数理方程与特殊函数杨春ppt25

1、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1email: 数理方程与特殊函数数理方程与特殊函数任课教师：杨春任课教师：杨春数学科学学院数学科学学院 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2本次课主要内容本次课主要内容贝塞尔函数的性质贝塞尔函数的性质(二二)、贝塞尔函数的零点、贝塞尔函数的零点(一一)、贝塞尔函数的递推公式、贝塞尔函数的递推公式 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 31、n

2、阶贝塞尔方程：阶贝塞尔方程：0)(22222ynxdxdyxdxydx回顾：回顾：其中其中n为实数或复数为实数或复数2、n阶贝塞尔方程的通解阶贝塞尔方程的通解(1) 如果实数如果实数n为非整数，则：为非整数，则：)()(xbjxajynn其中其中jn(x)与与j-n(x)称为第一类贝塞尔函数。称为第一类贝塞尔函数。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 4220( )( 1)2! (1)nmmnnmmxjxmnm( )cos( )( )*sinnnjxjxy xlim220( )( 1)2! (1)nmmnnmmxjxmnm

3、 (2) 如果如果n为一般实数，则：为一般实数，则：)()(xbyxajynn其中，其中，yn(x)称为第二类贝塞尔函数称为第二类贝塞尔函数 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 5010220011) !()2() 1(2)2)(2)(mmkmmkmxcxlnxjxy利用洛比达法则可得：利用洛比达法则可得：12021100021(1)!( )( )()( )2!2( 1) ( )1112()!()!11nnmnnmmnmn mmmkkxnmxyxjx lncmxm nmkk 5772. 0)131211 (lnnnlimc

4、n 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 63、整数阶、整数阶bessel函数的母函数（生成函数）函数的母函数（生成函数） 1()2( ,)( )xznznng x zejx z 由由bessel函数的母函数，当函数的母函数，当x为实数时可得：为实数时可得：cos01( )2( ) cosixnnnejxi jxn021cos( cos )( )2( 1)( )cos2mmmxjxjxm4、整数阶、整数阶bessel函数的积分表达式函数的积分表达式 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2

5、1 0.5 0 0.5 1 n 7cnxndeixj.1)1(221)(当当n为整数时：为整数时：.1( )cos( sin),(0, 1, 2,)2njxxndn 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 811( )( )nnnnx jxx jx 、12( )( )nnnnxjxxjx 、1123( )( )( )nnnnjxjxjxx、114( )( )2( )nnnjxjxjx、(一一)、贝塞尔函数的递推公式、贝塞尔函数的递推公式 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0

6、 0.5 1 n 92220( )( 1)2! (1)nmnmnnmmddxx jxdxdxmnm证明：因为：证明：因为：11( )( )nnnnx jxx jx 、212101( 1)2! ()( )nmnmnmmnnxxmnmx jx所以：所以：同理可证：同理可证：12( )( )nnnnxjxxjx 、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 10将将1与与2相加得：相加得：将将1与与2相减得：相减得： 递推公式在贝塞尔函数分析运算中非常有用，通过递推公式在贝塞尔函数分析运算中非常有用，通过递推公式，总可以把高阶的整数阶

7、贝塞尔函数化为递推公式，总可以把高阶的整数阶贝塞尔函数化为0阶阶与与1阶贝塞尔函数，然后查表计算。阶贝塞尔函数，然后查表计算。同样道理，可以得到第二类贝塞尔函数递推公式：同样道理，可以得到第二类贝塞尔函数递推公式：11()()nnnndx yxx yxdx、1123( )( )( )nnnjxjxnjxx、114( )( )2( )nnnjxjxjx、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1112()()nnnndxyxxyxdx 、1123()()()nnnnyxyxyxx、114( )( )2( )nnnyxyxyx、

8、例例1、 利用递推公式求利用递推公式求: 3322()()jxjx与解解: 在递推公式在递推公式1123( )( )( )nnnjxjxnjxx、中取中取n=1/2,得：得： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 123112221( )( )( )jxjxjxx122sincosxxxxx21sincosxxxx1123( )( )( )nnnjxjxnjxx、在递推公式在递推公式中取中取n=-1/2,得：得： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 13

9、3112221( )( )( )jxjxjxx 例例2、计算：、计算： 30(1),( )x jx dx122cossinxxxxx 21cossinxxxx 解：注意到：解：注意到：)() )(1xjxxjxnnnn32(2),( )x jx dx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 143200(1),( )( )x jx dxxxjx dx3211( )2( )x j xx j x dx21( )x d xj x3212( )2( )x j xx jxc32(2),( )x jx dx412( )xx jxdx411

10、( )x d x jx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 15411( )x d x jx3211( )4( )x jxx jx dx在递推公式在递推公式1123( )( )( )nnnjxjxnjxx、中，令中，令n=0得：得：11( )( )jxjx 又在递推公式又在递推公式11( )( )nnnnx jxx jx 、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 16中，令中，令n=0得：得：又在递推公式又在递推公式11( )( )nnnnx jxx j

11、x 、10( )( )jxjx原式原式3211( )4( )x jxx jx dx3210( )4( )x j xx jx dx 32100( )4( )8( )x j xx jxxjx dx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1732101( )4( )8( )x j xx jxxj xc 注：一般说来，对于形如注：一般说来，对于形如( )pqx jx dx的积分，若的积分，若p,q为整数，为整数， 且：且： 为奇数，则通过递推，最后总可以用为奇数，则通过递推，最后总可以用j0(x)与与j1(x)表示，若为偶数，则结果

12、只能用表示，若为偶数，则结果只能用 表表示。示。0pqpq0()jxd x例例3、利用递推公式证明：、利用递推公式证明：20011,( )( )( )jxjxjxx3002,( )3( )4( )0jxjxjx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 18证明证明: (1) 在公式在公式201( )( )2( )*jxjxjx中，令中，令n=1得：得：又令又令n=0得：得：114( )( )2( )nnnjxjxjx、110( )( )2( )jxjxjx而而11( )( )jxjx 所以：所以：10( )( )jxjx 10

13、( )( )*jxjx 再在公式再在公式11()()nnnnxjxxjx、中，令中，令n=1得：得： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 19将将*，*代入代入*中得：中得：0111( )( )( )jxjxjxx001( )( )*jxjxx 2001()()()jxjxjxx(2) 在公式在公式114( )( )2( )nnnjxjxjx、中，令中，令n=2得：得：312( )( )2( )jxjxjx 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2020

14、1( )( )2( )jxjxjx又令又令n=1得：得：312( )( )2( )jxjxjx00( )2( )jxjx200( )( )2( )jxjxjx所以：所以：000( )2( )2( )jxjxjx 300( )3( )4( )0jxjxjx所以：所以： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 21322( )cos()()24nnjxxo xx(二二)、贝塞尔函数的零点、贝塞尔函数的零点1、贝塞尔函数的渐近公式、贝塞尔函数的渐近公式当当n非负且非负且|x|很大时，很大时，贝塞尔函数的渐近公式为：贝塞尔函数的渐近公

15、式为：2、对贝塞尔函数渐近公式的分析、对贝塞尔函数渐近公式的分析(1)、贝塞尔函数为衰减振荡函数：、贝塞尔函数为衰减振荡函数：衰减因子为：衰减因子为：2x(2)、贝塞尔函数有无穷多零点、贝塞尔函数有无穷多零点 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 223、贝塞尔函数的零点、贝塞尔函数的零点关于贝塞尔函数的零点，有如下结论：关于贝塞尔函数的零点，有如下结论：(1)、j n (x)有无穷多个单重零点，且在有无穷多个单重零点，且在x轴上关于轴上关于原点对称；原点对称；(3)、若设贝塞尔函数、若设贝塞尔函数j n (x)的第的第m个

16、正零点为：个正零点为： 则：则：(2)、j n (x)与与jn+1(x)的零点彼此相间分布；的零点彼此相间分布；()nm()()1limnnmmm 说明说明j n (x)几乎是一个几乎是一个2周期函数周期函数.注：贝塞尔函数零点可以查表获取。注：贝塞尔函数零点可以查表获取。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 23423(0)(0)(0)01(0)0114()bnnnnbjdjb例例4、设：、设： 是零阶贝塞尔函数的第是零阶贝塞尔函数的第n个零点。求证：个零点。求证：(0 )n证明：令证明：令 则：则：( 0 )1nub( 0 )43(0 )300(0 )001nbnnbjdu ju dub( 0 )421(0 )0nnbu duju( 0 )( 0 )432101(0 )02nnnbu juu ju du 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 24( 0 )44(0 )211(0 )(0 )02nnnnbbju ju du( 0 )44(0 )210(0 )(0 )02nnnnbbju dju( 0 )( 0 )44(0 )21000(0 )(0 )022nnnnnbbju