信号与系统信号的正交函数分解

1、北京邮电大学电子工程学院 2002.3北京邮电大学电子工程学院 2002.36.3 信号的正交函数分解矢量的正交分解矢量的正交分解 正交函数正交函数正交函数集正交函数集复变函数的正交特性复变函数的正交特性x将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。的特性。简化系统分析与运算，简化系统分析与运算， 总响应总响应=单元响应之和。单元响应之和。信号分解的目的 niitete0 teih tri niiniitrtehtehtr00x2vve evvcv 2121误差矢量误差矢量 )cos(211212vvvvc 2221222121221112)co

2、s()cos(vvvvvvvvvvvvvvc 系数系数021 vv两矢量正交两矢量正交怎样分解，能得到最小的误差分量？怎样分解，能得到最小的误差分量？0 12 c即即1v2v21vc1ev2evev22vc212vc方式不是唯一的：方式不是唯一的：表示，表示，用用21vv1211evvcv 一矢量的正交分解evvc 212222evvc x正交分解空间空间中任一矢量可分解为中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。三方向矢量。 平面平面中任一矢量可分解为中任一矢量可分解为x,y二方向矢量，二方向矢量，一个三维空间矢量一个三维空间矢量 ，必须用三个正交，必须用三个正交的矢量来表示，如果用二维矢量表

3、示就会出现误差：的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：hzj yi xv 0 , hzvj yi xvex二正交函数 表示，即表示，即用用内，信号内，信号在区间在区间tftfttt2121 )()(2121tfctf 误差误差 21d)(1)(22121222ttettfctftttf 求得求得必需使必需使最小的最小的为求使为求使, 0dd , 122122 cc tftftftfttfttftfctttt(),(),(d)(d)()(22212221122121 称称为为正正交交函函数数，满满足足则则，若若)(),(02112tftfc 0d)()(2121 ttftftt系数系数x

4、三正交函数集任意信号任意信号f(t)可表示为可表示为n维正交函数之和：维正交函数之和： nrrrnnrrtgctgctgctgctgctf12211)()()()()()(原函数原函数近似函数近似函数 )(),()(),( d)()(d)(d)()(2121212 tgtgtgtfkttgtfttgttgtfcrrrrttrttrttrr 相相互互正正交交：tgtgtgr21, jikjittgtgittji, 0d)()(21r =0,1,2,.n基底函数基底函数 正交函数集正交函数集tgtgtgr21,x分解原则是误差函数方均值最小 d)()(1)(21122122误差信号功率误差信号功率

5、误差信号能量误差信号能量ettnrrrefttgctftttf 表达式表达式可得可得令令rnrccccc0, 0, 0, 0 222212 x理解rttrttrttrrkttgtfttgttgtfc 212121d)()(d)(d)()(2正交函数集规定：正交函数集规定： 所有函数应所有函数应两两正交两两正交。 不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该函数集是正交函数。函数集是正交函数。 是是相互独立相互独立的，互不影响，计算时先抽取的，互不影响，计算时先抽取哪一个都可以，非正交函数就无此特性。哪一个都可以，非正交函数就无此特性。 nccc,21此公

6、式是个通式，适合于此公式是个通式，适合于任何正交任何正交函数集。函数集。x两周期信号在两周期信号在同一周期内同一周期内(同区间内同区间内)正交的条件是正交的条件是c12=0，即：，即： 总结 0d)()(21 tttftf 两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号。信号。对一般信号在给定区间正交，而在其它区间不一定对一般信号在给定区间正交，而在其它区间不一定满满足正交。足正交。x四.复变函数的正交特性jitgtgttgtgjittji 0)(),(d)()(21*iiittiiktgtgttgtg )(),(d)()(21* 求求系系数数表表示示用用),(),2 , 1 , 0( ,)(tfnrtgr 的共轭的共轭为为)()(,d)()(d)()(2121tgtgttgtgttgtfcrrttrrttrr 则此复变函数集为则此复变函数集为正交函数集正交函数集。 0d)()(d)()(21211221 t