数的整除知识点总结

1、数的整除知识点总结韦恩图.数的分类第一种分法：树状图4 / 4整数正奇数正偶数第二种分法正整数整数素数合数第三种分法:些关于数的结论1.0是最小的自然数,-1是最大的负整数,1是最小的正整数2没有最大的整数，没有最小的负整数，没有最大的正整数3正整数、负整数、整数的个数都是无限的二.整除1整除定义（概念）：整数a除以整数b,如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b能整除a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁，这里的a相当于被除数，b相当于除数2整除的条件：1除数、被除数都是整数2被除数除以除数，商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽（如正方形是特殊

2、的长方形一样），即a能被b整除，则a一定能被b除尽，反之则不一定（即 a能被b除尽，则a不一定能被b 整除）。如4十2=2, 4既能被2除尽，也能被2整除；4十5=0.8, 4能被5除尽，去卩不能说 4 能被 5 整除三因数与倍数1因数与倍数的定义：整数 a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（约 数）。注意点：1因数和倍数是相互依存的，不能简单的说某个数是因数，某个数是倍数。如：6十3=2,不能说6是倍数，3是因数；要说6是3的倍数，3是6的因数。2因数与倍数是建立在整除的基础上的，所以如4十0.2=20 , 一般是不说 4是0.2的倍数，0.2是4的因数。2因数与倍数的特点：

3、一个整数的因数中最小的因数是1,最大的因数是它本身。一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身,没有最大的倍数。 因数的个数是有限的,都能一一列举出来,倍数的个数是无限的。3. 求一个数因数的方法： 利用积与因数的关系一对一对找, 找出哪两个数的乘积等于这个数,那么这两个数就是这个数的因数。如16=1 X 16=2 X 8=4 X 4,那么16的因数就有 1、2、4、8、16,计算时一定不要忘了 1 和这个数本 身都是它的因数,注意按照一定的顺序以防遗漏。4. 求一个数倍数的方法：这个数本身分别乘以1、2、3、4、5（即正整数）得到的积就是这个数的倍数。若用 n表示所有的正整数，则 2的倍数可表示为

4、 2n, 5的倍数可表示为 5n四能被 2、 5、 3 整除的数的特点1. 能被 2整除的数（即 2的倍数）个位上的数字是 0、 2、 4、 6、 8,反之,个位上的数字是0、 2、 4、 6、 8 的数也能被 2 整除2. 能被 5 整除的数（即 5 的倍数）个位上的数字是 0、 5,反之,个位上的数字是 0、 5 的数 都能被 5 整除3. 能被 3整除的数（即 3的倍数）各个位数上的数字之和是 3的倍数,反之,各个位数上的 数字之和是 3的倍数的数都能被 3整除4. 能被 2、 5 同时整除的数的个位数字都是0,个位数字为 0 的数也能被 10 整除,能被 10整除的数一定能被 2或 5

5、其中的一个或两个同时整除。五奇数、偶数1. 奇数与偶数的定义：能被 2 整除的整数叫做偶数,不能被 2 整除的整数叫做奇数。 （按照 能否被 2 整除来划分奇数与偶数）2. 奇数个位数上的数的特点：1、 3、 5、 7、 9偶数个位数上的数的特点：0、 2、 4、 6、 83. 在连续的正整数中（除 1 外）,与奇数相邻的两个数是偶数,与偶数相邻的两个数是奇数4. 相邻的奇数或偶数数字相差 2,奇数可用2n-1或2n+1表示，偶数可用2n表示。5. 奇数与偶数加法和乘法的运算特点奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数奇数X奇数=奇数偶数X偶数=偶数 奇数X偶数=偶数利用此结论可检验一

6、些运算是否正确,同时也要注意结论的逆向运用,如偶数（奇数） 可拆成哪些奇数或偶数的和、积六 . 素数、合数1. 素数与合数定义：一个正整数如果只有1 和它本身两个因数,这样的数叫做素数（质数） ,如果除了 1 和它本身以外还有别的因数,这样的数叫做合数。注意点： 1.素数与合数的分类方法是根据它们因数的个数来分的，素数只有2 个因数（ 1 和本身），合数至少有三个因数；任何一个数（除1 外）都有 1 和它本身两个因数。2. 1既不是素数也不是合数。3最小的素数是 2，最小的合数是 42. 素数与奇数的联系和区别奇数不一定都是素数。“（1既不是素数也不是合数， 9、15等是奇数但是合数）所有素数

7、都是奇数。X（ 2是素数，但2是偶数）3. 合数与偶数的联系与区别合数不一定都是偶数。2（9、15等都是合数，但它们是奇数）偶数都是合数。X（ 2是偶数但2是素数）注意 :判断题对的要说明原因，错的要举出反例。七素因数与分解素因数1. 素因数与分解素因数的定义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都 是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。把一个合数用素因数相乘的形式表示出来， 叫做分解素因数。注意： 1.求一个数的素因数时，先把这个数分解素因数，有几个素因数就写几个。如24=2 X 2X 2X 3，则素因数是 2、2、2、3，而不是2、32. 因数与素因数的区别：因数可以是素数

8、或合数，素因数一定是素数。一个数的素因 数一定是这个数的因数，因数的个数一定比素因数的个数多。2. 分解素因数的方法树枝分解法：过程中注意不要漏写乘号，分解要彻底，直到没有合数出现，也不能出现1.要分解的合数写在等号左边， 把它的素因数用相乘的形式写在等号右边， 再把 这几个素因数按从小到大的顺序排列。短除法： 1.先用一个能整除这个合数的素数去除（通常从最小的开始，偶数肯定先用2除，奇数一般从 3 开始一个个带入验算）2. 得出的商如果是合数， 再按照上面的方法继续除下去， 直到得出的商是素数为止。3. 然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。3. 由一个数分解素因数求这个数

9、的因数12=2X 2X 3，素因数是 2、 2、 3，除 1 外由单个的素因数组成因数有 2、 3，由两个素因数 组成的因数有2X 2=4,2 X 3=6，由三个素因数组成的因数有 2 X 2X 3=12，所以12的因数有 1 、 2、 3、 4、 6、 12.4. 由一个数分解素因数求这个数因数 的个数（1）所有素因数都相同时，因数的个数是它素因数的个数 +1,如8=2X2X2,素 因数是 2、2、2，则 8 的因数的个数是它素因数的个数 +1，即 4 个（2）素因数不完全相同时， 因数的个数是每个素因数个数 +1 后相乘的积，如 12=2 X 2X 3,素因数2的个数是2,素因数3的个数是

10、1,则12的因数的个数是（2+1） X（1+1）=6八.公因数与最大公因数1. 公因数与最大公因数定义 : 几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数,其 中最大的一个叫做这几个数的最大公因数 .2. 互素定义：如果两个整数只有公因数 1,那么称这两个数互素。如 8和 9注意：互素是两个数之间,素数是指一个数,互素的两个数的最大公因数就是1.两个互素的数未必都是素数。v（ 8和9互素，但8和9都是合数）两个不同的素数一定互素2（若缺少“不同的”，则错，因为3和3都是素数但不互素）3. 求两个数最大公因数的方法：（1）一般方法：写出两个数所有的因数，再找出它们共同的最大的因数（2）分解素因数的方法：

11、把这两个数分解素因数，再找出相同的素因数，把它们所有的公有 的素因数相乘，所得的积就是它们的最大公因数。（3）短除法：先用这两个数公有的素因数去除（一般从最小的素因数开始），得出的商如果是合数， 再按照上面的方法继续除下去， 直到两个数互素为止， 这两个数的最大公因数就是 左侧的除数的乘积 .（ 类比用短除法分解素因数的方法 ）4. 两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数。 如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是 1.九.公倍数和最小公倍数1. 公倍数与最小公倍数定义 :几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个叫做它们的最小公倍数 .2. 求两

12、个数最小公倍数的方法 :（1）一般方法 :从小到大分别依次写出几个这两个数的倍数,再找出它们共同的最小的倍数（2）分解素因数的方法 : 把这两个数分解素因数， 再找出相同的素因数， 再取各自剩余的素因 数,将这些数连乘所得的积 ,就是这两个数的最小公倍数 .（3）短除法 : 先用这两个数公有的素因数去除（一般从最小的素因数开始），得出的商如果是合数， 再按照上面的方法继续除下去， 直到两个数互素为止， 这两个数的最小公倍数就是左 侧的除数与底部商的乘积 .注意点 :1.用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时,过程都相同 ,只是最后写结论时注意需要乘哪些数 .2. 求两个数的最大公因数和最小公倍数,先判断这两个数是否存在因数 （倍数）关系或互素关系 ,存在因数 （倍数）关系时 ,最大公因数就是较小的那个数,最小公倍数就是较大的那个数 ;两数互素时 ,最大公因数就是 1,最小公倍数就是它们的乘积 .3. 两个整数的公倍数一定能被这两个数整除.十.求三个整数的最大公因数和最小公倍数（拓展 ）（1）求三个整数的最大公因数 :同样也是三种方法 ,只需找出三个数共同的因数,最大的因数就是最大公因数 .（注意与三个数的最小公倍数区分