一轮复习课件第6章第7节数学归纳法

1、考纲要求考情分析了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.从考查内容看，用数学归纳法证明与正整数有关的命题是考查的重点，其中以数列为载体的“归纳猜想证明”是考查的热点2.从考查形式看，以解答题为主，主要考查学生分析问题、解决问题的能力，属中高档题.一、数学归纳法的定义由归纳法得到的与自然数有关的数学命题常采用下面的证明方法：(1)验证当nn0(n0n*)时命题成立(递推的基础)；(2)假设当nk(kn0，kn*)时命题成立，证明当时命题也成立(递推的根据)；(3)根据(1)(2)可知，当_ _时命题都成立，这种证明方法叫数学归纳法nk1n取从n0开始的所有正整数1在归纳奠

2、基中，第一个值n0是否一定为1呢？提示：不一定要看题目中n的要求如在证明多边形的内角和定理f(n)(n2)180中，第一个值n0应该为3.二、数学归纳法的证明步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是：(1)验证n取第一个值 时命题成立；(2)在假设当 时命题成立的前提下，推出n_时，命题成立根据(1)(2)可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立n0nk(kn0)k12数学归纳法两个步骤有何关系？提示：数学归纳法中两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基，第二步是递推的依据，也叫归纳递推，两者缺一不可应用数学归纳法要运用“归纳假设”，没有

3、运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法解析：边数最小的凸多边形是三角形答案：c解析：当n1时，an1a2.验证n1时，等式左端计算所得的项是1aa2.答案：c答案：c 5设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.解析：由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形答案：或180 【考向探寻】1对数学归纳法原理理解的考查2验证初始值，左、右代数式问题3由k到k1的变化问题对数学归纳法的理解 【典例剖析】(1)如果命题p(n)对nk成立，则它对nk2也成立，若p(n)对n2也成立，则下列结论正确的是ap(n)对所有正整数n都成立bp(n)对所有正偶数n都成立cp(n)对所

4、有正奇数n都成立dp(n)对所有自然数n都成立题号分析(1)由数学归纳法中的递推关系可得结论(2)列出nk，nk1时的两个式子比较即可.解析：(1)由题意nk时成立，则nk2时也成立，又n2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立答案：b答案：d (1)在数学归纳法的第二个步骤中，要注意观察递推的形式，以便准确地得到相应的一般性的结论(2)判断由nk到nk1时式子的变化情况时，要利用两式的结构特点来判别增加的项的规律，这是数学归纳法证题的难点【活学活用】1(1)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，从k到k1时左边需要增乘的代数式为_答案：2(2k1)【考向探寻】1证明等式问

5、题2证明不等式问题用数学归纳法证明等式、不等式 (1)第一步验证n1时等式成立，(2)第二步假设nk(kn*)时等式成立，证明nk1时等式成立(1)第一步验证n2时不等式成立，(2)第二步假设nk(kn*，k1)时不等式成立，证明nk1时不等式成立 (1)用数学归纳法证题时，在第二步中寻找由k到k1的变化规律是难点，突破难点的关键是掌握由k到k1的推证方法在运用归纳假设时，应分析p(k)与p(k1)的差异及联系，利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发，若从p(k1)中分离出p(k)，再进行局部调整；也可考虑寻求二者的“结合点”，以便顺利过渡，切实掌握“观察归纳猜想证明”这一特殊到一般的

6、推理方法(2)证明不等式时，在由nk时不等式成立，推导nk1时不等式也成立时，过去讲过的证明不等式的方法在此都可以使用如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考虑与原不等式等价的命题等答案：d 【考向探寻】利用数学归纳法证明数列中的等式、不等式等问题数学归纳法证明数列问题 【典例剖析】 (2012全国高考)函数f(x)x22x3.定义数列xn如下：x12，xn1是过两点p(4,5)、qn(xn，f(xn)的直线pqn与x轴交点的横坐标(1)求证：2xnxn13；(2)求数列xn的通项公式解答本题可按以下步骤进行：(1)求出直线pq方程与x轴交点横坐标，利用数学归纳法证明不等式；(2)确定xn1与xn的关系，构造等比数列求xn.数学归纳法在数列中的应用是高考的常见题型，解决类似问题时，发现利用数学归纳法解题是关键因此要熟练掌握数学归纳法可解决的问题的类型及数学归纳法证题的思路与要求【活学活用】3数列an 满足sn2nan(nn*)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想数列中“归纳猜想证明”问