泰勒公式的应用

1、种初率碗毕业设计（论文）课题名称学生姓名学号系、年级专业 理学与信息科学系、数学与应用数学 指导教师职称教授2009年 5月 日泰勒公式的应用【摘要】 泰勒公式是我们大学数学分析中的一个很重要且应用比较广泛的一 个公式，在近似计算上有独特的优势，利用它可以将非线性问题转化为线性问题, 并能满足很高的精确要求。除此之外，泰勒公式在应用于求极限，判断级数的敛 散性和多种不等式的证明中，这对深刻体会泰勒公式的重要作用，拓宽我们的解 题思维，提高分析与解决问题的能力以及综合运用知识的能力有着巨大的指导作 用。【关键词】泰勒公式；极限；近似计算；敛散性;The application of Taylor

2、 FormulaAbstractTaylor formula is one of more important formula and has broader applications to mathematical analysis and study in the university, In the approximate calculation it has unique advantages, It can be transformed non-linear problem into a linear problem, and meet the requirements of hig

3、h precision. In addition, Taylor formula applies to solve the limitation , judge the Convergence and Divergence of Series and prove a variety of Inequality and so on.It is an important guide for us to have a better understanding of Tayor formulagreat functions, to exploit our ways to thinking proble

4、ms, to improve our ability in analyzing and solving problems and multi-use knowledgeKey wordsapproximate calculation;Taylor formula;limitation;convergent-divergent discriminution;目录中文摘要2英文摘要3泰勒公式的引入5泰勒公式6二. 泰勒公式的应用71. 求极限72. 在定积分不等式中的运用 73. 在代数不等式中的运用 84. 在导函数不等式中的运用95. 判断敛散性116. 求近似计算117. 函数的麦克劳林展开

5、式 12三. 结束语13致谢词 14参考文献 15泰勒公式的引入通过导数作近似计算：/(x) f(x0) + ff(x0Xx-xQ)而事实上由傲分给出的近似计算得 f (x) = J (x0) +)(x x0) + o(x x0)心在f(x)的定义域中的任意点。1. 当取xo=O,有 f(x) = f(0) + f0)x + o(x)P, = /(0) + fO)x与函数/(x)在x = 0点不仅函数值相等，且一阶导数也相等, 我们称片(%)是/(A-)在X = 0点的一阶近似。2. 为了提高精确度 设P2W =心+加+勺严来近似替代/(x),且满足人(0) = /(0)上(0)=广(0),(

6、0)=八0)这时 就说P2(x)是fx)在x = 0点的二阶近似。再来确定5,也2的系数，对4(切分别求一阶，二阶导数，有99P2 (x) = at + 2a2x, P1 (x) = 2a2用X = 0代入，得马(力=他=于(0),马& =广(0),马(劝=2a2 =厂(0)即 ao /()，“=广(0) “2 = 2从而得到二次近似式/(X)7(0) + 广(0)x + 弓罟它比一次近似更精确。把上面的步骤继续下去，可得更高阶的近似。n阶的近似式= f (0) + 八0) +- x2+- + x从而引出泰勒公式：定理 若/(X)在x = 0点有直到n+1阶连续导数，那么/(X) = /(0)

7、 + 广(0) + -x2 + + 21X” + R”(X)2!ir.Rn (x)=丄一!2 a-* ,(其中殖o与%之间) ( + 1)!这个公式叫做在x = 0处的泰勒公式，式中心(x)叫做拉格朗日余项。推广：若在x = x0点有直到n+1阶连续导数，那么/(劝=/(兀)+广(“)+匸評，+ +匚黑*+RQ-无)2!77!Rn (A-A-o ) = L If 严,(其中亦)与X之间)(n + 1)!也叫在x = x0处的泰勒公式，一般的在x = 0处的泰勒公式叫做麦克劳林公式。根据定义可以推出一些常见函数的麦克劳林公式：(应记住)X2v,rv = l + x + + . + + 0(xn)

8、!x3 x5sinx = x-1- + 3!5!+ (-1 严(2/n-1)!+ 0(x2w)x xcosx = 1- + + + (-1)2!4!2m町!+ 0(严)ln(l + x) = x - + +-1/1 + 0(xn)23n、.a(a-l)少a(a-l)(a- + l) “、(l + x)“=l + ax+ F+ + +0(0)2!n= + x + x2 + + x +0(x)l-x二.泰勒公式的应用1.求极限例 i： iim，sinv7(1+Y)的极限。解：因为分母是卫，故分子的泰勒公式中取 =3,=1 + X + - + + o(xA), sin x = x 23!+ + o(

9、“)；所以有:ex sinx-x(l + x)1即71 + X+才 + 奇+ o(x4)x_奇+ o(x4) - X(1 + X)= lim-3!x3 -x3X + X2 + + o(x4) 一 x(l + x)=limp2()X斗+如)=lim 2()X二丄32.在定积分不等式中的运用例 2：设/(x)在“上单调增加，且 fx) 0 ,证明：o,所以最多只能展开到含二阶导数项为止。 证明：存在x0 e ayb, f(x)在x0点的泰勒展开式是：/W = fa(i) + 广(x()(x - X。)+ 丄J(X - “其中雄与观之间 因为 /*) 0，所以 / W f(x0) + f(x(x -

10、 x0)(1)把x0=a,x0 =b分别代入(1)并相加得：f(a) + f(b) 2/(x) + (a + b)fx) 一 xfXx)(2)对(2)两边同时在“,/?定积分得(b- a)f(b) + /() 2 J： f(x)dx+(a + b)ff(x)dx 一 2( xfxdx 即(b -a)f (b) + /(a) 2f(x)dx+(a+b )/(/) - f(a)-2 a/(x)| -/(x)dx =2(b-a)f(b) + f(a)f(x)dx 枚打(g 0,i = 1,2 若 a +a2 = bx +b2 0,则有.7? o a + a/ bp + b.fp 1a； +ch b；

11、 +/?/ of _-a/ + a2P bj +b2f0 /? 2)时，有 b2 +b、 a/ +a/ bj +b*2)证当0 vl时的充分性，由泰勒公式知d谆乩+九 不妨设ax alybx 0的情形，将x = -S-,.v = -（/ = l,2）分别代入（1）得aa（1一虫卩=1 + （_1）匕（生）“,（l_d）p =l + （_l）”a“ （纺“ （2）“n-1GUK-1a这里心（/一1）（/一2） （/+ 1）.由（2）得nlW +幻）一（勺+b1l，） = ap（-） a/厂甌+勺）一（方i +$）n=2由0vpv1知，当时,n（一1）匕由（3）和（4）及1）可知，r+f/v牡+罗

12、 当6=0，只需证(b+b2y hp +b2p 若b =b2结论显然成立；若b*b?时，则有bxbly有文献知,(1 + x)p vl + B(Ovpvl,l) (5)令x = !l代入(5)即得结果。b24. 在导函数不等式中的运用例 4：设函数/(x)在0J具有二阶导数，且/(O) = /(l),miii/(x) = -l;oxi试证：max0xl分析：题设告诉我们函数有二阶导数，提示我们尝试使用泰勒公式。将欲证式 与一阶泰勒公式相比较知：没有一阶，零阶导数项。我们进一步分析可知：由于 /连续，因此最小值必在点 e 0,1取得，该点必是极值点，有广() = 0。于 是在极值点d将函数展开，

13、尤分别取0和1，问题就得证。证明:设f(x)在a(0 al)处取得最小值,BP f(a) = -1,则f(a) = 0,将f(x)在处展成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：fW = /() + 广(兀- “)+-a)2= -l + -厂(g)(x_a)2,(飪丫和 之 |咼，2分别取x = 0和x = 1,得：0 =于(0) = 1 + *厂 )(7)2 &% e (0,1)2当时，/(2)n&2 (0，1)。从而有：max fx) 8 o0xl例 5：设xe(0J),试证明(l + x)ln2(l + x)x2证：设/(x) = (l + x)ln2(l + x)x有/(0) = 0;fx) =

14、 In 2 (1 + X)+ 2 ln(l + x) - 2x,广(0) = 0;2f U) = ;ln(l + x) - x fx) = 0)=_ 21n(l + )v o,当“(0,1)；(1 + aT所以/(X)在A=0的二阶泰勒公式(带有拉格朗日余项)为f(x) = f(0) + f(0)x + 马9 疋 + 上竽 %3 = 0, 即，/(x) v 0,当(0,1)例 6：设 /(x)o,2 -次可导，4/W| 5 1/3 5 l，x 丘0,2， 证明广(x)|5 2,xw0,2证：存在x() e 0,2, f (x)在jt = x()处的一阶泰勒公式f (x) = /(x0 ) +

15、fx0 )(x - ) + 丄$ U-x0)2,昴Ex 与 X。之间将x = 0和x = 2分别代入上式得f (O) = /(xo)-/Vo )x0 +匸学2衬,昌在0与兀之间f (2) = f(x.) +广(心)(2 心)+厶导(2 心)$,冬在X。与2之间 上面两式相减得：f (2) - /(0) = 2/(x0) +1 厂(2 )(2-x0)2-/7)x02于是 2/U)|/(2)| + |/(0)|+ 八警 f2 + (2-x0) + x0 4(|/(x)|l,|/ff(x)|l)由于兀是0,2的任意一点,因此有f (x)| 0,则有“丫) /(x0) + /V0)(x-x0)(2)

16、若/(X) 0,则有y(x) i,xl 对“ x12X 所以山无穷积分敛散性判别定理得知J；(e，- + -皿是收敛的。6. 计算近似值例8：求定积分沁厶的近似值解：可以看出原函数不是初等函数，所以考虑泰勒公式展开，就能方便的 求出其近似解。77亠-sin 傾 + 尹)7 Sinx F* Sin傾 + 尹)6s in x = a1x ,= 11x ,357x 357fieri f i sinx . z a x 、 所以-而+佰）sin（&v + 兀）A% 7!7因为sin（分+ -兀）vl,2故原积分 f ；）叫仪1 一 一 + q 1 -一 + 丄 a 0.09461J x3x3! 5x5!

17、 7x7!3x3! 5x5!其中，误差/?!0.5x103o7x7!7 求函数的麦克劳林展开式例9:求f（x） = 9在x = 0处的麦克劳林展开式 （2兀-3）（宀4）fM =3x + 8（2x-3）（x2+4）荷-齐再转化成:解：首先做分解（g）2 x 22 x x M v2一紅（討）-江（j）（y）fln ”=o D分 n=oq从上述实例可以看出，泰勒公式在微积分的各个方面都有重要的应用。 深入探讨泰勒公式的应用，用简单的例子说明其应用的方法，并在学习中灵活运 用，对我们理解和掌握抽象的泰勒公式内容起到事倍功半的作用。但是运用泰勒 公式时需注意：（1）一般将函数展开成比最高阶导数低一阶即

18、可；（2）恰当的选 择等式两边的心与兀。只要在解题训练中注意分析.研究题设条件极其形成特 点，并注意归纳总结，就能比较好的运用泰勒公式。三结束语泰勒公式是我们大学一个重要的公式，运用比较广泛，在微分和积分中， 在导数中，在不等式的证明中，都有重要的应用。如果能够熟练的运用泰勒公式, 不但拓宽我们的解题思维，提高分析与解决问题的能力以及综合运用知识的能 力，而且也能够提高学习效率，达到事倍功半的效果。深入探讨泰勒公式，对泰勒公式的进一步研究，能够让我们理解泰勒公式的 出处，推导方法，以及以后的灵活运用。同时也能引起我们对数学专业的爱好， 数学是一门神秘的科LJ,是一个巨大的资源站。我们应以严谨求真的态度，谦虚 的心态去勘探开采，在发现开采的同时，也要把它应用在学习实践中。四年的大学学习与生活即将结束，在这个充满快乐与充实的日子里，我在 各个方面都得到很大的提高，这全赖于许多老师和同学们的关心与帮助，至此论 文完成之际，首先要感谢我的导师老师，本课题从选题到最后的修改工作以及 研究工作都是在 老师的精心指导和不懈的支