc15，cd=2，bd

40、n，请直接用含n的式子表示ad的长【分析】（1）易证acdbce，可得adcbec；（2）延长dc交ae于f，连bf，易证acebcf，则aebf，bfcaec45fdb，结论得证；（3）过点c在cd上方作cecd，cecd，连be、de由（1）知acdbce，则becadc15，求出bed30，可求出oe，ob的长，则ad可求出【解答】（1）证明：dceacb90，acdbce，又acbc，cecd，acdbce（sas），adcbec（2）如图1，延长dc交ae于f，连bf，aebd，efccdb45eccd，cefcfe45，eccfacebcf，acbc，acebcf（sas），aeb

41、f，bfcaec45fdb，bfbd，aebd；（3）如图2，过点c在cd上方作cecd，cecd，连be、de设ad、be交于点o，由（1）知acdbce（sas），becadc15，doedce90又cedcde45，de=2cd=2，bed30，od=12de=1221，oe=de2-od2=3，ob=bd2-od2=n2-1，adbeob+oe=n2-1+310如图，abc是等边三角形，d是bc边的中点，以d为顶点作一个120的角，角的两边分别交直线ab、直线ac于m、n两点以点d为中心旋转mdn（mdn的度数不变），当dm与ab垂直时（如图所示），易证bm+cnbd（1）如图，当dm

42、与ab不垂直，点m在边ab上，点n在边ac上时，bm+cnbd是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图，当dm与ab不垂直，点m在边ab上，点n在边ac的延长线上时，bm+cnbd是否仍然成立？若不成立，请写出bm，cn，bd之间的数量关系，不用证明【分析】（1）过点d作deac交ab于e，易证bde是等边三角形，edc120，得出bdbede，edn+cdn120，证明cdnedm，由d是bc边的中点，得出debdcd，由asa证得cdnedm得出cnem，即可得出结论；（2）过点d作deac交ab于e，易证bde是等边三角形，mededc120，得出bdbede，

43、ncdmed，edm+cdm120，证明cdnedm，由d是bc边的中点得出debdcd，由asa证得cdnedm得出cnem，即可得出结果【解析】（1）结论bm+cnbd成立，理由如下：如图，过点d作deac交ab于e，abc是等边三角形，abc60，deac，beda60，bdec60，bbedbde60，bde是等边三角形，edc120，bdbede，edn+cdn120，edm+ednmdn120，cdnedm，d是bc边的中点，debdcd，在cdn和edm中，c=dem=60cd=decdn=edm，cdnedm（asa），cnem，bdbebm+embm+cn；（2）上述结论不成

44、立，bm，cn，bd之间的数量关系为：bmcnbd；理由如下：如图，过点d作deac交ab于e，abc是等边三角形，abc60，ncd120，deac，beda60，bdec60，bbedbde60，bde是等边三角形，mededc120，bdbede，ncdmed，edm+cdm120，cdn+cdmmdn120，cdnedm，d是bc边的中点，debdcd，在cdn和edm中，ncd=medcd=decdn=edm，cdnedm（asa），cnem，bdbebmembmcn，bmcnbd11在abc中，acb90，acbc，点p在边ab上，点d、q分别为边bc上的点，线段ad的延长线与线段pq的延长线交于点f，连接cp交af于点e，若bpfapc，fdfq（1）如图1，求证：afcp；（2）如图2，作afp的平分线fm交ab于点m，交bc于点n，若fnmn，求证：dq=13bc；（3）在（2）的条件下，连接dm、mq，分别交pc于点g、h，求eghp的值【分析】（1）apcbpq，ab，推出acppqb，由fdqcda，fqdpqb，推出acpcda，由acpcda，推出cpaf（2）证明：作wbbc，交cp延长线于点w由acdcbw