华中农业大学微积分方红-第三章2

1、第二节第二节 换元积分法换元积分法 积分方法积分方法求导法则求导法则基本积分公式基本积分公式基本导数公式基本导数公式一、直接积分法一、直接积分法 方法：方法：初等变形初等变形+ +线性性质线性性质+ +基本积分公式基本积分公式 dxexdxdxxdxxxxdxdxxxxdxxxdxxxxx2)8( 2cos1)7(2sin)6( 1)5(tan)4( cossin2cos)3()1(1)2( )1()1(2242222例例1 1、求不定积分。、求不定积分。 二、第一类换元法（凑微分法）二、第一类换元法（凑微分法） 第一类换元法是由复合函数求导法则导出的。第一类换元法是由复合函数求导法则导出的。

2、 则则若若则则已知积分公式已知积分公式),().()( ,)()( xuufufcufduuf )()()()()(xxfxxfxf cxfdxxxf )()()( cxfxdxf )()()( 即即.),)()( ,)1(公式依然成立公式依然成立有连续导数有连续导数换为换为将基本积分公式中的将基本积分公式中的由上式知由上式知xxx cxfxdxfdxxxf )( )()()()(:)2( 关键关键上述这种求积分的方法叫上述这种求积分的方法叫凑微分法凑微分法， 即要求将导数凑成微分。即要求将导数凑成微分。 cxdxxdxxx 2222sin cos2cos:如如.2cos)(sin:22xxc

3、x 验证验证. , . , . )( , :)3( 倒数倒数和和就是就是特殊情形有两个特殊情形有两个积分消失加常数积分消失加常数使用公式要准确使用公式要准确凑完微分配系数凑完微分配系数表示为表示为根据复合抓住根据复合抓住操作操作uuduufu .)()()()( );()()()( xxddxxxxdxdxxx 例例2 2、求积分。、求积分。 22322522321001)(arcsin)8( sin)7(cossincossin)6( 11sin)5()52()4( 32)3(41)2( )32()1(xxdxdxxxdxxxxxdxxxxdxxxdxxxdxxxdxx例例3 3、求积分。、

4、求积分。 xxxdxdxxxxxdxxxxdxxxlnlnln)4( cossincossin)3(cossintanln)2( ln)1(例例4 4、求积分。、求积分。 xdxxdxxdxxdxcsc)4( sec)3(cot)2( tan)1( 222222)7( )6( )5(axdxxadxxadx例例5 5、求积分。、求积分。 xdxxxdxxxdxxxdxxxdxxdxsin3sin)6( sectan)5(sectan)4( cossin)3(cos)2( sin)1(43355232 ?sectan)2(?cossin)1(xdxxxdxxnmnm三、第二类换元法三、第二类换元

5、法 第一类换元法：第一类换元法： duufxuxdxfdxxxf)()( )()()()( 第二类换元法：第二类换元法： cxgxtctgdtttftxdxxf )( )( )( )()()()(11 .)()2(;)(,)()1(单调单调有连续导数有连续导数连续连续ttxf 例例6 6、求不定积分、求不定积分( (a0) )。 dxxaxaxdxaxdxdxxa 222222222)4( )3()2( )1(第二类换元法公式使用条件：第二类换元法公式使用条件： 例例7 7、求积分。、求积分。 dxedxxxx1)2( 1)1(3例例8 8、用倒代换法求积分。、用倒代换法求积分。dxxxaxxdx 4226)2( )1()1(例例9 9、求积分。、求积分。 1)6( )5(ln1)4( )ln(ln1)3()2(1)2( )1(22xxdxdxxaxadxxxdxxxxxxdxeedxxx作作 业业习题习题3-23-2：2 2（奇数题）（奇数题）练练 习习 题题 .)(,ln)(,2ln)1(. 4).(,tansin)cos2(. 3).(, 1)(. 2)1()4( 1)3(1)1ln()2(