初等数论基本概念

1、初等数论初等数论教学设计教学设计唐山师范学院滦州分校唐山师范学院滦州分校朱国朱国email:email:序言序言 欧几里德欧几里德 高斯高斯费马费马欧拉欧拉拉格朗日拉格朗日 毕达格拉斯毕达格拉斯 数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支， 其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即整数）分布 以及数论函数等内容，统称初等数论（elementary number theory）。 初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的 几何原本中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法， 即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰

2、出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”正是我国古代孙子算经中的下卷第26题，我国称之为“孙子定理”。 近代初等数论的发展得益于近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、勒让德费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。和高斯等人的工作。18011801年，高年，高斯的斯的算术探究算术探究是数论的划时是数论的划时代杰作。高斯还提出：代杰作。高斯还提出：“数学是数学是科学之王，数论是数学之王科学之王，数论是数学之王”。可见高斯对数论的高度评价。可见高斯对数论的高度评价。 由于自由于自2020世纪以来引进了抽象数学世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进和高等分析的巧妙工具

3、，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等何数论等 新分支。而且近年来初等数新分支。而且近年来初等数论在计算器科学、组合数学、密码学、论在计算器科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到代数编码、计算方法等领域内更得到了了 广泛的应用，无疑同时间促进着数广泛的应用，无疑同时间促进着数论的发展。论的发展。 数论是以严格和简洁著称，数论是以严格和简洁著称，内容既丰富又深刻。我将会介绍数内容既丰富又深刻。我将会介绍数论中最基本的概念和理论，希望大论中最基本的概念和理论，希望大家能对

4、这门学问产生兴趣，并且对家能对这门学问产生兴趣，并且对中小学时代学习过的一些基本概念，中小学时代学习过的一些基本概念，例如例如整除性整除性、最大公因子最大公因子、最小公最小公倍数倍数、辗转相除法辗转相除法等，有较深入的等，有较深入的了解。了解。一、 基本内容 整除，因数与倍数，带余整除，因数与倍数，带余除法，最大公因数与辗转相除除法，最大公因数与辗转相除法，最小公倍数，素数与复合法，最小公倍数，素数与复合数，算术基本定理与标准分解数，算术基本定理与标准分解式，式，eratostheneseratosthenes筛法，筛法，mersennemersenne数，数，fermatfermat数，完全

5、数，完全数，线性不定方程，抽屉原理。数，线性不定方程，抽屉原理。 基本概念：基本概念：自然数（非负整数）：自然数（非负整数）：把把0，1，2，3，n叫做自然数。叫做自然数。自然数集自然数集n正整数，正整数集正整数，正整数集*n整数、整数集整数、整数集z第一节第一节 进位制与计数法进位制与计数法一、十进位制及其计数法一、十进位制及其计数法 进位制进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。 一般地说，进率是几，就叫做几进位制。一般地说，进率是几，就叫

6、做几进位制。例如有二进位制、八进位制、十进位制、十例如有二进位制、八进位制、十进位制、十二进位制、六十进位制等。我们通常是用二进位制、六十进位制等。我们通常是用“十进位制计数法十进位制计数法”，它的特点是相邻两个，它的特点是相邻两个单位之间的进率都是单位之间的进率都是“十十”（即满十进一），（即满十进一），用数字用数字1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，0 0和位和位值原则结合起来记数。如一百三十五记作值原则结合起来记数。如一百三十五记作135135。 对于任何一个数，我们可以对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：用不同的进位制来表示。比如：十

7、进数十进数57，可以用，可以用二进制二进制表示为表示为111001，也可以用，也可以用八进制八进制表示为表示为71、用、用十六进制十六进制表示为表示为39，它们，它们所代表的数值都是一样的。所代表的数值都是一样的。 常见的进位制：常见的进位制： 二进制广泛用于计算机二进制广泛用于计算机 三进制用于军队编制三进制用于军队编制 十进制最常用十进制最常用 十二进制时辰、月份、一打物品十二进制时辰、月份、一打物品 十六进制广泛用于计算机十六进制广泛用于计算机 六十进制六十进制秒、分秒、分,角度角度 不同进位制之间的互化：不同进位制之间的互化： 例：二进制的四则运算例：二进制的四则运算 化成十进制化成十

8、进制 例二、化成二进制例二、化成二进制 例三、二进制与八进位互换例三、二进制与八进位互换 例4 已知求证：31332 11 233 2 1,0,.aa ba a aaa abb b且3 2 11 2 31089bb bbb b例5 一个六位数 与3之积等于 ，求这个六位数。2abcde9abcde例例6 现有现有1克、克、2克、克、4克、克、8克、克、16克的砝码各一个，若只克的砝码各一个，若只能奖罚码放在天平的一段，问能奖罚码放在天平的一段，问能称出多少种不同质量的物品？能称出多少种不同质量的物品？若称若称23克的物品，因故和选配克的物品，因故和选配上述砝码。上述砝码。解答题：解答题：1 1 把把87438743（1010）化为七进位制。）化为七进位制。2 2 把十进位制把十进位制625 625 化为二进位制。化为二进位制。3 3 把下列各数化为十进位制数。把下列各数化为十进位制数。 （1） 1011010110（1010）；（）；（2 2）2102121021（3 3）；）； （3 3）235235（1616）4 4 把下列各数化为二进位制数，把下列各数化为二进位制数，三进位制数三进位制数 。（1） 145(10)145(10)；（；（2 2）153(8) 153(8) ； （3 3）215(12)215(12)5. 5. 把下列各数化为二进位制小数：把下