15数列的综合应用

1、第十五讲数列的综合应用【基础知识】一、数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下:实际应用题审题，找出题意构建数列模型与结论间的数学关系，舉分 析 转 化数学问题的解芒用数列刘识求辭与数列有关的数学问颗二、数列应用题常见模型1. 等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型, 增加(或减少)的量就是公差.2. 等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是 等比模型，这个固定的数就是公比.3. 递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的 变化而变化时，应考虑是与曲的递推关系，还是前项和 S”与 之间的递推关系.【究疑

2、点】银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？考点一等差数列与等比数列的综合问题I(1 Y,+l1.数列”中，“严亍，前斤项和 S”满足 5w+1-5zr=l-川)(1) 求数列”的通项公式心及前/?项和 S；(2)若 S|,r(S|+S2) ),3(S2+S3) )成等差数列，求实数/的值.2.等比数列“中，anO(ne TV*),公比 e(0,1)，且心 + 2a3a5+叽叽=25 ,与 5 的等比中项为 2.(1)求数列”的通项公式”；设乞=logq,数列化的前项和 S”,当)+羊+益最大12n时，求的值.考点二等差数列与等比数列的实际应用1.从 2005 年 1 月 2 日起， 每年 1

3、月 2 日到银行存入 1 万元定期储蓄， 若年 利率为，且保持不变，并约定每年到期存款的本利均转为新一年的定期存 款，到 2011 年 1 月 2 日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数 为多少万元？2某地区森林原有木材存量为 a,且每年增长率为 25%,因生产建设的需要 每年年底要砍伐的木材量为 b,设心为年后该地区森林木材的存量.(1) 求 a”的表达式；7(2) 为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于詁, 如果 b=弟,那么该地区今后会发生水土流失吗？若会， 需要经过几年？ (参考数据：lg2=03)【归纳领悟】实际生活中的人口增长问题，银行利率问题，分期付

4、款等问题，往往都 和数列有关，解题时要充分挖掘题中所给条件，建立适当的数列模型求解.考点三数列与函数、解析几何、不等式等知识的综合应用1. 已知函数/(x)=a夕的图象过点 A(2, |), (3,1),若记 a”=log/()(WN )，s”是数列 S”的前项和，则 s”的最小值是_ .2. 已知函数念)=辛 2 数列 S”满足心=1,如+1=/(舟)，/eN*,求数列仙啲通项公式；(2) 令 几=/7 诫 2心+34aM5 +02/皿 2+1, 求 Tn；1亠m2 000 .(3) 令九=一 (n2), b=3$ Sn=bi+b2- bn9若 Sv对如一 1 心z一切/GV 成立，求最小正

5、整数加.3.已知数列心为等比数列，血=6,心=162.求数列伽啲通项公式.4.在直角坐标平面内，有一点列 Pi( bx), P2S2, b2)9, Pn(an9bn)f, 对于每一个自然数叭点 Pi, P2,， 几， 都在曲线 y=0 上， 且点 P” 与 An(n,0),砒 + 1,0)构成以 Pz,为顶点的等腰三角形求 P29，Pn9各点的纵坐标构成的数列鬧的通项公式;设 C”电一求 Cl+C2+c” 设久是数列心的前项和，证明:S” S卄2S洽W1.5设 P“P2，P 和顺次为函数尸扣0）图象上的点（如图）4,02,，顺次为 x 轴上的点，且厶 OPxQu0P202,均为等腰直角三角形（

6、其中 P”为直角顶点）.设的坐标为（x0）（/GN*）,则数 列”的通项公式为_【归纳领悟】数列与解析几何，不等式，函数的综合题要注意用几何法或函数解析 式构造数列，用函数或方程的方法研究数列问题考点四图表中的数列问题1.给出一个“直角三角形数阵”,满足每一列-4成等差数列，从第三行起每一行的数成等比1 12 4数列，且每一行的公比相等，记第 i 行，第丿-4816列的数为如则第 1 列的公-差等于_ ,阳等于_ .2.某资料室在计算机使用中，如下表所示，编码以一定规律排列，且从左 至右以及从上到下都是无限的.11III1123456135791114710131615913172116111

7、62126 此表中，主对角线上数列 1,2,5,10,17,.的通项公式为_；编码 100 共出现_次.3已知 64 个正数排成如图所示的你 al2厲 3 细8 行 8 列在符号。22 。23“28眉& i,疋 N )中，i 表示该数所在行数，/表示该数所在列数，2 83已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比都等于心若11 = 2, 24=E 心 2 = 求的通项公式；(2)记第 k 行各项和为加，求山的值及数列加的通项公式；若 4*1, )28 依次成等比数列，则OP1P2的面积是_ .3. 某种细胞，开始时有 2 个.1 小时后，分裂成 4 个，并死亡 1 个.2 小

8、时后,分裂成 6 个，并死亡 1 个.3 小时后，分裂成 10 个，并死亡一个.“，按此 规律，6 小时后，存活细胞的个数是_.4. 将全体正整数排成一个三角形数阵按如图所示的排列规律，第“行(“M3)从左到右的第 3 个数为_.7 8 9 105. 据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为 2 km,以后每秒钟通过的路程增加 2 km,在到达离地面 240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是_ .6. 在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第 1 堆只有一层，就一个球； 第

9、2、3、4、堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开 始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球.以 /()表示第堆的乒乓球总数，则/(3)=_；/(/:)=_ (答案用n 表示).7.某拖拉机制造厂原计划今年第一季度的产量逐月增加相同的台数，由于 职工发挥了生产积极性，二月份比原计划多生产 10 台拖拉机，三月份比原 计划多生产 25 台，这样，三个月的产量成等比数列，而第三个月的产量比原计划第一季度的产量的一半少 10 台，则这个厂第一季度生产了_台.8.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第 1 名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以

10、名次类推都得到剩下的一半 多一万元，到第 10 名恰好资金分完，则此科研单位共拿出_万元资金进行奖励.9.过圆 0+护=5 内一点 pg,爭)有n条弦，这n条弦的长度成等差数 列 S”,如果过 P 点的圆的最短的弦长为山，最长的弦长为如，且公差 d那么的取值集合为_.二、解答题二、解答题10.已知曲线 C：Cn：$ =匸吉从 C 上的点 Qn(Xn,如作 X 轴的垂线，交 C”于点 P”，再从点 P“作 y 轴的垂线，交 C 于点+I( (x”+1, +1).设 X1=1, Q=x”+1x”，”=y“一 y”+i(如图所示).(1)求 0、0 的坐标；求数列如的通项公式；记数列伽仇的前项和为

11、S”，求证：S”V? 11 某商店投入 38 万元经销某种纪念品，经销时间共 60 天，为了获得更 多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，W25,26WW601,该商店在经销这一产品期间第/天的利润心=丄25 儿(单位： 万元， 訴)， 记第 天的利润率儿=前 天投入的资金总和,例 如亦=38+01+亦(1) 求加，仇的值；(2) 求第/天的利润率九；(3) 该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利 润率.数列的综合应用课后作业: 答案n2n+65. 15 秒钟1. 22. 13. 654-26. 107. 3058. 2 0469. 5,6,723210解：由题意知(?i(14), Pi(l , 5) . 02(,亍)Qn(X“tJ