高等数学教学课件7.37.7

1、齐次方程 第三节形如形如)(ddxyxy的方程叫做的方程叫做齐次方程齐次方程 .什么是齐次微分方程什么是齐次微分方程.dyxy)2(xdx)y(xy22为为齐齐次次方方程程例例如如：化化方方程程0 )xy(dxdy)xy()xy(xydxdy 即即212)(ddxyxy齐次方程的解步骤齐次方程的解步骤 .令令,xyu ,xuy 则代入原方程得代入原方程得,uxdudxxdyd (u)xdudxu xxdu(u)ud 两边积分两边积分, 得得 xxdu(u)ud积分后再用积分后再用xy代替代替 u, 得原方程的通解得原方程的通解.解法解法:分离变量分离变量: 例例1. 解微分方程解微分方程.dx

2、dyxydxdyxy22 解解:uxyxyu 得得令令,dxduxudxdy 则1uudxduxu2 1uudxdux 即即1cxlnulnu 通解为cyxy ln1xy)xy(dxdy2 原方程化为原方程化为xdxdu)u( 11分离变量得分离变量得11-cc 取取cu|xu|ln例例2. 解微分方程解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解: ,xyxy2xdyd2 uxy,xyu 得得令令则有则有2uu2udxdux 分离变量分离变量xxduuud2 积分得积分得,cxlnu1uln1 xxdudu11u1 即即代回原变量得通解代回原变量得通解1ceu)1u(x yc)xy(x (取取

3、c =ec1),udxduxdxdy 则;xydydx)yx)(;xylnydxdyx)(.:p032130922 ：求下列齐次方程的通解求下列齐次方程的通解一阶线性微分方程 第四节一阶线性微分方程标准形式一阶线性微分方程标准形式q(x)yp(x)xdyd 称为称为非齐次方程非齐次方程 .称为称为齐次方程齐次方程 ;0 )x(q若若0 )x(q若若0yp(x)xdyd 1. 解齐次方程解齐次方程分离变量分离变量xdp(x)yyd 两边积分得两边积分得clnxd(x)pyln 故通解为故通解为xd(x)pecy 2. 解非齐次方程解非齐次方程q(x)yp(x)xdyd 用用常数变易法常数变易法:

4、,eu(x)y(x)xdp(x) 则则 xdp(x)eup(x) xdp(x)euq(x) 故故非齐次方程非齐次方程的通解的通解 cxde(x)qeyxdp(x)xdp(x)即即作变换作变换 xdp(x)eup(x)xxpxqxud)(e)(ddcxde(x)quxdp(x) 两端积分得两端积分得例例1. 解方程解方程 .1)(x1xy2xdyd25 解解: 先解先解,01xy2xdyd 即即1xxd2yyd 积分得积分得,ln1ln2lncxy即即21)c(xy 常数变易法常数变易法.,1)(x(x)uy2 则则1)(xu21)(xuy2 代入非齐次方程得代入非齐次方程得21) 1( xuc

5、1)(x32u23 故原方程通解为故原方程通解为 c1)(x321)(xy232令令122311315 xxsinx|y,xxsinxydxdy;excosy y)(;eydxdy:p）（、求满足条件的持解：、求满足条件的持解：）（解：解：、求下列微分方程的通、求下列微分方程的通p309 1 (2) , (3) p315 1(1) , (3) ；2(2) 作业作业二阶线性微分方程 第六节一、线性齐次方程解的结构一、线性齐次方程解的结构 二、线性非齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构 一阶线性微分方程标准形式一阶线性微分方程标准形式q(x)yp(x) y cxde(x)qeyxdp(x)x

6、dp(x)通解为：通解为：复习：复习：二阶线性微分方程二阶线性微分方程( )( )( )yp x yq x yf x时时, 称为非齐次方程称为非齐次方程 ; 0)(xf时时, 称为齐次方程称为齐次方程.0)(xf )(11ycxp )(11ycxq0证毕一、线性齐次方程解的结构一、线性齐次方程解的结构)x(y),x(y21若函数若函数是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程0 y)x(qy)x(py的两个解的两个解,也是该方程的解也是该方程的解.证证:)x(yc)x(ycy2211 将将代入方程左边代入方程左边, 得得 11 yc22yc 22yc22yc)()(1111yxqyxpyc )()(

7、2222yxqyxpyc (叠加原理叠加原理) )x(yc)x(ycy2211 则则),(21为任意常数cc定理定理1.定义定义:)(,),(),(21xyxyxyn设是定义在区间是定义在区间 i i 上上的的 n 个函数个函数,21nkkk使得使得ixxykxykxyknn, 0)()()(2211则称这则称这 n个函数在个函数在i i上上线性相关线性相关, 否则称为否则称为线性无关线性无关.例如，例如， ,sin,cos,122xx在在( , )上都有上都有0sincos122xx故它们在任何区间故它们在任何区间 i i 上都线性相关上都线性相关;又如，又如，,12xx若在某区间若在某区间

8、 i 上上,02321xkxkk321,kkk必需全为必需全为 0 ,可见可见2,1xx故在任何区间在任何区间 i i 上都上都 线性无关线性无关.若存在若存在不全为不全为 0 的常数的常数两个函数在区间两个函数在区间 i i 上线性相关与线性无关的充要条上线性相关与线性无关的充要条件件:)(),(21xyxy线性相关线性相关常数常数 )x(y)x(y21)(),(21xyxy线性无关线性无关)()(21xyxy常数常数定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解性无关特解, )x(yc)x(ycy2211 数数) 是该方程的通解是该方程

9、的通解.例如例如, 方程方程0 yy有特解有特解,cos1xy ,sin2xy 且且常数常数,故方程的通解为故方程的通解为xcxcysincos21推论推论. nyyy,21若是是 n 阶齐次方程阶齐次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的的 n 个线性无关解个线性无关解, 则方程的通解为则方程的通解为)c(ycycyknn为任意常数为任意常数 11xytan21y为任意常21,(cc则则二、线性非齐次方程解的结构二、线性非齐次方程解的结构 )(* xy设是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解, )(*)(xyxyyy(x)y(x)是相应齐次方程的通解

10、是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxqyxpy 则是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解 .例如例如, 方程方程xyy 有特解有特解xy *xcxcysincos21对应齐次方程对应齐次方程0 yy有通解有通解该方程的通解为该方程的通解为xxcxcysincos21b)(ae ,e(10) xlnx;lnx,(9)x;2sinex,2cose(8) cosxsinx;x,2sin(7);xe,e(6) x;2sinx,2cos(5) ;e ,e(4);e,3e(3) x;x,2(2) ;xx,)(:pbxaxxxxxxxx2x2222 11331关性：关性：、下列函数组是线性

11、相、下列函数组是线性相通通解解。的的解解，并并写写出出该该方方程程的的都都是是方方程程及及、验验证证02221 yyxsinyxcosy 并写出该方程的通解。并写出该方程的通解。的解，的解，都是方程都是方程及及、验证、验证0244322212 y)x(xyyxeyeyxx常系数 第七节齐次线性微分方程 基本思路基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程求特征方程(代数方程代数方程)之根之根转化转化二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数qpyqypy xrey 代入代入得得02 xre) qprr(02 qrpr称称为微分方程为微分

12、方程的的特征方程特征方程,1. 当当042qp时时, 有两个相异实根有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解方程有两个线性无关的特解:,e11xry ,e22xry 因此方程的通解为因此方程的通解为xrxrececy2121 ( r 为待定常数为待定常数 ),令令的解为的解为 则微分则微分其根称为其根称为特征根特征根.),(0为常数qpyqypy 特征方程02qrpr2 2.当042 qp时时, 特征方程有两个相等实根特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程一个特解则微分方程一个特解,exyxr12 另另一一特特解解因此原方程的通解为因此原方程的通解为xre)xcc(y121 ,

13、2p,eyxr11 3. 当当042qp时时, 特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根i,i21rr原方程有两个复数解为原方程有两个复数解为 利用解的叠加原理利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解得原方程的线性无关特解:)yy(y21211 )yy(yi21212 xcosex xsinex 因此原方程的通解为因此原方程的通解为)xsincxcosc(eyx 21 x)i(ey 1)xsinix(cosex x)i(ey 2)xsinix(cosex 小结小结:)q,p(yqypy为常数为常数0 ,qrpr02 特征方程特征方程:xrxrececy2121 21,:rr特征根21r

14、r 实根 221prrxre)xcc(y121 i21,r)xsincxcosc(eyx 21 特特 征征 根根通通 解解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .例例1. 032 yyy求方程求方程的通解的通解.解解: 特征方程特征方程,rr0322 特征根特征根:,r,r3121 因此原方程的通解为因此原方程的通解为xxccy321ee例例2. 求解初值问题求解初值问题0stdsd2tdsd22 ,4s0t 20ttdsd 解解: 特征方程特征方程0122 rr有重根有重根,rr121 因此原方程的通解为因此原方程的通解为te)tcc(s 21利用初始条件得利用初始条件得,c41 于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为ttse)24(22 c的的通通解解。、求求微微分分方方程程例例0523 y yy:y yy对对应应的的特特征征方方程程为为解解：方方程程052 0522 rr)xsincxcosc(eyx2221 所所求求的的通通解解为为：.r ,rir , ir为