高等数学教学课件第三节格林公式及其应用

1、第第1010章、曲线积分与曲面积分章、曲线积分与曲面积分第三节、第三节、 格林公式及其应用格林公式及其应用一、格林公式一、格林公式定义、定义、.,否否则则称称为为复复连连通通区区域域为为平平面面单单连连通通区区域域则则称称都都属属于于分分内内任任一一闭闭曲曲线线所所围围的的部部如如果果是是平平面面区区域域设设dddd定义、定义、.,的的正正向向称称为为曲曲线线方方向向则则这这样样的的行行走走总总在在观观察察者者的的左左侧侧区区域域方方向向行行走走时时的的某某个个当当观观察察者者沿沿所所围围由由曲曲线线设设平平面面区区域域ldlld.),(.),().2();(,).1(dxdyypdxyxpd

2、yxpdlxddl 则则上上偏偏导导数数连连续续在在函函数数如如图图所所示示的的正正向向边边界界是是型型区区域域是是设设证明证明dxyxpdxyxpdxyxpdxyxpdxyxpeacebcabl ),(),(),(),(),(dxxxpba)(,(1 )()(210),(bbdyybp abdxxxp)(,(2 )()(120),(aadyyap dxxxpba)(,(1 badxxxp)(,(2 .)(,()(,(21dxxxpxxpba 、引理引理1 baldxxxpxxpdxyxp.)(,()(,(),(21 baldxxxpxxpdxyxp.)(,()(,(),(21 )()(21x

3、xbaddyypdxdxdyyp baxxdxyxp),()()(21 badxxxpxxp)(,()(,(12 badxxxpxxp)(,()(,(21 dxyxpl ),(.),(dxdyypdxyxpdl .,:)1(1则则结结论论依依然然正正确确的的正正向向边边界界是是是是有有界界闭闭区区域域可可推推广广为为的的条条件件实实际际上上引引理理dld.),(dxdyypdxyxpdl :说明如下说明如下:).1(是是单单连连通通的的情情况况假假设设d:).2(是复连通的情况是复连通的情况假设假设d.dxdyypd .dxdyypd .),(dxdyypdxyxpdl .),(,:dxdyy

4、pdxyxpdlddl 则则的的正正向向边边界界是是是是有有界界闭闭区区域域设设即即dxdyxqdyyxqdyxqdlydld ),(.),().2()( ;,).1(则则上上偏偏导导数数连连续续在在函函数数如如图图所所示示的的正正向向边边界界是是型型区区域域是是设设.,:)1(2正正确确的的正正向向边边界界则则结结论论依依然然是是是是有有界界闭闭区区域域可可推推广广为为的的条条件件实实际际上上引引理理dld.1的的证证明明类类似似证证明明与与引引理理、引理引理2格林公式：格林公式：.)(),(),(.),(),().2(;,).1(dxdyypxqdyyxqdxyxpdyxqyxpdlddl

5、 则则上上有有连连续续的的偏偏导导数数在在函函数数曲曲线线的的分分段段光光滑滑的的正正向向边边界界是是是是有有界界闭闭区区域域设设、格格林林公公式式定定理理)(证明证明dxdyypdxyxpdl ),(1由由引引理理dxdyxqdyyxqdl ),(2由由引引理理dxdyypxqdyyxqdxyxpdl ),(),(用第二型曲线积分表示区域的面积公式：用第二型曲线积分表示区域的面积公式： lllydxxdydaxdydaydxdadaddld21)().3()().2()().1(),(,则则的的面面积积为为的的正正向向边边界界曲曲线线是是是是有有界界闭闭区区域域设设证明证明0),(;),(:

6、).1( yxqyyxp令令 lldyyxqdxyxpydx),(),(dxdyypxqd )(:由由格格林林公公式式).(dadxdyd xyxqyxp ),(0),(:).2(令令 lldyyxqdxyxpxdy),(),(dxdyypxqd )(:由由格格林林公公式式).(dadxdyd )3()2(),1(.)(21ydxxdydal 、例例1.)0()(2轴轴所所围围面面积积和和用用曲曲线线积积分分求求抛抛物物线线oxaaxyx .; 0, 0:2axxaxxy 令令attyatxtyx22, 设设0;:221 aattyatxlayxxl 0;0:2解解 2121)(llydxxd

7、yda ydxxdyydxxdyll212121 dxxdtatattattataa022220)00(21)()(21dtatattatata2)()21(21220 dttadtataa 020221)(21.66203aata .,).2(;).1(,22按按逆逆时时针针方方向向包包含含原原点点不不包包含含原原点点向向曲曲线线为为不不经经过过原原点点的的封封闭闭有有其其中中计计算算lllyxydxxdyl 、例例2解解.;:2222yxxqyxyp 令令 lldyyxqdxyxpyxydxxdy),(),(22dxdyypxqd )(由由格格林林公公式式)(是是逆逆时时针针方方向向假假设

8、设l;)()(2222222yxxyyxxxxq .)()(2222222yxxyyxyyyp . 00)(22 dxdydxdyypxqyxydxxdyddl,是是顺顺时时针针方方向向时时当当l. 00)(22 dxdydxdyypxqyxydxxdyddl;).1(不不包包含含原原点点l),(1142011星星期期一一第第八八周周日日月月年年按按逆逆时时针针方方向向包包含含原原点点 ,).2(l clcldyyxqdxyxpyxydxxdyyxydxxdy),(),(2222dxdyypxqd )(由由格格林林公公式式. 00 dxdyd02sincos: tytxc令令 clyxydxx

9、dyyxydxxdy2222 dttttttt0222)sin()cos()cos(sin)sin(cos dttt 2022222sincos.220 dt.)1 , 1()1 , 1(11,)cos()12(2一一段段到到上上从从曲曲线线是是其其中中计计算算baxyldyyxedxxyelyy 、例例3解解. 111:1 yxxl令令由由格格林林公公式式 dxdyxyeyxedyyxedxxyeyydxyllyy)12()cos()cos()12(1dxdyxeedyy )12(012 dxdxdy.),(的的奇奇函函数数是是被被积积函函数数轴轴对对称称关关于于xxyd dyyxedxxy

10、edyyxedxxyelyylyy)cos()12()cos()12(1dxxexe0)1cos()12(11 .2)12(11edxex .), 0(cos)0 ,(,)()3()3(2223的的一一段段余余弦弦曲曲线线到到曲曲线线沿沿是是由由其其中中计计算算 bxyalyxdyxydxxyl 、例例4解解.202: xyxxl令令由格林公式由格林公式 dxdyyxxyyyxxyxyxdyxydxxydll)(3()(3()()3()3(333 dxdyyxyxxyyxyxyxxyyxd)()(3)3()(3)()(3)3()(3623623 dxdyyxxyyxxyyxd4)()3(3)(

11、3)3(3)(3dxdyyxxyyxxyyxd 4)(333. 0)(034 dxdyyxd. 0)()3()3(3 llyxdyxydxxy llyxdyxydxxyyxdyxydxxy33)()3()3()()3()3( lldyxydxxydyxydxxy)3()3()()3()3(3832 220: xyxxl dxxxx)1)(4()3(2202383 .42823 dx2083 二、平面上第二型曲线积分与路径无关的条件二、平面上第二型曲线积分与路径无关的条件.,为为平平面面单单连连通通区区域域则则称称内内都都在在成成的的区区域域中中任任何何简简单单闭闭曲曲线线所所围围若若是是平平面

12、面连连通通区区域域设设gggg.:,),( baabllqdypdxqdypdxqdypdxgflbalqdypdxlgfgqpgqpf常常常常记记为为与与路路径径无无关关称称第第二二型型曲曲线线积积分分上上的的保保守守场场为为则则称称经经过过的的形形状状无无关关而而与与的的位位置置有有关关与与终终点点的的起起点点仅仅与与曲曲线线的的第第二二型型曲曲线线积积分分线线内内任任何何光光滑滑有有向向曲曲沿沿若若上上连连续续的的偏偏导导数数在在向向量量场场上上的的是是定定义义在在平平面面连连通通区区域域设设向向量量值值函函数数).,()(,),(,),(的的原原函函数数为为微微分分的的全全是是亦亦称称

13、函函数数位位的的势势称称为为上上的的势势场场是是则则称称或或或或使使得得函函数数若若存存在在上上的的向向量量场场是是定定义义在在平平面面区区域域设设qdypdxuuqdypdxfugfqpqdypdxdufgraduugqpfyuxu 、定义定义1、定义定义2、定义定义3).,().4();().3(;),(0).2(;),( ,).1(,),(qdypdxduufqdypdxqdypdxfglqdypdxgyxxqypgqpgqpfbaabl 使使得得存存在在是是势势场场即即是是保保守守场场内内任任一一简简单单闭闭曲曲线线是是圈圈积积分分为为零零则则下下述述四四个个命命题题等等价价一一阶阶偏

14、偏导导数数连连续续内内在在上上的的向向量量场场是是平平面面单单连连通通区区域域设设、四四个个等等价价命命题题定定理理)(证证明明gyxxqyp ),( ,).1()(0).2( lqdypdx圈圈积积分分为为零零要要证证明明:由格林公式得由格林公式得)1, 1,()( 是是顺顺时时针针时时当当是是逆逆时时针针时时当当lldxdyypxqqdypdxdl. 00 dxdyqdypdxdl )(0).2(圈圈积积分分为为零零 lqdypdx).3(是是保保守守场场f要要证证明明证证明明).4().3(是是势势场场是是保保守守场场ff要要证证明明 xyxuyxxux ),(),(lim0.,),()

15、,(),(),(),(00的的二二元元函函数数是是是是保保守守场场yxdyyxqdxyxpyxufyxyx 证证明明 ),(),(),(),(00000),(),(),(),(1limyxyxyxxyxxdyyxqdxyxpdyyxqdxyxpx )0),(),(1lim0dxyxqyxpxxxxx dxyxpxxxxx),(1lim0)10(,),(1lim0 xyxxpxx积分中值定理积分中值定理).,(),(lim0yxpyxxpx );,(yxpxu ).,(yxqyu 同同理理),(1342011星星期期三三第第八八周周日日月月年年);,(yxpxu ).,(yxqyu 同同理理.)

16、,(),(dyyxqdxyxpdu .),(),(是是势势场场yxqyxpf ).(),(),(),(),(),(00原原函函数数是是势势函函数数 yxyxdyyxqdxyxpyxu;),( ,).1().4(gyxxqypf 是势场是势场要要证证明明证证明明是是势势场场),(),(yxqyxpf dyyxqdxyxpyxduyxu),(),(),(:),( 使得使得).,(),(yxqyuyxpxu ;2连连续续 ypyxu.2连续连续 xqxyuxyuyxu 22.),( ,gyxxqyp 证证毕毕.,),(:),(:.),:(:),(),(),(),(0000是是任任意意常常数数的的全全

17、体体原原函函数数为为的的一一个个原原函函数数为为存存在在原原函函数数的的则则常常常常验验证证条条件件一一个个条条件件满满足足上上述述定定理理的的任任何何从从上上述述定定理理证证明明中中可可得得ccqdypdxyxuqdypdxqdypdxyxuqdypdxuqdypdxxqypyxyxyxyx .),(),(),(),(),(),(),(),(,),( ,000000000),(),(0),(),(的的原原函函数数是是或或则则连连续续若若dyyxqdxyxpdyyxqdxyxpqdypdxyxudyyxqdxyxpqdypdxyxugyxypxqypxqyyxxyxyxyyxxyxyx 性质、

18、性质、 ),(),(00),(),(),(yxyxdyyxqdxyxpyxu ),(),(),(),(0000yxyxyxyxqdypdxqdypdx yyxxdyyxqdxyxp00),(00),(0.),(),(000 xxyydyyxqdxyxp同理同理.),(),(),(00000),(),(dyyxqdxyxpqdypdxyxuyyxxyxyx 证明证明莱莱布布尼尼兹兹公公式式牛牛顿顿 ).,(),(),(),(),(,),(),(),(;),( ,),(0011),(),(),(),(11001100yxuyxuyxudyyxqdxyxpdyyxqdxyxpyxugyxxqypgq

19、pgqpfyxyxyxyx 则则某某原原函函数数的的是是且且偏偏导导数数连连续续内内一一阶阶在在上上的的向向量量场场是是平平面面单单连连通通区区域域设设证证明明的的原原函函数数都都是是和和dyyxqdxyxpyxudyyxqdxyxpyxyx),(),(),(),(),(),(),(00 )(),(),(),(),(),(00是是常常数数ccyxudyyxqdxyxpyxyx ),(0),(),(),(0000),(),(0000yxuccyxudyyxqdxyxpyxyx cyxudyyxqdxyxpyxyx ),(),(),(),(),(00).,(),(00yxuyxu .),(),()

20、,(),(),(),(),(0011),(),(11001100yxyxyxyxyxuyxuyxudyyxqdxyxp .,)0(),(2222的的势势函函数数并并求求上上的的势势场场是是右右半半平平面面证证明明 fxyxxyxyf、例例5解解.),(),(),(),(),(),(:,),(;000000cdyyxqdxyxpyxucdyyxqdxyxpyxuqpfypxqyyxxyyxx 或或且且势势函函数数为为是是势势场场那那么么如如果果;)(2222222222222)()(2yxxyyxxyxyxxx ;)(2222222222222)()(2yxxyyxyyxyxyy )()(222

21、2yxyyyxxx cyxxdyyxydxyxuyx22),()0, 1(22),( cyxxdyxdxxy10222200cdyxyxy 02)(1.arctanarctan0cxycxyy .)8 , 4()0 , 0(2,cossin2的的一一段段到到点点上上从从点点是是曲曲线线其其中中计计算算baxxylydyeydxelxx 、例例6解解.cos)sin(;cos)cos(yeyeyeyexyxxxx yxxxyeye)sin()cos( 。与与路路径径无无关关 lxxydyeydxecossin lxxydyeydxecossin 408008sin)cos(dxedyyex 40

22、808sinsinxey. 8sin)1(8sin8sin44 ee.,)1 ,()0 , 0(2:,)3sin21()cos2(:222223所所做做的的功功场场力力时时运运动动到到点点从从点点求求一一质质点点沿沿曲曲线线设设有有平平面面力力场场 faoyxljyxxyixyxyf 、例例7解解.cos26)cos2(;6cos2)3sin21(223222xyxyxyxyxyxyyxxyyx .是是保保守守力力 fdyyxxydxxyxyw)3sin21()cos2(22)1 ,2()0,0(23 则则的的原原函函数数是是设设,),(fyxuxyxyxucos223 dxxyxyu)cos

23、2(23);(sin232yxyyx )(sin2322yxyyxyu 223sin21yxxy 1)( y .)(cyy .sin),(232cyxyyxyxu .4)sin(),(2)1 ,2()0,0(232)1 ,2()0,0( yxyyxyxuw、例例8.)(),()(, 0)0(,)(),()0,0(22 yxldyxydxxyyxuxdyxydxxy 及及求求且且连连续续的的导导数数具具有有其其中中与与路路径径无无关关设设曲曲线线积积分分解解.2)()() )(2xyxyxyxyyx xyxy2)(: 令令.)(2)(2cxxxx .)(0)0(2xx yxyxdyydxxydy

24、xydxxyyxu002),()0,0(2)0()(),( .2222022yxyxx .,),(),(lim),(,),(),(,0,max,),(.),(),(,.,2 , 1,),(,.,:,),(),(1011111121称称为为积积分分曲曲面面称称为为被被积积函函数数其其中中即即记记作作上上的的在在曲曲面面则则称称极极限限值值为为函函数数上上述述和和式式的的极极限限存存在在时时若若的的直直径径记记作作和和式式任任取取面面的的面面积积也也表表示示小小曲曲块块小小曲曲面面既既表表示示第第其其中中小小块块任任意意分分割割为为将将曲曲面面上上的的有有界界函函数数是是定定义义在在的的表表达达式式偏偏导导数数连连续续是是光光滑滑曲曲面面设设 zyxfsfdszyxfdszyxfzyxfssfsfsfnisissssnzyxfiniiiiininnnniniiiiiiiiin 分分第第四四节节、第第一一类类曲曲面面积积曲曲面面积积分分的的概概念念与与性性质质对对面面积积一一、第第一一类类)(定义、定义、,第第一一类类曲曲面面积积分分曲曲面面积积分分的的性性质质对对面面积积第第一一类类)(第第一一类类曲曲面面积积分分也也有有：的的性性质质类类似似于于第第一一类类曲曲线线积积分