数字信号处理a双语chapter9

1、chapter 9 iir digital filter designiir digital filter designbasic idea for iir filter design this approach has been widely used for the reasons:(1) analog approximation techniques are highly advanced(2) they usually yield closed-form solutions(3) extensive tables are available for analog filter desi

2、gn(4) many applications require digital simulation of analog systemsbasic idea for iir filter design most common approach to iir filter design:1. convert the digital filter specifications into an analog filter specifications2. determine the analog transfer function 3. transform into the desired digi

3、tal transfer function ( )ahs( )ahs( )g ziir digital filter designiir digital filter design模拟低通原型滤波器模拟低通原型滤波器 巴特沃兹滤波器巴特沃兹滤波器（butterworth） 切比雪夫滤波器（切比雪夫滤波器（chebeshev） 椭圆滤波器（椭圆滤波器（episoide） 一般说来，相同指标下，椭圆滤波器阶次一般说来，相同指标下，椭圆滤波器阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃兹最高，参最低，切比雪夫次之，巴特沃兹最高，参数的灵敏度则恰恰相反。数的灵敏度则恰恰相反。 iir digital filter

4、designwwwwwwwwwwwwwwww通过模拟滤波器来设计数字滤波器的过程通过模拟滤波器来设计数字滤波器的过程某某种种变变换换ha(s)g(z)zs变变换换zs变变换换的映射关系应满足的映射关系应满足 (1)数字滤波器频响应能模仿模拟滤波器频响数字滤波器频响应能模仿模拟滤波器频响. jsash)(互为映射关系互为映射关系 jezzh )(2)因果稳定的模拟系统变换为数字系统仍为因因果稳定的模拟系统变换为数字系统仍为因果稳定的果稳定的.0re)( sash互为映射关系互为映射关系1)( zzh 9.1 preliminary considerations 9.2 transformatio

5、n method of iir filter design 9.3 design of lowpass iir digital filters 9.4 design of highpass, bandpass, and bandstop iir digital filters 9.5 spectral transformations of iir filters chapter 9 iir digital filter designiir滤波器设计滤波器设计脉冲响应不变法脉冲响应不变法见课本见课本page 451 problem 9.61、脉冲响应不变法的原理、映射规则及公式、脉冲响应不变法的

6、原理、映射规则及公式2、脉冲响应不变法的优、缺点、脉冲响应不变法的优、缺点3、举例说明脉冲响应不变法的设计过程。、举例说明脉冲响应不变法的设计过程。)()()( nththnhantta ( )ahs某某种种变变换换)(tha1niiiass 1( )( )ins taiihta eu t 1( )()( )ins tniih na eu n 111inis tiaez 思路：思路：( )h zsz到底有怎样的映射关系？到底有怎样的映射关系？stze aaaa( )( )()( ) ()()stnstnnstnhshttntedthttnt edthnt e ( )( )nnh zh n z

7、s平面上每一条宽为平面上每一条宽为 的横带部分，都将重叠地的横带部分，都将重叠地映射到映射到z平面的整个平面上；平面的整个平面上； 每一横带的左半部分映射到每一横带的左半部分映射到z平面单位圆以内；平面单位圆以内； 每一横带的右半部分映射到每一横带的右半部分映射到z平面单位圆以外；平面单位圆以外； 轴映射到单位圆上，轴映射到单位圆上， 轴上每一段轴上每一段 都对应都对应于绕单位圆一周。于绕单位圆一周。zs变变换换) 1 (,stzesj 2t j j ,jj tttzreeeert 令令映射关系映射关系的映射关系满足要求了吗？的映射关系满足要求了吗？ 2t jj ttzreee j 0t 3t

8、 3t t )im( zj)re( z0s 平面平面z 平面平面: zs变变换换)1(的映射关系的映射关系:tt s平面上每一条宽为平面上每一条宽为 的横带部分，都将重叠地的横带部分，都将重叠地映射到映射到z平面的整个平面上；平面的整个平面上； ,stzesj 2t ,jj tttzreeeert 令令映射关系映射关系jj ttzreee j 0t 3t 3t t )im( zj)re( z0s 平面平面z 平面平面:0r zs变变换换)1(的映射关系的映射关系:0tt s平面上每一条宽为平面上每一条宽为 的横带部分，都将重叠地的横带部分，都将重叠地映射到映射到z平面的整个平面上；平面的整个平

9、面上； 每一横带的左半部分映射到每一横带的左半部分映射到z平面单位圆以内；平面单位圆以内； 每一横带的右半部分映射到每一横带的右半部分映射到z平面单位圆以外；平面单位圆以外；,stzesj 2t ,jj tttzreeeert 令令映射关系映射关系jj ttzreee j 0t 3t 3t t )im( zj)re( z0s 平面平面z 平面平面1r zs变变换换)1(的映射关系的映射关系0 s平面上每一条宽为平面上每一条宽为 的横带部分，都将重叠地的横带部分，都将重叠地映射到映射到z平面的整个平面上；平面的整个平面上； 每一横带的左半部分映射到每一横带的左半部分映射到z平面单位圆以内；平面单

10、位圆以内； 每一横带的右半部分映射到每一横带的右半部分映射到z平面单位圆以外；平面单位圆以外； 轴映射到单位圆上，轴映射到单位圆上， 轴上每一段轴上每一段 都对应都对应于绕单位圆一周。于绕单位圆一周。,stzesj 2t j j ,jj tttzreeeert 令令映射关系映射关系2t 结论结论脉冲响应不变法满足变换的映射条件脉冲响应不变法满足变换的映射条件j 0t 3t 3t t )im( zj)re( z0s 平面平面z 平面平面: 脉冲响应不变法的映射关系脉冲响应不变法的映射关系不是一一对应不是一一对应的的(2) 频率响应的模仿情况频率响应的模仿情况 )(that模模拟拟离散化离散化)(

11、nhn数数字字频域频域时域时域0)( jhat/t/10t/1周期化周期化t/t/ 数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓 aa12( )12stjz emjaz emh zhshsjmttmh eh zhjjtt ()02sahj 如采样定律所讨论，如果模拟滤波器的频响带如采样定律所讨论，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率限于折叠频率s/2 以内以内即即 这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响滤波器的频响(存在于折叠频率存

12、在于折叠频率s/2以内以内), 否则否则将出现混叠现象。将出现混叠现象。1()()jah ehjtt 脉冲响应不变法脉冲响应不变法 1、脉冲响应不变法的原理、映射规则及公式、脉冲响应不变法的原理、映射规则及公式2、脉冲响应不变法的优、缺点、脉冲响应不变法的优、缺点3、举例说明脉冲响应不变法的设计过程。、举例说明脉冲响应不变法的设计过程。脉冲响应不变法的优点脉冲响应不变法的优点: 1频率变换关系频率变换关系( )是线性的，是线性的， = t，适，适 用于线性相位滤波器；用于线性相位滤波器； 2时域模仿特性好。时域模仿特性好。1可能出现频率混叠现象；可能出现频率混叠现象；脉冲响应不变法的缺点：脉冲

13、响应不变法的缺点： 因此只能用于带限的频响特性，如衰减特因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通。适用于滤波器非零性很好的低通或带通。适用于滤波器非零带宽小于采样频率一半的场合。带宽小于采样频率一半的场合。 但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不可避免地存在不可能是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即混叠现象频谱的交叠，即混叠现象. 这时，数字滤波器的频响将不同于原模拟这时，数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真

14、则越器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。滤波器才能得到良好的效果。脉冲响应不变法脉冲响应不变法 1、脉冲响应不变法的原理、映射规则及公式、脉冲响应不变法的原理、映射规则及公式2、脉冲响应不变法的优、缺点、脉冲响应不变法的优、缺点3、举例说明脉冲响应不变法的设计过程。、举例说明脉冲响应不变法的设计过程。模拟滤波器的频率响应为模拟滤波器的频率响应为:其幅频响应示于图其幅频响应示于图a例例 将一个具有如下归一化后的系统函数将一个具有如下归一化后的系统函数 的模拟滤波器数字化。的模拟滤波器数字化。解

15、：解： 12111( ),1,313niaiiah ssss sss 222()( )(1)(3)(3)4asjhjh sjjj 2( )(1)(3)h sss 3( )( )( )ttah te u te u t )11()1 ()ttttttth ze zezeezeezez 111212( ),11,3,1,1inis tiah zezssaa 模拟滤波器数字化模拟滤波器数字化数字滤波器的频率响应为数字滤波器的频率响应为: 显然显然 与采样间隔与采样间隔t有关，如图有关，如图b。 t越小，衰减越大越小，衰减越大这是因为这是因为t越小，采样频率越越小，采样频率越大

16、，混叠越小，越接近模拟滤波器的频响；当大，混叠越小，越接近模拟滤波器的频响；当 fs=24hz，混叠可忽略不计。，混叠可忽略不计。3342()()( )1 ()jttjjttjtjz eeeeh eh zeeeee ()jh e t越小，衰减越大越小，衰减越大这是因为这是因为t越小，越小，采样频率越大，混叠越小，越接近模拟采样频率越大，混叠越小，越接近模拟滤波器的频响；当滤波器的频响；当 fs=24hz，混叠可忽，混叠可忽略不计。略不计。脉冲响应不变法脉冲响应不变法小结小结1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，换是线性的，与与是线性

17、关系。因此是线性关系。因此,如如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响通过变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。应与频率的关系。 例如，线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响例如，线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。应不变法得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。 tjhehaj/)()(2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域脉冲响应的模仿拟滤波器的功能时，如要实现时

18、域脉冲响应的模仿，一般使用脉冲响应不变法。，一般使用脉冲响应不变法。3)如果如果ha(s)是稳定的，即其极点在是稳定的，即其极点在s左半平面，映左半平面，映射后得到的射后得到的h(z)也是稳定的。也是稳定的。 4)脉冲响应不变法的缺点脉冲响应不变法的缺点频谱周期延拓效应频谱周期延拓效应.只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通；高频部分衰减越大，频响的混淆效应越小或带通；高频部分衰减越大，频响的混淆效应越小;至于高通和带阻滤波器至于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中，此时可增加一保

19、，因此将完全混淆在低频响应中，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于护滤波器，滤掉高于 的频带，再用脉冲响应不的频带，再用脉冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保滤波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响应时才采用持网络瞬态响应时才采用。 2siir滤波器设计滤波器设计双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法1、双线性变换法的基本思路、映射规则及公式。、双线性变换法的基本思路、映射规则及公式。2、双线性变换法的优缺点、双线性变换法的优缺点3、举例说明双线性变换法设计数字滤波器的

20、过程。、举例说明双线性变换法设计数字滤波器的过程。 脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从淆，这是从s平面到平面到z平面的标准变换平面的标准变换zest的多值的多值对应关系导致的对应关系导致的. 为了克服这一缺点，设想为了克服这一缺点，设想:第一步：将整个第一步：将整个s平面压缩到平面压缩到s1平面的一条横带里；平面的一条横带里；第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个z平平 面上去。面上去。 由此，建立由此，建立s平面与平面与z平面一一对应的单值关系，平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消

21、除了混淆现象。消除多值性，也就消除了混淆现象。(,)tt 2、再将、再将 映射到映射到z平面。平面。1、将、将 j 轴的轴的( , )先压缩到先压缩到0j1j 0t/t/s1平面平面rezimzj10z平面平面s平面平面t/ t/ 1tan(/2)ct 1tanh(/2)scs t1s tze 一一对应一一对应(,)tt 通常取通常取c=2/t112 11zstz 再再将将s1平面通过标准变换平面通过标准变换关系映射到关系映射到z平面，即令平面，即令1111tanh()21s ts ts tescce 1s tze s平面和平面和s1平面的映射关系平面的映射关系1(/2)1(/2)tszts和

22、和为非线性关系，为非线性关系，在频率轴上引入了失真在频率轴上引入了失真双线性变换法双线性变换法1、双线性变换法的基本思路、映射规则及公式。、双线性变换法的基本思路、映射规则及公式。2、双线性变换法的优缺点、双线性变换法的优缺点3、举例说明双线性变换法设计数字滤波器的过程。、举例说明双线性变换法设计数字滤波器的过程。双线性变换法的双线性变换法的优点：优点： s平面与平面与z平面是单值的平面是单值的一一对应关系一一对应关系 不会产生混叠现象；不会产生混叠现象； 双线性变换法的双线性变换法的缺点缺点: 与与成成非线性非线性关系关系112 11zstz1(/2)1(/2)tszts 22 tgt 虽然

23、双线性变换有这样的缺点，但目前仍是虽然双线性变换有这样的缺点，但目前仍是使用得最普遍、最有成效的一种设计工具使用得最普遍、最有成效的一种设计工具这是因为，大多数滤波器都具有这是因为，大多数滤波器都具有分段常数分段常数的频的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们响特性，如低通、高通、带通和带阻等，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为在阻带部分要求逼近一个衰减为的常数特性的常数特性，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然，这种特性的滤波器通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持频率发生了非线性变化

24、，但其幅频特性仍保持分段常数的特性。分段常数的特性。 例如，一个考尔型的模拟滤波器例如，一个考尔型的模拟滤波器ha(s)，双线，双线性变换后，得到的性变换后，得到的h(z)在通带与阻带内都仍保在通带与阻带内都仍保持与原模拟滤波器相同的等起伏特性，只是通持与原模拟滤波器相同的等起伏特性，只是通带截止频率、过渡带的边缘频率，以及起伏的带截止频率、过渡带的边缘频率，以及起伏的峰点、谷点频率等临界频率点发生了非线性变峰点、谷点频率等临界频率点发生了非线性变化，即化，即畸变畸变。这种频率点的畸变可以通过。这种频率点的畸变可以通过预畸预畸来加以校正。来加以校正。预畸预畸将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，

25、然将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后通过双线性变换后正好映射到所需要的频率上。后通过双线性变换后正好映射到所需要的频率上。 22iitgt 注意：注意：预畸不能在整预畸不能在整个频率段消除非线性个频率段消除非线性畸变，只能消除模拟畸变，只能消除模拟和数字滤波器在特征和数字滤波器在特征频率点的畸变频率点的畸变置换过程置换过程: 频响频响：11112 112 1( )( )1aazstzzh zhshtz222()()2jaatgth ehjhjtgt 两种方法的适用场合两种方法的适用场合1、当着眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响、当着眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好；

26、应不变法较好；2、其他情况下，对于、其他情况下，对于iir的设计，大多采用双线性变的设计，大多采用双线性变换。换。iir digital filter design using bilinear transformationfor which |ha(j 0)| = 0 0 is called the notch frequency if |ha(j 2)| = |ha(j 1)| =1/ 2 then b = 2 - 1 is the 3-db notch bandwidth2222)(ooasbsssh example - consider the second-order analog

27、notch transfer functioniir digital filter design using bilinear transformation then1111)()(zzsashzg2212222122)1 ()1 (2)1 ()1 ()1 (2)1 (zbzbzzoooooo2121)1 (212121zzzz)2/tan(1)2/tan(11122wwoobbbbooocos1122whereiir digital filter design using bilinear transformation example - design a 2nd-order digital

28、 notch filter operating at a sampling rate of 400 hz with a notch frequency at 60 hz, 3-db notch bandwidth of 6 hz thus 0 = 2 (60/400) = 0.3 bw = 2 (6/400) = 0.03 from the above values we get = 0.90993 = 0.587785iir digital filter design using bilinear transformationthe gain and phase responses are

29、shown below212190993. 01226287. 11954965. 01226287. 1954965. 0)(zzzzzgthus 9.1 preliminary considerations 9.2 bilinear transformation method of iir filter design 9.3 design of lowpass iir digital filters 9.4 design of highpass, bandpass, and bandstop iir digital filters 9.5 spectral transformations

30、of iir filters chapter 9 iir digital filter design9.3 design of lp iir digital filter example - design a lowpass butterworth digital filter with p =0.25 , s = 0.55 , p=0.5 db, and s=15 dbanalysis: if |g(ej0)|=1 this implies 20log10|g(ej0.25 )| -0.5 20log10|g(ej0.55 )| -159.3 design of lp iir digital

31、 filter solution: prewarping, we get (making t=2) p=tan( p/2)=tan(0.25 /2)=0.4142136 s =tan( s/2)=tan(0.55 /2)=1.1708496 analog filter design22120lg0.5 0.122018512120lg15 31.622777aabutterworth模拟原型滤波器模拟原型滤波器阶数阶数n的求解的求解详见详见page 577附录附录a.2a) magnitude response for butterworth lowpass filters:221|()|1(

32、)anchjsolving the equations 9.3 design of lp iir digital filterthe inverse transition ratio is 1/k = s/ p = 2.8266809the inverse discrimination ratio is2111/15.841979ak9.3 design of lp iir digital filter choose n = 3 we then get c= 1.419915 p=0.588148butterworth approximationthe way for determining

33、: determine the filter order n by the method above determine the normalized n-order lowpass butterworth filter ( )by looking up the table in which the impulse response of normalized lowpass butterworth filters are available (see the next page). obtain by denormalizing ( )( )caansshshs( )ahs1c( )anhs

34、( )ahsbutterworth approximation234567114.494010.097814.591814.591810.09784.4940sssssssn12345672111.4142ss231122sss234112.61313.41422.6131ssss2345113.23615.23615.23613.2361sssss23456113.86377.46419.14167.46413.8637ssssss( )anhs11s9.3 design of lp iir digital filterl3rd-order lowpass butterworth trans

35、fer function for c=1 is han(s)=1/(s3+2s2+2s+1)=1/(s+1)(s2+s+1)ldenormalizing to get c=0.588148 we arrive at ( )()()0.588148aanancsshshh9.3 design of lp iir digital filter applying bilinear transformation to ha(s) we get the desired digital transfer function1111)()(zzsashzgmagnitude and gain response

36、s of g(z) shown below: 9.1 preliminary considerations 9.2 bilinear transformation method of iir filter design 9.3 design of lowpass iir digital filters 9.4 design of highpass, bandpass, and bandstop iir digital filters 9.5 spectral transformations of iir filters chapter 9 iir digital filter design9.

37、4 iir highpass, bandpass, and bandstop digital filter design详见附录详见附录b page 598详见附录详见附录a9.4 iir highpass, bandpass, and bandstop digital filter design9.4 iir highpass, bandpass, and bandstop digital filter design9.4 iir highpass, bandpass, and bandstop digital filter design方法一和方法二的区别方法一和方法二的区别 方法一：模拟

38、低通原型滤波器方法一：模拟低通原型滤波器 模拟高通、带通、带阻滤波器模拟高通、带通、带阻滤波器 数字高通、带通、带阻滤波器数字高通、带通、带阻滤波器l方法二：模拟低通原型滤波器方法二：模拟低通原型滤波器 数字低通滤波器数字低通滤波器 数字高通、带通、带阻滤波器数字高通、带通、带阻滤波器9.4.1 iir highpass digital filter design example - design of a type 1 chebyshev iir digital highpass filter specifications: fp=700hz, fs = 500hz, p=1 db, s=3

39、2db, ft=2 khz solution: normalized angular bandedge frequencies p =2 fp/ ft= 2700/2000=0.7 rad/sample s = 2 fs/ ft= 2500/2000=0.5 rad/sampleusing we get s = 1.9621059.4.1 iir highpass digital filter design analog lowpass filter specifications: p = 1 , s = 1.926105 , p=1 db, s=32 db9626105. 1)2/tan(p

40、p0 . 1)2/tan(ss prewarping these frequencies we getfor the prototype analog lowpass filter choose p = 1 pp9.4.1 iir highpass digital filter design matlab code fragments used for the designn,wn = cheb1ord(1,1.9626105,1,32, s)b,a = cheby1(n, 1, wn, s);bt,at = lp2hp(b, a, 1.9626105);num, den = bilinear

41、(bt, at, 0.5);9.4.1 iir highpass digital filter design112211 , (4) ( ) ( ) ( )pppscpszssszlphpanhshsg z the procedure of design （supposing its a butterworth filter）9.4.2 iir bandpass digital filter design example - design of a butterworth iir digital bandpass filter specifications: p1=0.45 , p2=0.65

42、 , s1=0.3 , s2=0.75 , p=1 db, s=40 db solution: prewarping we get8540807.0)2/tan(11pp6318517.1)2/tan(22pp41421356.2)2/tan(22ss5095254.0)2/tan(11ss 9.4.2 iir bandpass digital filter designfor the prototype analog lowpass filter we choose p = 1393733.1212ppo22123010325.1oss777771. 012ppwb width of passband5773031. 01s we set1s1s2s2o we therefore modify so that and exhibit geometric symmetry with respect to9.4.2 iir bandpass digital filter design specifications of prototype analog butterworth lowpass filter: p = 1, s=2.3617627, p=1 db, s=40 db3617627. 2777771. 05773031. 033327