材料力学教学课件第六章简单的超静定问题

1、6-1、 超静定问题及其解法( a )(b)第六章第六章 简单的超静定问题简单的超静定问题 为减小杆为减小杆 1 ,2 中的内力或节点中的内力或节点a 的位移的位移 而增加了而增加了杆杆3 ( 如图如图b ) ，此时有三个未知内力，此时有三个未知内力 fn1 , fn2 , fn3 ，但只有二个独立的平衡，但只有二个独立的平衡方程方程 一次超静定问题一次超静定问题。图图(a) 所示静定杆系。所示静定杆系。超静定问题超静定问题 ：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。 所有超静定结构，都是在静定结构上再加一个或几个约束，这些约束对所有超

2、静定结构，都是在静定结构上再加一个或几个约束，这些约束对于特定的工程要求是必要的，但对于保证结构平衡却是多余的，故称为于特定的工程要求是必要的，但对于保证结构平衡却是多余的，故称为多余多余约束约束。未知力个数与平衡方程数之差未知力个数与平衡方程数之差, ,称为称为超静定次数超静定次数。lbaq 对超静定问题，可综合运用平衡条件、变形的几何相容条件和力与变形对超静定问题，可综合运用平衡条件、变形的几何相容条件和力与变形间的物理关系等三个方面来求解。间的物理关系等三个方面来求解。 例题：例题：求图求图 ( a ) 所示等直杆所示等直杆 ab 上下端的约束力，并求上下端的约束力，并求 c 截面的位移

3、。截面的位移。杆的拉压刚度为杆的拉压刚度为ea。解解: 1、有两个未知约束力有两个未知约束力fa , fb (见见图图a ) , 但只有一个独立的平衡方程，但只有一个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。故为一次超静定问题。fa +fb - f = 0 2、取固定端、取固定端b 为为“多余多余”约束。相应约束。相应的静定杆如图的静定杆如图 (b)。3、补充方程为、补充方程为 0ealfeafab 它应满足相容条件它应满足相容条件 bf + bb = 0，参见图，参见图(c) (d)。lfafb由此求得：由此求得：6-2.拉压超静定问题得：得： 5、利用静定系统、利用静定系统 (如图如图) 求得求

4、得()( )acfbaf afableaeal ea4、由平衡方程、由平衡方程 fa + fb - f = 0lfafb已求得：已求得：所得所得fb 为正值，表示为正值，表示fb 的指向与假设的的指向与假设的指向相符，即向上。指向相符，即向上。 afafbffll求解步骤：求解步骤：2、根据变形的几何相容条件列出变形协调方程。根据变形的几何相容条件列出变形协调方程。3、根据物理关系写出补充方程。、根据物理关系写出补充方程。4 4、联立静力方程与补充方程求出所有的未知力。、联立静力方程与补充方程求出所有的未知力。1、根据平衡条件列平衡方程（确定超静定的次数）。、根据平衡条件列平衡方程（确定超静定

5、的次数）。2、几何方程、几何方程 变形协调方程：变形协调方程：解：解：1、平衡方程平衡方程:0 xf 0yf 13cos 132cos0nnfff12sinsin0nnff例例 图示三杆结构，在节点图示三杆结构，在节点a受力受力f 作用。设杆作用。设杆和杆和杆的刚度的刚度为为 ，杆杆的为的为 。试。试求三杆的内力。求三杆的内力。11e a33e af a3lbcad1sfn3fn1fn2fa12nnfff3、物理、物理方程变形与受力关系：方程变形与受力关系：1111cosnfle a131133coscosnnflfle ae a3333nfle a4、联立方程可得、联立方程可得:233111

6、233311331133cos; 2cos2cosnnnf e af e afffe ae ae ae a132cos0nnfff 一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的b端作用有载荷f,垂直杆1,2的抗拉压刚度分别为e1a1, e2a2,若横梁ab的自 重不计,求两杆中的内力.aabl112cafaabcaf1nf2nf1l2l0am02221afafafnn212ll变形协调方程2221112aelfaelfnn11221412aeaeffn2211244aeaeffn思考题 图示结构，杆1与杆2的弹性模量均为e,横截面面积均a，梁bc为刚体，载荷f=20 kn，许用拉应力，许用压应力。试确定

7、各杆的横截面面积。 列静力平衡方程0am035 . 13/301mfmmmknmfnbdncenbdncefknf3135变形协调方程cedbll3emlfemlfncenbd2626104003102008 . 1ncenbdff65knfnbd2 .32knfnce4 .38dbnbdbdaf 23200102 .32mmn mpa161cenceceaf 23400104 .38mmn mpa96图示刚性梁ab受均布载荷作用，梁在a端铰支，在b点和c点由两根钢杆bd和ce支承。已知钢杆的横截面面积adb=200mm2，ace=400mm2，其许用应力=170mpa，试校核钢杆的强度。2m

8、1mceldbl1.8ll2m1maemkn/30bcdaemkn /30bcdbbdfbdf1l2l 列静力平衡方程0am2142fmffmfff212变形协调方程 ml21 ml42122 ll1!1111tlaelflg 222222tlaelflt 22222tlaelft )(21!111tlaelfg nff212102 . 45 .165 .1242081 . 2knf52.381 knf26.1192计算1，2杆的正应力111af 2310001052.38mmnmpa5 .38222af 2320001026.119mmnmpa6 .59 图示结构中的三角形板可视为刚性板。1

9、杆材料为钢，2杆材料为铜，两杆的横截面面积分别为a钢=1000mm2，a铜=2000mm2。当f=200kn，且温度升高20时，试求1、2杆内的应力。钢杆的弹性模量为e钢=210gpa，线膨胀系数l钢=12.510-6 -1；铜杆的弹性模量为e铜=100gpa，线膨胀系数l铜=16.510-6 -1；m2m211ffam42fm12baleabalealealfnlleafnlegpae20010001lmpa2006-3.扭转超静定问题balllemem0bamm0bapgilt1pgilt2pgilt303ebammmpagilmpeagilmm pagilm0balllememambml

10、baqzeibflbaqqlfa85qlfb83281qlmaql83ql85kn21289ql281ql6-4.简单超静定梁lbaqzeilbaqzei1bwlbazei2bwbf120bbwwzeiql84zbeilf330qlfb83knm 图示梁,a处为固定铰链支座,b,c二处为辊轴支座.梁作用有均布荷载.已知:均布荷载集度q=15n/m,l=4m,梁圆截面直径d=100mm,=100mpa.试校核该梁的强度.2lba2lqccfafbf列静力平衡方程0qlfffcba 0yf0am0222qllflfbc变形协调方程 0cccwqwfzeiql38454zceilf4830qlfc8

11、5qlfb163qlfa163knm22. 4knm5 . 7knm22. 4knmm5 . 7maxzwmmax3max32dmmpa4 .76 试求图示梁的支反力m4bamkn20m2m2kn40dc 在小变形条件下,b点轴向力较小可忽略不计,所以为一次超静定.bm2m2kn40dcm4amkn20bbfbf1b2bw12bbww418bzqlweizbeilf33323bbzf lweizpeilf3232222leilfzp485823pbfqlfkn75. 8afbafqlfkn25.71amlfqlmba22knm125cfbpcfffkn75.48cmlflfmbpc2knm11

12、5 结构如图示,设梁ab和cd的弯曲刚度eiz相同.拉杆bc的拉压刚度ea为已知,求拉杆bc的轴力.a2baqacada2baq 将杆cb移除，则ab,cd均为静定结构，杆cb的未知轴力fn作用在ab,cd梁上。为1次超静定。caadnfnfnfnfbcbcwwl428bzqaweizneiaf32333nczf aweieaaflnbceaafeiafeiafeiaqnznznz33282334zniaaaqaf2332 当系统的温度升高时,下列结构中的_不会产生温度应力. a b c da 图示静不定梁承受集中力f和集中力偶me作用,梁的两端铰支,中间截面c处有弹簧支座.在下列关于该梁的多余约束力与变形协调条件的讨论中,_是错误的.a. 若取支反力fb为多余约束力，则变形协调条件是截面b的挠度b=0;b. 若取支承面c1对弹簧底面的作用力fc1为多余约束力，则变形协调条件为c1面的铅垂线位移c1=0;c. 若取支承面c1对弹簧底面的作用力fc1为多余约束力，则变形协调条件为c1面的铅垂线位移c1等于弹簧的变形;d. 若取弹簧与梁相互作用力为多余约束力，则变形协调条件为梁在c截面的挠度c等于弹簧的变形。fembfabc1c1cfc 图示等直梁承受均布荷载q作用,c处用铰链连接.在截面c上_.a. 有弯矩