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文档简介

1、洛必达法则完全证明定理 1 lim f (x)x X。0， lim f(X)存在或为x x0 g (x)，则lim丄 = lim 竺x x g(x) x x g(x)证明见经典教材。定理 2 lim f (x)xlim g(x)x0, lim f(X)存在或为x X0 g (x)，贝U lim 卫= lim f (x)x x g(x) x x0 g (x)证明：limxtf(x)1xlim ft 0(1)0, Hm g(x)lim g(1)t 0 t 70，由定理1t.f(x) lim = limx g(x) t 0定理 3 lim f (x)X xg(1)limX xlimt 0gf (J)

2、xg(-)g(x),lim f(X)存在或为x X0 g(x)lim 竺。Xg(x)，则 lim 竺=lim dX x0 g(x) X x0 g(x)1证明：lim f (X) = lim g (x)，由定理 1X X0 g(X) x x01f (x)1g(x)f (X)2 g(x) g(x) f(x)2.f(x) g(x)g (x)lim = lim= limxx)g(x) XX)1 x X0T (X)2f(x)f (X)1)设lim(x)存在且不为0,则x x g(x)lim為x X0 g(x)lim(X X0器)2flim 3x 冷 g(x)lim 3x X0 g (x)2)设lim丄(

3、&存在且为0,设k 0，则x x g(x)f(x) |f(x)+kg(x)有 lim(k)= limx 冷 g(x)x xog(x)f(x), g(x)是不同阶无穷大，f(x)+kg(x)仍为无穷大，由1)lim( f(x)x xo g(x)f(x)+kg(x)f(x)+kg(x)/ f (x)k)= lim= lim= lim(+k)x xog(x)x xog (x)x xo g (x).f (x) lim=x xo g(x).f(x)=limx xo g (x)3)设 lim f(x) =x x g(x)，则lim g(卫=0，由2)得x xo f (x)，-g(x) lim=x 勺 f(x).g(x)门. f(x) . f (x) lim=0， lim= lim=x xo f (x)x xo g(x) x xo g (x)综合1) 2) 3)定理3证毕。定理 4 lim f (x)xlim g(x)， lim 存在或为，贝

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