平差教学课件成晓倩习题1协方差传播律应用

1、协方差传播律协方差传播律习题课习题课例例1：设有观测向量：设有观测向量 ，其协方差阵为，其协方差阵为试分别求下列函数的方差：试分别求下列函数的方差：（1）（2）1233,1tllll612141212lld 112332flll1222123flll解析解析：（：（1）化为矩阵形式：）化为矩阵形式： 协方差传播律：协方差传播律：21161211 321413402122ffdtkklld1123132lfll22211221312361221211411221212f ffldlll1112221123313231122122dldfldldll dllldldl（2）线性化：）线性化：运用协

2、方差传播律：运用协方差传播律：1121221113331244442lll lll例例2：下列各式中的：下列各式中的 均为等精度独立观测值，其中误差为均为等精度独立观测值，其中误差为 ，试求，试求 的的中误差：中误差：（1）（2）1,2,3il i 12312xlll123l lxlx解析：分析题意，提取信息：解析：分析题意，提取信息：等精度独立观测值等精度独立观测值观测值的协方差阵观测值的协方差阵222000000lld22222221122332222113442xxxdkkk（1）中误差传播律：）中误差传播律：32x123lnlnlnlnxlll（2）线性化，先取对数：）线性化，先取对数

3、：再求全微分：再求全微分：222222222112224333xlll llll21121232333lllldxdldldllll22222223131223xl ll ll ll 本身已本身已含正负性含正负性线性化取对数线性化取对数可以简化运算可以简化运算例例3：设有观测值向量：设有观测值向量 ，其协方差阵为，其协方差阵为现有函数现有函数 ， ，试求函数的方差，试求函数的方差 ， 和互协方差和互协方差1233,1tllll301041112lld112l l2132ll1d1 2d 2d解析：线性化：解析：线性化：11211221230dldl dlldllldldl22212112130

4、10041341120ldlllll协方差传播律：协方差传播律：21212130120041071121dllll 230122010410181121d例例4：已知观测值向量：已知观测值向量 ， 和和 及其协方差阵为及其协方差阵为 现组成函数现组成函数式中，式中， 为系数阵，为系数阵， 为常数阵。令为常数阵。令 ，试求协方差阵，试求协方差阵11,1nl111213212223313233ddddddddd102030xalayblbzclc33,1nl22,1nlabc、 、wwdtwx y z000abc、 、解析：运用协方差传播律解析：运用协方差传播律111213212223313233

5、000000000000ttwwtadddadbdddbcdddc102030000000xalawyblbzclc111213212223313233tttttttttad aad bad cbd abd bbd ccd acd bcd c注意：注意： 为矩阵，为矩阵，因此在相乘时不能写为因此在相乘时不能写为abc、 、211a d13txzdad c例例4：已知观测值向量：已知观测值向量 ， 和和 及其协方差阵为及其协方差阵为 现组成函数现组成函数式中，式中， 为系数阵，为系数阵， 为常数阵。令为常数阵。令 ，试求协方差阵，试求协方差阵11,1nl111213212223313233ddd

6、dddddd102030xalayblbzclc33,1nl22,1nlabc、 、wwdtwx y z000abc、 、解析：运用协方差阵的定义解析：运用协方差阵的定义xxxyxzwwyxyyyzzxzyzzddddddddddxwyz111213212223313233tttttttttad aad bad cbd abd bbd ccd acd bcd c11txxdad a12txydad b23tyzdbd c21tyxdbd a22tyydbd b33tzzdcd c31tzxdcd a32tzydcd babca例例5：如图所示，：如图所示， 是等边三角形，观测边长和角度得观测值

7、为是等边三角形，观测边长和角度得观测值为 ，且，且 。为使算的的边长。为使算的的边长 具有中误差具有中误差 试问角试问角 和和 的观测精度应为多少？的观测精度应为多少？10000.015bbmm60 00000.02am解析：解析：1.写出边长函数式：写出边长函数式：222222222222224sincossincossinsinsinabbb, sinsinablnlnlnsinlnsinab2sincossincossinsinsinbdbddadb2.线性化：线性化：注意：单位统一注意：单位统一3.协方差传播律：协方差传播律：由于由于22222222cossinabb3.34187 代

8、入数值得：代入数值得：例例6：在已知水准点：在已知水准点 （其高程无误差）间布设水准路线，如图所示。路线长度为（其高程无误差）间布设水准路线，如图所示。路线长度为 ，设每千米观测高差中误差，设每千米观测高差中误差 ，试求：，试求：（1）将闭合差按距离分配后）将闭合差按距离分配后 两点间高差的中误差；两点间高差的中误差；（2）分配闭合差后）分配闭合差后 点高程的中误差点高程的中误差ab、1232,6,4skm skm skm1.0mm12pp、1p解析：单位公里高差中误差为解析：单位公里高差中误差为 ，设三段水准路线测量高差为，设三段水准路线测量高差为123,h h h1.0mm其高差中误差分别

9、为其高差中误差分别为123, 1012023032;6;2smmsmmsmm由协方差传播律得：由协方差传播律得：由题意得：由题意得：123112233ababhhhhhhhhhh 123123ababbahhhhh 令令（1）按距离分配闭合差：）按距离分配闭合差：2212312abbashhhhhs 22212311112222bahhhhhhh 由协方差传播律得：由协方差传播律得：222222123134hhhhmm23hmm （2）点）点p1的高程函数式：的高程函数式：211111235115166666paaabhhhhhhhhhh 22212311112222bahhhhhhh 222

10、2212311525363hhhhpmm151.293hpmmmm 例例7：在图中，由已知点：在图中，由已知点a丈量距离丈量距离s并量测坐标方位角并量测坐标方位角 ，借以计算，借以计算p点的坐标。点的坐标。观测值及其中误差为观测值及其中误差为 ，设，设a点坐标无误差，点坐标无误差，试求待定点试求待定点p的点位中误差的点位中误差 。127.000.03 ,30 002.5smmp2222sincoscossin0sincoscos0sinxxysyxysssssincoscossinppsdxdsdysd解析：解析： 1.列出坐标函数式：列出坐标函数式：cospaxxssinpayys2.线性化：线性化：sincospsdxdsdcossinpsdydsd3.矩阵化：矩阵化：4.协方差传播律：协方差传播律：4.点位方差：点位方差：222pxy 22