(完整版)高等数学习题册答案华东师大Ch8Differentialofmultivariablefunctions

1、1 第 8 章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1 1、设 f x y, x2 y2，求 f x, y ， x 解: y f x y, x y x 2 x y x y x y x y x 1 2 y 1 _y x，故得 _y x f 21 y f x, y x f x y, xy 2 1 xy x y 1 y 1 xy 2 2、求下列各极限: 3 3、证明极限lim 0 0 4 4、讨论下列函数在 0,0点处的连续性: (1) 0 y 0 2 2 x y 2 2 x y lim r 0 4 2 . 2 r cos sin r2 1 2 2 lim r2 sin22 0 r 0 4 注意：在利

2、用极坐标变换 x r cos , y r sin来求极限时, 0也是变量。本题中，r 时，r2为无穷小量，而 2 sin 2为有界变量，故所求极限为零。 xy sinxyxy 证明：当y2 kx 时，f x, y 2 xy 2 x k y4 1 k2 ，故 12m 2 y腐x 2 xy_ 4 y k 口与k有关。 可见，x, y沿不同的路径趋于 0,0 时, 函数极限不同，故极限不存在。 （ 两 路 径 判 别法） (1) f x,y y2 ln x2 0, 2 ,x 2 x 2 y 2 y 解: lim x,y 0,0 x, y lim x,y 0,0 x2 y2 In x2 0 f 0,0

3、 故原函数在 0,0 点处连续。 x y, xy 。 2 xy 2 x -不存在。 y 2 2xy 2 2 2, x y x y 2 2 x y 点不连续。 5 5、求下列函数的偏导数: 其余诸小题略。 7 7、略。 故f x,y在0,0点处连续;解：limd 戈器x y 2与k有关， 1 k2 故原函数在 0,0点处的极限不存在，因而在该 (2) f x, y 0, (2) u xyz(x,y,z 0) u z yz 1 u y x x yz x In X z 1 zy ,z xy ln x yz In y 6 6、求函数z xy的各种二阶偏导数 ” z 解： x yxy1 -xy lnx

4、2z xy y 1 yx In x， 2z y yx 1ln xy x2 8 8、讨论函数f x, y . 1 sin x2 0, 2 y2, * * x 2 x 0,0点处：(1 1)是否连续; (2)是否存在偏导数; (3) 是否可微; (4(4) 偏导数是否连续。 解:( 1 1) lim x,y 0,0 x,y lim x,y 0,0 x2 2 1 y sin - 2 2 x y limt2sin1 0 f 0,0 t 0 t 2 2 0, 3 (2) 0,0 f 0 x,0 f 0,0 2 . 1 x sin = x2 0,0 lim f 0,0 y f 0,0 y 0 2 . 1

5、y sin . - 2 y 0 ； x,y 0,0 点处的两个偏导数均存在; (3) lim x 0 y 0 x,0 lim x x y 因此，f (4(4) y f 0,0 fx 0,0 X fy 0,0 sin x,0 x,0 x, y在 x, y x, y 0,0 2 1 y sin x2 2 . 1 y sin 、x2 2 y sin f 0,0 f 0,0 点处可微。 0时，求出f x,y 1 2xsin ， / 2 2 ,x y 0, 2ysin 因此 0,0 0,0 0,0 0,0 的两个偏导数，结合 2 2）的结果，得 x _ - cos -, x 2 2 2 2 ,x y .

6、-X y 2 x y 1 2 :cos - , x 2 2 2 2 x y x y 2 x 4 1 1 尽管函数2xsin - 和2ysin - 在0,0点处的极限均存在，但函数 2 2 2 2 X y . X y X - cos , 1 禾和 y 一 cos 1 在 0,0点处的极限均不存在（因为根 2 2 2 2 2 2 2 2 X y x y x y x y 9 9、设f具有一阶连续偏导数，求函数 U f x xy, 的一阶偏导数。 “ u 1 u x 解： yh f2， xf1 2 f2 x y y y 解：zx f1 策1 x J 2xy 策f1 x 2xyf2 Zy 1 f1 x

7、f2 2 1 x f1 x x2 f2 Zxy 丄 2 x f1 上 2 x f 1 !11 x f12 x2 2xf2 2xy f21 f22 x x 丄 2 x f1 y 3 x fn yf12 2xf2 2x3yf22 （注意到 f12 f21 ) 1010、设f具有两阶连续偏导数， z 丿，x2y，求 z z 的各种二阶偏导数。 x 据两路径判别法, lim x x 0 y 0 x y 和lim y 均不存在），故极限 x 0 y 0 x2 y2 lim x 0 y 0 2xsin丄飞 x y x cos x2 y2 1 r2 2 x y lim x 0 y 0 1 cos- = )2

8、 2 x y 均不存在。因此，fx x, y和 fy x, y 在 0,0点处不连续! 5 u v v u - x x u v 2u 2v一 x x 解得:1111、设二元函数 z z x, y由方程z ez xy所确定, 解：方程z ez xy两边关于x 求偏导，得一 x 故得二 x 程两边关于y求偏导，得 x，故得 y x o z 在方程 y x两边关于x求偏导, 2z 2z ，于是得 2z z z e - x y 1 ez 1 ez J 1 ez ez2 z e xy 3 z e 或直接根据 z z xe - _ x 1 ez 2 1 ez z y xe - 1 ez z e 1 ez

9、ez3 z e xy o 1212、设方程组 2 2 x y uv 2 2 2 xy u v 确定函数u u x, y , v v x,y，求-U，-U ,和 x y x 解：方程两边分别关于 x和y求偏导数，得 c U V c 2x v u 0 x x y2 2U2v x x 即 u 2y v v 0 y y 0 2xy 2u 2v 0 y y u v y v u一 y 2y u v u v xy y y 2x 2 y 6 1313、求曲线 y t3 在1,0,1处的切线和法平面方程。 z 41 t2 解：若以x为参数，则两个方程两边各关于 x求偏导数（将y和z看作x的函数），得 2x 2y

10、dy 2z空 0 dx dx 2x 2yd a dx 解得 dz a dx 2z dy a 2x dx 2y 很遗憾，在M0 0,0, a处，dy不存在！因此，可重新考虑以 y为参数，则两个方程两边 dx 各关于y求偏导数（将x和z看作y的函数），得 dx dz 2x 2y 2zdy dy dx dx 2x 2y a - dy dy u 4xv 2 y u v 4xu 2 y v u x 2 u2 2 ， v x 2 u2 2 ， v y 2yv xyu v 2yu xyv 2 2， 2 2 u v y u v 在点 解：dx 2 q dy 2 dz t )IJ 1 - JI 1 I dt d

11、t dt .t2 1 点1,0,1所对应的参数t 0。故曲线 dx dy dz d t cdt t Q, dt 2,0,0 ，故切线方程为 x 1 y 2 0 （或即 y 0），法平面方程为x 1 0。 z 1 1414、求曲线 2 x 2 x 2 y 2 y 2 z ax 在点Mo 0,0,a处的切线与法平面方程。 1,0,1处的切线的方向向量为 0 7 解得 dx 2y dy a 2x dz ay dy 2x a z 故曲线在点M。0,0,a处的切线的方向向量为 dx d J1, 0,1,0 dy 0,0,a dy 0,0, a 故得切线方程为- y z a x （或即 0），法平面方程为

12、y 0。 0 1 0 z a 1515、求曲面ex xy z 3在点0,1,2处的切平面与法线方程。 解：设 F x, y, z ex xy z 3，则 Fx ex y， Fy x，Fz 1。故得所求切平 面的法向量为 FX（0,1,2） , Fy （0,1,2） Fz（0,1,2） 2,0,1 于是得切平面方程为 x 2x z 2 0，法线方程为一 2 1616、求函数z ln x y 在点 1,2 处沿从点1,2 到点 2,2 爲的方 向导数。 解：因- z 1 z 1 -，r 1,V3 1 ，cos - ,cos 巧一 ，故得 x x y y x y 2 2 z z cos z 1 co

13、s 一 1 l 1,2 x 1,2 x 1,2 3 2 3 2 6 1717、求函数 2 2 x, y x xy y在点P0 1,1处的最大方向导数。 解：f x, y在点P0 1,1处沿梯度方向的方向导数最大， 最大值即为梯度向量的大小。 因 gradf 11 丄 x 1,1 1,1 ,故得f gradf 1,1 42。 1,1 8 1818、求 z 1 ey cosx yey 的极值。 z y 1 e sinx 0 x Lr 解： 由 x ，得 k （k为整数） ， 即驻点为 z y 0 y cosk 1 e cosx 1 y e y 2n , 0 和 2n 1 , 2，其中 n 0, 1

14、, 2, 3, 。 2 2 2 又因 z 2 y 1 e cosx， z 2 cosx 2 y e， z e sin x 2 2 x y x y 故在驻点 2n , 0处, 2 z 2 z 2 亠 z A 2 0，B 0，C 2- 1 x 2n ,0 x y 2n ,0 y 2n ,0 H AC 2 B2 2 0， 因此，函数在驻点 2n , 0处取得极大值 f 2n ,0 2。 在驻点 2n 1 2处， 2 2 2 1 z 2 z z 2 A 1 e 0，B 0，C 2 e x 2n 1 , 2 x y 2n 1 , 2 y 2n 1 , 2 2 2 2 H AC B e 1 e 0, 19

15、19、求函数z f 的最值。 x,y cosx cosy cos x y在闭区域D: 0 x 2, 0 y 2 上 解：由一z sin x sin x y 0， sin y sin x y 0得 x y sin x sin y 0 ,f 2n 1 2 1 e e Z丄1 2 2 e e 不是函数的极值！ 因此，驻点 2n 1 2并不是函数的极值点，亦即 9 即 x y x y 小 2sin cos 0 2 2 注意到0 x y ， x y 故知上述方程在区域 D的内部没有解。因此，函数 2 2 - 在D内部没有驻点。由此可知，函数的最值必在 D的边界上取得（否则区域内部必有驻点）。 在x 0

16、0 y 上, 2 f x,y 在y 0 0 x -上, f x,y 2 在x -0 y -上, f x, y 2 2 最小值为 1 1； 在y 0 x 上, f x, y 2 2 最小值为 1 1。 因此, 函数在区域 D上的最大值为 1 2cos y，最大值为 3 3，最小值为 1 1 ； 1 2cosx，最大值为 3 3,最小值为 1 1 ； sin y cos y 、2sin y，最大值为、2 ， 4 sin x cosx 、 、2 sin x，最大值为2 ， 4 3 3，最小值为 1 1。 2020、设 f x, y 偏导数、可微。 0 ，讨论f x, y在点0,0处是否连续、存在 0

17、 解：（1）x,y|m0,0f x，y lim x,y 0,0 2 . r sin cos 0 f 0,0 或由 x,y 1 2 x 2 .x2 x,y f 0,0，因 2 y 2 y xy Iim0 2 2 y 而 0，故得 lim x,y 0,0 10 此，f x, y在0,0点处连续;11 f 0 x,0 f 0,0 0 0 (2) fx 0,0 lim lim 0 x 0 x x 0 x f 0,0 y f 0,0 0 0 c fy 0,0 lim lim 0 y 0 y y 0 y 故f x,y在0,0点处的两个偏导数均存在; x, y在0,0点处不可微。 2121、设 z f x,

18、y 在点 1,1 处可微，且 f 1,1 1， f 2，丄 3， x d 3 x 1,1 y 1,1 f x, f x,x ， x 。 dx x 1 解：-d- 3 x 3 2 x 2 x 3f x, f x,x f1 f2 f1 f2 ，故 dx d 3 x 3f2 1,1 f1 1,1 f2 1,1 h 1,1 f ：2 1,1 51 dx x 1 x, y, z由连续的一阶偏导数，又函数 y y x及z z x分别由exy xy 2(3) f 0 x,0 y f 0,0 fx 0,0 x fy 0,0 y 不存在（两路径判别法）， 和ex 罟dt确定，求 du dx 解：分别在方程xy

19、2和ex sintdt两边关于x求偏导数（y和z为x的函数）， 0 t 得exy dy y x dx dy x dx sin dz ，解得: dx 2222、设 u 2 x 2 X X o oo o X X y y X yX y X X 2 X X 0、 X 2 y 2，因此, 12 由链式法则，得 x du dy dz y x z e fl f2 f3 fl f2 f3 1 - dx dx dx x sin x z x 2323、求由方程组 y u v 2 u v 3 u v 2所确定的隐函数点 3 z f x, y在点1,1处的偏导数 z z x u v 解：由方程组 2 2分别可 y u v 1 u v 0 u v x x y y c u c v u v 0 2u - 2v 一 1 2u2 x x y y 解得 u 1 u v x v u y 2 u v v u v 1 x u v y 2 v u 于是由z u3 v3，得 z c 2 u 小 2 v c z 小2 u v 3 32 3v2 3uv， 3u 3v u v x x x y y y 2 2424、设 z e x f x 2y ，且当y 0时z x2 。 求- z 。 2 2525、在椭圆x 2 4y 4上求一点，使其到直线 2x 3y 6 0的距离最短。