高数下册知识点

1、高等数学下册知识点第八章空间解析几何与向量代数(一)向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；az）；4、 利用坐标做向量的运算：设a (ax,ay,az)，b (bx,by,bz)， 则 a b (ax bx , ay by , az bz) , a ( ax , ay ,5、向量的模、方向角、投影：!22 21) 向量的模：r寸xy z ；/ 2 2 22) 两点间的距离公式：ABJ(x2 x1)(y2y1)(z2zi)3)方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角4)方

2、向余弦:COSx 一，cos r,cos r2 2 2cos cos cos 15)投影：Pr jua a cos ，其中为向量a与u的夹角（二）数量积，向量积1、数量积：aballbcos1)aaa22)aba b0a baxbxaybyazbz2、向量积：cab大小：| a b sin ，方向：a, b , c符合右手规则ijaxaybxbykazbz运算律：反交换律 b a(三)曲面及其方程1、曲面方程的概念： S : f (x, y,z) 0yoz面上曲线C : f (y,z) o，轴旋转一周:f (y,z2)轴旋转一周:,z)3、柱面:F (x,y)F(x,y)0表示母线平行于z轴,

3、准线为0的柱面4、二次曲面x21)椭圆锥面:a22 y b2z22)椭球面:x22、旋转曲面：x2旋转椭球面：a 23)单叶双曲面:yb24)双叶双曲面:2 x2 a2 y b22 z2 c122xyz5)椭圆抛物面:2b2a22xy6)双曲抛物面(马鞍面):a2b2z22xy17)椭圆柱面：2b2a22xy18)双曲柱面：2b2a29)抛物柱面：xay(四)空间曲线及其方程G(x,y,z) 0F (x, y,z) 0xx(t)xa cos t2、参数方程：yy (t)，如螺旋线:ya sin tzz(t)zbt1、一般方程：3、空间曲线在坐标面上的投影F (x, y,z)0H (x,y)0G

4、(x, y, z)，消去z，得到曲线在面xoy上的投影0z 0(五)平面及其方程1、点法式方程： A(x xo)B(y yo) C (z Zo)0法向量：n (A,B,C) ，过点(xo , y o , Zo )2、一般式方程：Ax By Cz D ox y z 1截距式方程：a b cni两平面的夹角:3、(A1, B1,C1) , n2( A2 , B2 , C2),COSA1 A2B12B1B2 C1C2C12、A B； C；AIA2B1B2 C1C204、1占八、A2B1C1B2C2Po（x。，y。，Zo）到平面AxByCz D 0的距离:uJ A2B2C2（六）空间直线及其方程呈A1

5、 xBC1z D1o1、一般式方程：A2xB?yC2z D2oxX。y yozZo2、对称式（点向式）方程：mnp方向向量：S(m,n, p)，过点(xo , y o,zo)xx0 mt3、参数式方程：yy。ntzZo ptAxo By。 Czo D两直线的夹角:S14、(5,6,5), s, (m2，n2，P2),cosm2ngP1P2m1m2nn2p1 p20l1/l2m1n1p1(一)基本概念1、距离，邻域,内点，外点，边界点，聚点2、多元函数：Zf (x, y)，图形:3、极限：limf(x,y)(x,y) (X0,y)4、连续：limf(x,y)(x,y) (X0，y)5、偏导数第九

6、章多元函数微分法及其应用开集,闭集,连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。f (xo, y。)fx(x,y。)limx 0xfy(x,y)6、方向导数: COS x-COS yy） f（x。，y。）y其中, 为I的方向角m2n2p25、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,sinAm Bn CpA2 B2 C2 . m2 n2 p2LAm Bn Cp 0ABCLm n pfy(x,y)j8、全微分：设Z（二） 性质f (x,y)，则 dzZdxZdy7、梯度：z f (x, y)，则 gradf(Xo,y)fx(x,y)i1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:偏

7、导数连续2、3、1)2)(有界性定理，最大最小值定理，介值定理)闭区域上连续函数的性质微分法定义:复合函数求导：链式法则f (u,v),uu(x, y),v v(x, y)，则zzuzvzzuzvx u x v x， y u y v y3)隐函数求导：两边求偏导，然后解方程(组)(三) 应用1、极值1)无条件极值：求函数z f(x, y) 的极值解方程组ffy0求岀所有驻点，对于每一个驻点(x0,y)，令Af xx (x0 ,y。)，B fxy(x,y)，Cfyy(X,y)，若ACB20，A 0，函数有极小值，若AC B2 0，A 0，函数有极大值；若ACB20，函数没有极值；若ACB20，不

8、定。2)条件极值:求函数zf (x, y)在条件(x, y) 0下的极值令：L(x,y) f(x,y) (x,y)Lagrange 函数解方程组Lx 0Ly 0(x, y) 01)曲线的切线与法平面Xx(t)曲线：yy(t)则上一点M (xo , yo , Z0 )(对应参数为to )处的Zz(t)XXoy yoZZo切线方程为:X(to)y(to)Z(to)2、几何应用法平面方程为： x (to)(xX。)2)曲面的切平面与法线y (to)( y y。) z(t)(z z) o曲面:F (x, y, z)0 ,_则 上一点M(Xo,yo,z。)处的切平面方程为:y。) Fz(Xo,y,zo)

9、(z zo)0Fx(xo,y,z)(x X。)Fy(x。，y,zo)(y法线方程为:xxy yoFx (Xo，y,Zo)Fy(Xo，y,Zo)ZZoFz(Xo，y,Zo)第十章重积分(一)二重积分1、定义：f(x,y)dD2、性质：(6条)3、几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1)直角坐标limf(k)D (x,y)1(x) y 2(x)a x b2)f (x, y)dxdy(x,y)i(y)cf (x, y)dxdy极坐标1()f (x, y)dxdyD(二)三重积分1、定义:b2(x)dx f (x,y)d y1(x)2(y)d2(y)cdy 1(y) f(x,y)dx2()2()1()

10、f(cos , sin ) df (x, y,z)dvlim0nf(k 1k, k , k)Vk2、3、1)性质：计算：直角坐标f (x, y, z)dvdxdyDZ2(x,y)“先一后二”2)3)f (x, y,z)dvbdzaD zf (x, y, z)dxdy“先二后一 ”柱面坐标cossinz球面坐标f (x, y,z)d vf ( cos , sin , z) d ddzxr sincosyr sinsinzr cosf(x, y, z)d vf(rsin cos ,rsinsin2,r cos )r sin drd d三)应用曲面S:z f(x, y),(x, y) D 的面积:1

11、 (x)2y)2 dxdy第十一章一)曲线积分与曲面积分 对弧长的曲线积分1、定义： l f (x, y)ds lim。f( i, i) s1)L f(x, y)(x, y)dsL f (x,y)dsLg(x, y)ds.2) L f (x, y)ds lLL1f (x, y)ds,f(x,y)ds. (LL2L1L2).3)在 l上，若 f (x, y)g(x, y)，则 L f(x, y)dsLg(x, y)ds.i1性质:2、L的长度)4)Ldsl (l为曲线弧3、计算:f(x,y) 在曲线弧 L上有定义且连续,x的参数方程为y(t),(t),)，其中(t),(t)在,上具有一阶连续导数

12、，且2(t)2(t)0，则L f (x, y)ds f (t),(t) J 2(t)2(t)dt ,(二)对坐标的曲线积分nLP(x,y)dx lim0P( k , k) Xk，0 k 1nLQ(x, y)dy lim0Q( k，k) h .0 k 1向量形式： l F dr LP(x, y)dx Q(x,y)dy2、性质：用L表示L的反向弧，则L F (x, y) dr l F (x, y) dr3、计算：设 P(x, y),Q(x,y) 在有向光滑弧 L上有定义且连续，L的参数方程为4、(t),(t:(t),)，其中LP(x, y)dx Q(x, y)d y两类曲线积分之间的关系:L :面

13、有向曲线弧为cos(t)(t),(t) 在,上具有一阶连续导数，且P(t)(t)2(t)(t), (t) (t) Q (t),L上点(x, y)处的切向量的(t)方向角2(t) 0，(t)dt为： ,，2(t)2(t)，cos2(t)(t)2(t)，Pdx Qdy(PcosLQcos )ds.三)格林公式格林公式：设区域 D是由分段光滑正向曲线L围成，函数 P(x,y),Q(x,y)在上具有连续一阶偏导数,则有D-dxdyPdx Qdy y lG为一个单连通区域，函数 P(x, y) ,Q(x, y)在g上具有连续一阶偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy在G内与路径无关L曲线积分?Pdx Qdy

14、 0(四)1、P(x, y)dx Q(x, y)dy在G内为某一个函数u(x, y)的全微分对面积的曲面积分定义：设 为光滑曲面，函数 f (x, y, z)是定义在上的一个有界函数,n定义 f (x, y, z)dS lim0f( i, i, i) Si0 i 1计算：“ 一单二投三代入”2、:z z(x, y) , (x, y) Dxy，则f (x,y,z)dSD fx, y,z(x, y)、1 Zx2(x, y) z/(x, y)dxdyDxy(五)1、2、对坐标的曲面积分预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量 定义：为有向光滑曲面，函数 P(x, y, z),Q(x, y, z)

15、, R(x, y, z)是定义在 上的有界函数，同理,nR(x, y,z)d xdy lim。R( i, i, J( S)y0 i 1nP(x, y, z)d ydz lim P(0 i 1nlim R(0i 1Q(x, y, z)d zdx3、性质:12，则Pdydz QdzdxRdxdyi, i, i)( Si)yzi, i)(Si)zxPdydz Qdzdx Rdxdy1Pdydz Qdzdx Rdxdy22)表示与取相反侧的有向曲面，则RdxdyRdxdy:z z(x, y), (x,y)Dxy，z z(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数,R(x, y,z) 在 上连续，则R(x,

16、y,z)dxdy为下侧取“D Rx, y,z(x, y)dxdy ,为上侧取“Dxy5、两类曲面积分之间的关系:Pdydz QdzdxRdxdyPcosQcosRcos dS其中为有向曲面在点(x, y, z)处的法向量的方向角。(六)高斯公式1、高斯公式:设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成,的方向取外侧，函数P, Q, R在上有连续的一阶偏导数,则有QdzdxRdxd yRdxdydz 二 Pd ydz z2、通量:散度:(七)通量与散度向量场AdivAR dxdydz ： Pcos z(P,Q,R)斯托克斯公式通过曲面指定侧的通量为:QcosPdydzRcos d SQdzdx Rdxd

17、y1、斯托克斯公式：设光滑曲面 S的边界 G是分段光滑曲线，S的侧与 G的正向符合右手法则，P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在包含？在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数 ，则有R QdydzzR dzdxx-dxdy Pdx Qdy Rdz y为便于记忆，斯托克斯公式还可写作：d ydzdzdxdxd yQd y Rdz环流量：向量场A (P,Q,R)沿着有向闭曲线g的环流量为& Pdx Qd yRdz旋度：rot A第十二章无穷级数(一)常数项级数定义：1、1)无穷级数:Un1UiU2U3Un部分和:Sn正项级数:交错级数:Ukk 1Un，Un(1)nUn2

18、)级数收敛：若nim SnUi，Un3)条件收敛：Un收敛，而n 1n绝对收敛:Unn 1收敛。2、1)2)3)4)U2U3Un，存在，则称级数Un收敛，否则称级数U n发散1Un1发散;性质：改变有限项不影响级数的收敛性;级数 an，bn收敛，则n 1n 1(ann 1bn )收敛;级数 an收敛，则任意加括号后仍然收敛;n 1必要条件：级数Un收敛n 1lim unn0.(注意：不是充分条件!正项级数：叫,Un 0n 11) 定义：lim SnS存在；n2) Un收敛Sn有界；n 13) 比较审敛法：Un ,Vn为正项级数，且Un Vn (n 1,2,3,)n 1n 1若Vn收敛，则Un收

19、敛；若Un发散，则Vn发散.n 1n 1n 1n 14)比较法的推论:Vn为正项级数，若存在正整数 m，当 n m时,n 1Unkvn ,而 Vnn 1收敛,5)Un收敛；若存在正整数比较法的极限形式:收敛；若.Un lim n n Vn6)比值法：n发散；当l 1时,7)根值法:发散；当8)m，当Un ,n 1nVn1Un为正项级数，设1m 时，Unkvn，为正项级数，若lim UnVn，而n发散，则Un1Vn发散，则1Un发散.1(0发散.)，而Vn收敛，则1Unlim乩nUn，则当l1时，级数Un1收敛；则当1时，级数Un级数 Un可能收敛也可能发散.n 1Un为正项级数，设niml 1

20、时，级数极限审敛法:，使得nimnpl，则当1时，级数Un收敛；则当11时，级数UnUn可能收敛也可能发散.n 1Un为正项级数，若1Un l (0 llim nnUn则级数lim nnUn，则级数Un发散;1若存在Un收敛.n 1交错级数:Un (n 1,2,3,)，且 limUn 0,则n莱布尼茨审敛法：交错级数:(1) Un , Un 0 满足：Un 1 n 1级数n(1)nUn1收敛任意项级数:Un绝对收敛，则n 1Un收敛。n 1常见典型级数：几何级数:aqnn 0p -级数:1n 1 np收敛，|q|1发散，|q 1收敛，p 1发散，p 1(二) 函数项级数1、定义：函数项级数Un(X)，收敛域，收敛半径，和函数;n 1n2、幂级数：anXn 0收敛半径的求法:limnan 1an1J0R0,，则收敛半径70f(x)牛(x Xo)n 0 n!展开步骤：(直接展开法)1)求出 f(n)(x), n 1,2,3,3、泰勒级数f(n